rudless.

NOTION

Le domaine de définition d'une fonction est un concept clé en mathématiques. Il s'agit de l'ensemble des valeurs pour lesquelles une fonction est définie et peut être évaluée. En d'autres termes, c'est l'ensemble des valeurs que l'on peut entrer dans une fonction pour obtenir une réponse significative.

Le domaine de définition peut être limité par des restrictions telles que les divisions par zéro, les logarithmes négatifs ou les racines carrées de nombres négatifs. Il est important de comprendre le domaine de définition d'une fonction pour éviter les erreurs de calcul et pour simplifier les expressions mathématiques.

Soit \(f\) une fonction, \((C{'})\) une branche de la courbe représentative \((C)\) de \(f\) dans jne partie \(I\) de \(D_{f}\) \((d)\) une droite.
On dit que \((d)\) est asymptote à la branche \((C{'})\)si la distance d'un point quelconque de la branche à la droite tend vers zéro lorsque ce point s'éloigne indéfiniment sur la branche.
En d'autres termes, \((d)\) est asymptote à la branche si une au moins des coordonnées d'un point mobile de la branche tend vers l'infini lorsque la distance de ce point à la droite tend vers zéro.

SORTES ET EQUATIONS D'ASYMPTOTES

Il y a trois sortes d'asymptotes selon la position d'une droite dans le plan :

• Asymptote horizontale \((A.H)\): droite parallèle à \(OX\) et d'équation \(y=b\) \((b\in \mathbb{R})\)
• Asymptote verticale \((A.V)\): droite parallèle à \(OY\) et d'équation \(x=a\) \((a\in \mathbb{R})\)
• Asymptote oblique \((A.O)\): droite oblique et d'équation \(y=mx+p\) \((m\in \mathbb{R}^{*},p\in \mathbb{R})\)

1.Asymptote horizontale

La droite \((d)\) d'équation \(y=b\) est asymptote horizontale à la courbe de la fonction \(f\) si et seulement si \(b=\underset{x\to \infty}{lim}f(x)\)

Remarque

Si \(\underset{x\to \infty}{lim}f(x)=\infty\) alors la courbe n'admet pas d'asymptote horizontale.

Exemples et contre-exemple

• \(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\) \(D_{f}=]-\infty,1[\cup]1,+\infty[\)
  La droite d'équation \(y=1\) est \(A.H\) car \(\underset{x\to \pm\infty}{lim}\frac{x+1}{x-1}=1\)
• \(f(x)=\frac{3}{x}\) \(D_{f}=]-\infty,0[\cup]0,+\infty[\)
  La droite d'équation \(y=0\) est \(A.H\) car \(\underset{x\to \pm\infty}{lim}\frac{3}{x}=0\)
• \(f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x^{2}+4}}\) \(D_{f}=[1,+\infty[\)
  La droite d'équation \(y=1\) est \(A.H\) car \(\underset{x\to +\infty}{lim}\sqrt{\frac{x-1}{x^{2}+4}}=0\)
• \(f(x)=x^{2}+1\) \(D_{f}=]-\infty,+\infty[\)
  La courbe représentative de \(f\) n'admet pas d'asymptote horizontale car \(\underset{x\to \pm\infty}{lim}(x^{2}+1)=+\infty\)

2.Asymptote verticale

La droite \((d)\) d'équation \(x=a\) est asymptote verticale à la courbe de la fonction \(f\) si et seulement si:

• \(a\) est adhérent à \(D_{f}\)
• \(\underset{x\to a}{lim}f(x)=\infty\) \((a\in \mathbb{R})\)

Exemple

• \(f(x)=\frac{2x}{x-1}\) \(D_{f}=]-\infty,1[\cup]1,+\infty[\)
  La droite d'équation \(x=1\) est \(A.H\) à la courbe car \(\underset{x\to 1}{lim}\frac{2x}{x-1}=\infty\)
• \(f(x)=\frac{x-1}{x^{2}-4}\) \(D_{f}=]-\infty,-2[\cup]-2,2[\cup]2,+\infty[\)
  Les droites d'équations respectives \(x=2\) et \(x=-2\) sont des \(A.H\) à la courbe car \(\underset{x\to 2}{lim}\frac{x-1}{x^{2}-4}=\infty\)
  et \(\underset{x\to -2}{lim}\frac{x-1}{x^{2}-4}=\infty\)

3. Asymptote oblique

La droite \((d)\) d'équation \(y=mx+p\) est asymptote oblique à la courbe représentative de \(f\) si et seulement si \(\underset{x\to \infty}{lim}[f(x)-(mx+p)]=0\)
Les réels \(m\) et \(p\) sont donnés par les relations suivantes:
\(m=\underset{x\to \infty}{lim}\frac{f(x)}{x}\)
\(p=\underset{x\to \infty}{lim}[f(x)-mx]\)
\(m\) est dit direction asymptomatique .

Exemples

• \(f(x)=\frac{3x^{2}-2}{x-1}\)
  \(D_{f}=]-\infty,1[\cup]1,+\infty[\)
  La droite d'équation \(y=3x+3\) est \(A.O\) à la courbe.
  \(m=\underset{x\to \pm\infty}{lim}\frac{\frac{3x^{2}-2}{x-1}}{x}\)
  \(=\underset{x\to \pm\infty}{lim}\frac{3x^{2}-2}{x^{2}+x}\)
  \(=3\)
  
  \(p=\underset{x\to \pm\infty}{lim}\frac{3x^{2}-2}{x-1}-3x\)
  \(=\underset{x\to \pm\infty}{lim}\frac{3x-2}{x-1}\)
  \(=3\)
• \(f(x)=\sqrt{x^{2}-1}\) \(D_{f}=]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\)
  On a :
  1. Pour \(x\to +\infty\)
     \(m=\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}\)
     \(=1\)
     \(p=\underset{x\to +\infty}{lim}(\sqrt{x^{2}-1}-x)\)
     \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{-1}{\sqrt{x^{2}-1}+x}\)
     \(=0\)
     \(l'A.O:y=x\)
  2. Pour \(x\to -\infty\)
     \(m=\underset{x\to -\infty}{lim}\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}\)
     \(=-1\) \(p=\underset{x\to +\infty}{lim}(\sqrt{x^{2}-1}+x)\)
     \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{-1}{\sqrt{x^{2}-1}+x}\)
     \(=0\)
     \(l'A.O:y=-x\)

Remarques

• Si \(m\in \mathbb{R}\) et \(p=\infty\) alors la courbe n'admet pas d'asymptote oblique. On dit qu'elle représente une branche parabolique dans la direction \(m\).
• Si \(m=\infty\) alors on dit que la courbe présente une branche parabolique dans la direction de \(OY\).
• Si \(m\in \mathbb{R}\) et \(\underset{x\to \infty}{lim}[f(x)-mx]\) n'existe pas alors on a une direction asymptomatique.
• Si \(f(x)=mx+p+h(x)\) avec \(\underset{x\to \infty}{lim}h(x)=0\) alors la fonction \(f\) admet \(l'A.O\) d'équation \(y=mx+p\) \((m\in \mathbb{R}^{*}\) et \(p\in \mathbb{R}\))
• Une fonction rationnelle dont le degré du numérateur est supérieur de \(1\) au degré du dénominateur admet une \(A.O\) dont l'équation est obtenue en effectuant la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
  Si \(q(x)\) est le quotient de cette division alors \(l'A.O\) a pour équation \(y=q(x)\).

Exemples et contre-exemple

• \(f(x)=\frac{x^{2}-x-2}{x+2}\) \(D_{f}=]-\infty,-2[\cup]-2,+\infty[\)
  En effectuant la division euclidienne on a:
  \(f(x)=x-3+\frac{4}{x+2}\) et le quotient \(q(x)=x-3\);
  D'où \(l'A.O: y=x-3\)
• \(f(x)=2x-3+\frac{x-1}{x^{2}+4}\)
  Soit \(h(x)=\frac{x-1}{x^{2}}+4\) et \(\underset{x\to \infty}{lim}h(x)=0\)
  D'où \(y=2x-3\) est l'équation de \(l'A.O\).
• \(f(x)=x^{2}+2x-3\) \(D_{f}=]-\infty,+\infty[\)
  \(m=\underset{x\to \pm\infty}{lim}\frac{x^{2}+2x-1}{x}\)
  \(=\pm\infty\)
  La fonction n'admet pas d'asymptote oblique.

Note:

Une fonction polynôme n'admet pas d'asymptote.

POSITION D'UNE COURBE PAR RAPPORT A SES ASYMPTOTES

1. Position de la courbe par rapport à son asymptote horizontale ou à son asymptote oblique

Dans un intervalle \(I\subset D_{f}\), le graphique d'une fonction peut être situé au-dessus ou au-dessous de son asymptote horizontale ou de son asymptote oblique.
Pour déterminer la position de la courbe représentative de la fonction \(f\) par rapport à son asymptote horizontale équation \(y=b\) ou se son asymptote oblique d'équation \(y=mx+p\), on étudie les signes de \(E=f(x)-b\) ou \(E=f(x)-(mx+p)\)

• Si \(E>0\) dans \(I\) alors la courbe est au-dessus de son asymptote.
• Si \(E<0\) dans \(I\) alors la courbe est au-dessous de son asymptote.

1. Position de la courbe par rapport à son asymptote verticale

Le graphique d'une fonction peut être situé à gauche ou à droite de son asymptote verticale.
Pour être fixé, on calcule la limite à gauche et la limite à droite de la fonction \(f\) au point \(a\).

• Si \(\underset{x\to a}{lim}f(x)=+\infty\) (respectivement \(\underset{x\to a}{lim}f(x)=-\infty\)) alors la courbe est à droite de \(x=a\) et au-dessus (respectivement au-dessous) de l'axe des \(x\).
• Si \(\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=+\infty\) (respectivement \(\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=-\infty\)) alors la courbe est à droite de \(x=a\) et au-dessus (respectivement au-dessous) de l'axe des \(x\).

---

Exercices

1) Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}-\{2\}\) par \(f(x)=\frac{3x+1}{2-x}\).
Démontrer que la droite d'équation \(y=-3\) est asymptote horizontale à la courbe représentative de \(f\) en \(+\infty\).

Corrigé

Il faut donc montrer que \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{3x+1}{2-x}=-3\)

\(\frac{3x+1}{2-x}=\frac{x(3+\frac{1}{x})}{x(\frac{2}{x}-1)}=\frac{3+\frac{1}{x}}{\frac{2}{x}-1}\)

Or \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{1}{x}=\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{2}{x}=0\) donc \(\underset{x\to +\infty}{lim}(3+\frac{1}{x})=3\) et \(\underset{x\to +\infty}{lim}(\frac{2}{x}-1)=-1\)

Et donc par quotient des limites: \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{3+\frac{1}{x}}{\frac{2}{x}-1}=\frac{3}{-1}\)

D'où \(\underset{x\to +\infty}{lim}f(x)=-3\)

2) Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}-\{4\}\) par \(g(x)=\frac{2x}{x-4}\).

Démontrer que la droite d'équation \(x=4\) est asymptote verticale à la courbe représentative de \(g\)

Corrigé

Il faut montrer que la fonction \(g\) possède une limite infinie en \(4\).

a)\(\underset{x\to 4\\x<4}{lim}(x-4)=0\) et \(\underset{x\to 4}{lim}2x=8\)

Donc \(\underset{x\to 4\\x<4}{lim}\frac{2x}{x-4}=-\infty\) car \(x-4<0\)

b)\(\underset{x\to 4\\x<4}{lim}(x-4)=0\) et \(\underset{x\to 4}{lim}2x=8\)

Donc \(\underset{x\to 4\\x>4}{lim}\frac{2x}{x-4}=+\infty\) car \(x-4>0\)

On en déduit que la droite d'équation \(x=4\) est asymptote à la courbe représentative de \(g\).