Il existe plusieurs systèmes de numération en technologie numérique dont les plus courants sont:
La base d'un système de numérisation est le nombre d'élément qu'utilise ce système.
Exemple:
Tout nombre "X" écrit en base "b" peut être décomposé en puissance de b.
Exemple: Soit le nombre X1: (anan-1...a0a-1a-2...a-n)b
Ce nombre peut être décomposé en puissance de b de la manière suivante:
X1 = anbn + an-1bn + ... + a0b0 + a-1b-1 + a2b2 + ... + a-nb-n
Partie entière
Partie décimale
X2 = (1984,34)10 = 1x103+9x102+8x101+4x100+3x10-1+4x10-2
X3 = (3725,401)8 = 3x83+7x82+2x81+2x80+4x8-1+0x8-2+1x8-3
Soit: X= anan-1...a1a0
"a0" est le chiffre de rang zéro. On l'appelle aussi le chiffre le moins significatif.
"an" est le chiffre de rang "n" ou le chiffre le plus significatif.
Le nombre N = 4783910
"4" est de rang 4 ou de poids 104
"9" est de rang 0 ou de poids 100
"8" est de rang 2 ou de poids 102
C'et la base la plus utilisée en électronique numérique, elle comporte deux chiffres 0 et 1 appelé bits.
Le chiffre le plus significatif est appelé bits de poids le plus fort MSB (Most Significant Bit).
Le chiffre me moins significatif est appelé bit de poids le plus faible LSB (Least Significant Bit).
Soit le nombre N = (1MSB 0 1 1 0 1 1LSB)2
Cette base utilise 8 chiffres {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Exemple N = (3473,5)8
Cette base utilise 16 éléments qui sont {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}
Avec
A = 10 |
D = 13 |
B = 11 |
E = 14 |
C = 12 |
F = 15 |
N = (1F2)16
Il s'agit simplement d'écrire le nombre à convertir sous la forme polynomiale dans sa base "b" puis d'effectuer les calculs pour obtenir la valeur en base 10.
Convertir le nombre X1=(1101)2
X1 = (1101)2 = 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20 = 8 + 4 + 0 + 1
X1 = (1101)2 = (13)10
Convertir le nombre X2=(1001,101)2
X2 = (1001,101)2 = 1x23 + 0x22 + 0x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3 = 9 + 0,5 + 0,125
X2 = (1001,101)2 = (9,625)10
Convertir X1 = (342)3
X1 = 3x82 + 4x81 + 2x80 = 192 + 32 + 2 = 226
X1 = (342)8 = (226)10
Convertir X2 = (745,05)8
X2 = 7x82 + 4x81 + 2x80 + 0x8-1 = 448 + 32 + 2 + 0 + 0,078125
X2 = (742,05)8 = (482,078125)10
X1 = (1F2) ? ( )10
X2 = (1AOB,CD)16 ? ( )10
Le principe ici consiste à effectuer des divisions successives du nombre décimal à convertir par la base "b"
Convertir le nombre (22)10 = ( )2
On retient le résultat final et les restes qui doivent toujours être inférieurs à la base "b"
Elle consiste à faire un passage par la base 10 en suite quitter de la base 10 à la base recherchée.
Exemple: Convertir (1101)2 = (?)8
(1101)2 = (15)8
Elle consiste à regrouper les bits par bloc de 4 à partir de la droite en suite convertir la valeur de chaque bloc en hexadécimal (cas de la conversion binaire hexadécimal).
Le regroupement se fera par bloc de 3 bits lorsqu'il s'agira de la conversion octale.
Décimal |
Binaire |
Hexadécimal |
0 |
0000 |
0 |
1 |
0001 |
1 |
2 |
0010 |
2 |
3 |
0011 |
3 |
4 |
0100 |
4 |
5 |
0101 |
5 |
6 |
0110 |
6 |
7 |
0111 |
7 |
8 |
1000 |
8 |
9 |
1001 |
9 |
10 |
1010 |
A |
11 |
1011 |
B |
12 |
1100 |
C |
13 |
1101 |
D |
14 |
1110 |
E |
15 |
1111 |
F |
Décimal |
Binaire |
Octal |
0 |
000 |
0 |
1 |
001 |
1 |
2 |
010 |
2 |
3 |
011 |
3 |
4 |
100 |
4 |
5 |
101 |
5 |
6 |
110 |
6 |
7 |
111 |
7 |
Convertir en hexadécimal les nombres binaires suivants
Convertir en octal les nombres binaires suivants:
Le principe de conversion de la partie entière ne change pas. La partie décimale se convertit par multiplication successive de cette dernière par la base "2". On conservera à chaque fois la parie entière du résultat obtenu qui doit toujours être inférieure à la base "2".
Exemples:
Convertir (13,25)10 = (?)2
(13)10 = (1101)2
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x = 1 1
(0,25)10 = (0,01)2
(13,25)10 = (1101,01)2
Convertir (27,625)10 = (?)2
(27)10 = 11011
0,625 x 2 = 1,25
0,25 x 2 = 0,5
0,5 x 2 = 1
(0,625)10 = (101)2
(27,625)10 = (11011,101)2
Convertir (15,3)10 = (?)2
(15)10 = 1111
0,3 x 2 = 0,6
0,6 x 2 = 1,2
0,2 x 2 = 0,4
0,4 x 2 = 0,8
0,8 x 2 = 1,6
(15,3)10 = 1111,01001
En binaire on peut compter de 0 → 2N-1
Un nombre ou caractère peut se présenter dans plusieurs codes. Les codes les plus utilisé sont:
C'est un code dans lequel chaque chiffre décimal est représenté par son équivalent binaire sur 4 bits.
Tableau de conversion DCB |
|
Décimal |
DCB |
0 |
0000 |
1 |
0001 |
2 |
0010 |
3 |
0011 |
4 |
0100 |
5 |
0101 |
6 |
0110 |
7 |
0111 |
8 |
1000 |
9 |
1001 |
Donner l'équivalent des nombres suivants en DCB.
N1 = (345)10 = (?)DCB
N2 = (984)10 = (?)DCB
N1 = (345)10
345= 0011 0100 0101
N1 = (345)10 = (001101000101)DCB
N2 = (984)10
984 = 1001 1000 0100
N2 (984)10 = (1001 1000 0100)DCB
Pour convertir un nombre d'une base "b" différente de la base 10 au DCB ou inversement, il faut faire un passage par la base 10
Conversion Binaire DCB
N1 = (1111)2 = (?)DCB
N2 = (101111)2 = (?)DCB
N1 = (1111)2 = (15)10 = (0001 0101)DCB
N2 = (101111)2 = (47)10 = (0100 0111)DCB
C'est un code qui permet d'éviter les erreurs de transition lors des changements d'état en binaire. Dans ce code lors du passage d'un état à un autre un seul changement de valeur.
Correspondance Binaire Pur - Binaire réfléchi |
||||||||
Décimal |
Binaire Pur |
Binaire réfléchi |
||||||
|
23 |
23 |
21 |
22 |
23 |
22 |
21 |
20 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
10 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
11 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
12 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
13 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
14 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
15 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Le code utilisé par la majorité des ordinateurs pour reconnaître les caractères (lettres, chiffres, symboles) est le code ASCII, on l'appelle aussi code alpha numérique.
Le code ASCII à 7 bits permet de coder 27 = 128 caractères.
Caractères |
Code ASCII |
Equivalent |
|
Octal |
Hexadécimal |
||
1 |
011 0001 |
061 |
31 |
A |
100 0001 |
101 |
41 |
D |
100 0100 |
104 |
44 |
K |
100 1011 |
113 |
4B |
Blanc |
010 0000 |
040 |
20 |
Retour |
000 1101 |
015 |
0D |