EQUATIONS
I.Équation Bicarrée
DEFINITION
Une équation bicarrée est une équation de la forme \(ax^4+bx^2+c=0\)
\((a \in \mathbb{R}^{*};b, c \in\mathbb{R})\);
c'est-à-dire une équation du quatrième degré.
Exemple : \(5x^4-3x^2+6=0\).
RESOLUTION
RÈGLES
-
On pose \(y=x^2\) et obtient l'équation \(ay^2+by+c=0\) qui est une équation du second degré en `y`,
appelée l'équation résolvante de l'équation bicarrée; `y` est l'inconnue auxiliaire. - On résout cette équation résolvante.
-
A toute racine positive `y_1` de l'équation résolvante correspondent deux racines
opposées `x_1` et `x_2` de l'équation bicarrée telles que `x_1=sqrt(y_1)` et `x_2=-sqrt(y_1)` - Toute racine négative de l'équation résolvante est à rejeter.
- `x^4-2x^2-8=0`
On pose : `y=x^2`
L'équation devient : `y-2y-8=0`
`a=1, b=-2, c=-8`
`Delta=(-2)^2-4*1*(-8)`=`4+32=36>0`
`y_1=(-(-2)+sqrt(36))/(2.1)`=`(2+6)/2`
`8/2=4`
`y_1=4`
`y_2=(-(-2)-sqrt(36))/2.1`=`(2-6)/2`
`-4/2=-2` à rejeter
`y_1`=4
`x_1`=`sqrt(4)`=2
`x_2`=`-sqrt(4)`=-2
`S={-2,2}` -
`x^4-13x^2+36=0`
On pose : `y=x^2`
L'équation devient: `y^2-13y+36=0`
`a=1, b=-13, c=36`
`Delta=(-13)^2-4.1.36`=`169-144=25>0`
`y_1=(-(-13)+sqrt(25))/(2.1)=``(13+5)/2`
`y1=18/2=9`
`y_2=(-(-13)-sqrt(25))/(2.1)=``(13-5)/2`
`y_2=8/2=4`
`y_1=9`
=>`x_1=``sqrt(9)=3`; `x_2=``-sqrt(9)=-3`
`y_2=4`
`x_3=sqrt(4)=2`; `x_4=-sqrt(4)=-2`
`S={-3,-2,2,3}`
EXEMPLE
Résoudre dans R:
I.Équations Réciproques
DEFINITION
Une équation est dite réciproque lorsqu'elle a une de fromes ci-après `(a!=0)`:
- \(ax^3+bx^2+bx+a=0 (1)\)
- \(ax^3+bx^2-bx-a=0 (2)\)
- \(ax^4+bx^3-bx-a=0 (3)\)
- \(ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0 (4)\)
(1) et (4) sont dites de première espèce car le coefficient des termes équidistants des extrêmes sont égaux. Tandis que (2) et (3)
sont de deuxième espèce car le coefficient des termes équidistants des extrêmes sont opposés.
PROPRIETES
- Une équation réciproque n'admet jamais 0 comme solution
- Si `x_0` est une solution, son inverse `1/x_0` l'est égalememt.
RESOLUTION
Les équations (1), (2) et (3) se résolvent par décomposition en facteur du premier membre avec la méthode de groupement des termes
équidistants des extrêmes.
EXEMPLES
Résoudre dans \(\mathbb{R}\):-
\(2x^3+7x^2+7x+2=0\)
\(\underbrace{2x^3+\underbrace{7x^2+7x}+2}=0\)
Nous allons ici regrouper les termes semblables; c'est-à-dire les `a` entre eux et les `b` entre eux par associativité.
\((2x^3+2)+(7x^2+7x)=0\)
Voyez-vous quelque chose à mettre en évidence comme moi? Bah, oui!!!
\(2(x^3+1)+7x(x+1)=0\)
Comme vous le savez, \(a^3+b^3=(a+b)\)\((a^2-ab+b^2)\)(Produits remarqubles)
`2(x+1)(x^2-x.1+1)+7x(x+1)=0`
Mettons `(x+1)` en évidence
`(x+1)[2(x^2-x+1)+7x]=0`
Par distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, nous aurons:
`(x+1)(2x^2-2x+2+7x)`
`(x+1)(2x^2+5x+2)=0`
Nous voilà en face d'une équation-produit dont vous connaissez la méthode de résolution car vous l'aviez étudiée dans le chapitre
concernnat les équations-produits ici même. Sinon veuillez cliquer ici pour suivre ce chapitre.
En fait, nous allons résoudre ces deux équations séparement. Nous aurons:
`x+1=0`
`x=-1`
`2x^2+5x+2=0`(Equation du second degré)
`a=2, b=5, c=2`
`Delta=5^2-4.2.2`=`25-16=9>0`
`x_1=(-5+sqrt(9))/(2*2)`=`(-5+3)/4`=`-2/4=-1/2`
`x_2=(-5-sqrt(9))/(2*2)`=`(-5-3)/4`=`-8/4=-2`
-
\(x^4-6x^3+6x-1=0\)
Regroupons comme toujours les termes semblables
\(\underbrace{x^4-\underbrace{6x^3+6x}-1}=0\)
\(\iff\)
\((x^4-1)-(6x^3-6x)\)
En décomponsant la première partie et en mettant 6x en évidence, nous obtenons:
`(x^2-1)(x^2+1)-6x(x^2-1)=0`
`(x^2-1)[(x^2+1)-6x]=0`
`(x^2-1)(x^2+1-6x)=0`
`(x-1)(x+1)(x^2-6x+1)`
Nous sommes à présent en face d'une équation-produit`x-1=0`
`x=1``x+1=0`
`x=-1``x^2-6x+1=0`
`a=1, b=-6, c=1`
`Delta=(-6)^2-4*1*1`=`36-4=32>0`
`x_1=(-(-6)+sqrt(32))/(2*1)=(6+4sqrt(2))/2`
`x_1=3+2sqrt(2)`
`x_2=(-(-6)-sqrt(32))/(2*1)=(6-4sqrt(2))/2`
`x_2=3-2sqrt(2)`
l'inconnue auxiliaire en obtenant une équation résolvante.
EXEMPLE
`x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0`On divise par `x^2`
`x^4/x^2-(4x^3)/x^2+(6x^2)/x^2-(4x)/x^2+1/x^2=0/x^2`
Nous obtenons l'équation:
`x^2-4x+6-4/x+1/x^2=0`
Regroupons les termes de même puissance
`(x^2+1/x^2)-(4x+4/x)+6=0`
`(x^2+2+1/x^2)-(4x+4/x)+6-2=0`
`(x+1/x)^2-4(x+1/x)+4=0`
On pose `x+1/x=y`
Nous aurons donc:
`y^2-4y+4=0`
`a=1, b=-4, c=4`
`Delta=(-4)^2-4*1*4=16-16=0`
`y_1=y_2``=-b/(2a)=-(-4)/2=4/4=2`
Or on a posé que `x+1/x=y` et nous avons trouvé que y=2
`x+1/x=2`
`(x^2+1)/x=2`
`x^2+1=2x`
`x^2-2x+1=0`
`Delta=(-2)^2-4*1*1=4-4=0`
`x_1=x_2`=`-(-2)/(2*1)=1`
`S={1}`
II.Équations irrationnelles
DEFINITION
C'est une équation qui renferme l'inconnue sous un ou plusieurs radicaux(généralement d'indice 2).
EXEMPLE
- `sqrt(x)+5=2`
- `sqrt(2x)+3=3x`
- `3x-sqrt(x)+2=0`
RESOLUTION
- Prinicipes généraux
- On élimine les radicaux en élévant les deux membres de l'équation au carré
- Si l'équation ne contient qu'un seul radical, on l'isole dans l'un de deux membres
- Si elle en contient deux, on les répartit dans les deux membres; si en plus il y a des termes rationnels,
on les met dans un même membre - On résout ensuite l'équation trouvée
posant des conditions préalables -
Equations irrationnelles de la forme `sqrt(A(x))=a``(a in RR)`
CP: L'équation n'a de solution que si `a in RR^+`
- Équations irrationnelles de la forme `sqrt(A(x)`=`B(x)`;
c'est-à-dire l'équation contient un seul radical.
C.P: `B(x)>=0` - Équations irrationnelles de la forme `sqrt(A(x))-sqrt(B(x))` ou `sqrt(A(x))=sqrt(B(x))` C.P: `A(x)>=0; B(x)>=0`
- Equation irrationnelle de la forme `sqrt(A(x))+sqrt(B(x))=0`
Exemple
Résoudre dans `RR`:1. `sqrt(x-2)=4`
`(sqrt(x-2))^2=4^2`
`x-2=16`
`x=16+2`
`x=18`
`S={18}`
2. `sqrt(3x+5)=-1`
`a=-1 in RR^-``!=RR^+`
`S=Ø`
Exemple
Résoudre dans `RR`:1. `sqrt(3x+1)=1-x`
C.P: `1-x>=0`
`-x>=-1`
`x<=1`
`(sqrt(3x+1))^2=(1-x)^2`
`3x+1=1^2-2*1*x+x^2`
`3x+1=1-2x+x^2`
`3x=-2x+x^2`
`3x+2x-x^2=0`
`5x-x^2=0`
`x(5-x)=0`
`x=o`
`5-x=0`
`-x=-5`
`x=5` à rejeter cfr C.P
`S{0}`
Le domaine d'existence des racines est la solution du système :
\( \left\{ \begin{array}{r c l} A(x) \ge 0\\ B(x) \ge 0\\ \end{array} \right. \)
Exemple
Résoudre dans `RR`:`sqrt(4-2x)-sqrt(x+1)=0` C.P: `4-2x>=0; x+1>=0`
\( \left\{ \begin{array}{r c l} 4-2x>=0\\ x+1>=0\\ \end{array} \right. \)
`-2x>=-4`
`x<=-4/2`
`x<=2`
`S_1=]-infty,2]`
`x>=-1`
`S_2=[-1,+oo[`
C.P: `x in {-1,2}`
Résolution
`sqrt(4-2x)-sqrt(x+1)=0`
`sqrt(4-2x)=sqrt(x+1)`
`(sqrt(4-2x))^2=(sqrt(x+1))^2`
`4-2x=x+1`
`2x-x=1-4`
`-3x=-3`
`x=(-3)/-3`
`x=1 in [-1,2]`
`S={1}`
La solution de l'équation est celle du système :
\(
\left\{
\begin{array}{r c l}
A(x) =0\\
B(x) =0\\
\end{array}
\right.
\)
Exemple
Résoudre dans `RR`:`sqrt(4-x^2)+sqrt(2-x)=0`
\( \left\{ \begin{array}{r c l} 4-x^2 =0\\ 2-x =0\\ \end{array} \right. \)
`(2-x)(2+x)=0`
`2-x=0`
`-x=-2`
`x=2`
et `x+2=0`
`x=-2`
`S_1={-2;2}`
`-x=-2`
`x=2`
`S_2={2}`
Exercices d'auto-évaluation
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
- \(\sqrt{x^2+2x+3}=-7\)
- \(\sqrt{x-2}=2-x\)
- \(\sqrt{5x-25}-\sqrt{x-1}=0\)
- \(\sqrt{x^2-x-6}+\sqrt{x^2-10x+21}=0\)
Résolution
-
\(\sqrt{x^2+2x+3}=-7\)
\(S=\varnothing\) - \(\sqrt{x-2}=2-x\)
- \(\sqrt{5x-25}-\sqrt{x-1}=0\)
- \(\sqrt{x^2-x-6}+\sqrt{x^2-10x+21}=0\)
C.P : \(2-x\geq 0 \\ -x\geq -2\\ x\leq 2 \)
\((\sqrt{x-2})^2=(2-x)^2\)
\(2-x=4-4x+x^2 \) car \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\(-x^2+x+4x-2-4=0\)
\(-x^2+5x-6=0\)
\(a=-1, \ b=5\ c=-6\)
\(\Delta=5^2-4(-1)(-6)=25-24=1\)
\(x-1=\frac{-5+\sqrt{1}}{-2}=\frac{-5+1}{-2}=\frac{-4}{-2}=2\)
\(x-1
2=\frac{-5-\sqrt{1}}{-2}=\frac{-5-1}{-2}=\frac{-6}{-2}=3\) à rejeter cfr C.P
\(S=\{2\}\)
\(
\left\{
\begin{array}{r c l}
5x-25\geq 0\\
x-1\geq 0\\
\end{array}
\right.
\)
D'une part \(5x-25\geq 0\\ 5x\geq 25\\ x\geq \frac{25}{5}\\ x\geq 5 \)
D'autre part \(x-1\geq 0 \\ x\geq 1 \)
Donc \(x\in [5, +\infty[\)
Résolvons l'équation
\(5x-25=x-1\\ 5x-x=-1+25\\ 4x=24\\x=\frac{24}{4}\\ x=6 \)
\(6\in [5,+\infty[\)
\(S=\{6\}\)
\( \left\{ \begin{array}{r c l} x^2-x-6=0\\ x^2-10x+21=0\\ \end{array} \right. \)
Résolvons ce système :
D'une part :
\(x^2-x-6=0\)
En décomposant cette équation en facteurs, nous aurons :
\((x+2)(x-3)=0\)
Nous avons alors une équation-produit. Nous allons résoudre ces équations séparément.
\(2+x=0\\ x=-2 \)
\(x-3=0\\ x=3\)
\(S_1=\{-2,3\}\)
D'autre part,
\(x^2-10x+21=0\)
En décomposant cette équation en facteurs, nous aurons :
\((x-3)(x-7)=0\)
\(x-3=0\\ x=3\)
\(x-7=0\\ x=6\)
\(S_2=\{3,7\}\)
\(S=S_1\cap S_2=\{3\}\)
Equation à inconnues auxiliaires
Ce sont des équations dont la résolution est simplifiée par l'introduction d'une inconnue auxiliaire sans laquelle la résolution exigerait des opérations difficiles. Certaines de ces équations ont deja été étudiées précédemment.
Exemple
Les équations bicarrées, les équations réciproques de la forme \(ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0\)Autres formes d'équations à inconnues auxiliaires
a) Equations trinômes
Ce sont des équations de la forme \(ax^{2n}+bx^{n}+c=0\) \((n>1)\)
L'équation bicarrée est un cas particulier de l'équation trinôme où \(n=2\).
Règle
On applique la méthode de résolution de l'équation bicarrée en posant comme inconnue auxiliaire \(y=x^{n}\).
N.B:- Si \(n\) est pair, toute racine négative de l'équation résolvante est à rejeter ; et à toute racine positive de l'équation résolvante correspondent deux racines réelles opposées \(x_1=\sqrt[n]{y}\) et
\(x_2=-\sqrt[n]{y}\) de l'équation trinôme.
- Si \(n\) est impair, à chaque racine \(y\) de l'équation résolvante correspond une racine \(x=\sqrt[n]{y}\).
Exercices
Résoudre dans \(\mathbb{R}\)1) \(x^6+7x^3-8=0\)
On pose \(y=x^3\)
L'équation devient \(y^2+7y-8=0\)
\(\Delta=7^2-4.1.(-8)=49+32=81>0\)
\(y_1=\frac{-7+\sqrt{81}}{2\times1}\)
\(y_1=\frac{{-7}+9}{2}=\frac{2}{2}=1\)
\(y_2=\frac{-7-\sqrt{81}}{2\times1}\)
\(y_2=\frac{{-7}-9}{2}=\frac{-16}{2}=-8\)
\(y_1=1\Rightarrow x_1=\sqrt[3]{1}=1\)
\(y_2=-8\Rightarrow x_2=\sqrt[3]{-8}=-2\)
\(S=\{-2,1\}\)
2) \(x^8-14^4-32=0\)
On pose \(y=x^4\)
L'équation devient \(y^2-14y-32=0\) \(\Delta=(-14)^2-4.1.(-32)=196+128=324>0\)
\(y_1=\frac{-(-14)+\sqrt{324}}{2\times1}\)
\(y_1=\frac{14+18}{2}=\frac{32}{2}=16\)
\(y_2=\frac{-(-14)-\sqrt{324}}{2\times1}\)
\(y_2=\frac{14-18}{2}=\frac{-4}{2}=-2\) à rejeter
\(y_1=16\Rightarrow x_1=\sqrt[4]{16}=2\)
\(x_2=-\sqrt[4]{16}=2\)
\(S=\{-2,2\}\)
b) Certaines équations irrationnelles
Pour rendre facile la résolution de certaines équations irrationnelles, on peut faire usage d'une inconnue auxiliaire.
Exercices
1) \(x+4\sqrt{x}-5=0\)On pose \(\sqrt{x}=y\Rightarrow x=y^2\)
L'équation devient \(y^2+4y-5=0\)
\(\Delta=4^2-4.1.(5)=16+20=36>0\)
\(y_1=\frac{-4+\sqrt{36}}{2\times1}\)
\(y_1=\frac{-4+6}{2}=\frac{2}{2}=1\)
\(y_2=\frac{-4-\sqrt{36}}{2\times1}\)
\(y_2=\frac{-4-6}{2}=\frac{-10}{2}=-5\) à rejeter
\(y=\sqrt{x}\Rightarrow x=y^2\) \(y_1=1\Rightarrow x_1=1^2=1\)
\(S=\{1\}\)
2) \(x^2+4x-6=2\sqrt{x^2+4x-3}\)
On peut écrire : \(x^2+4x-3-3=2\sqrt{x^2+4x-3}\)
On pose \(y=\sqrt{x^2+4x-3}\)
\(\Rightarrow y^2=x^2+4x-3\)
\(y^2-3=2y\)
\(y^2-2y-3=0\)
\(\Delta=(-2)^2-4.1.(-3)=4+12=16>0\)
\(y_1=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2\times1}\)
\(y_1=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3\)
\(y_2=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2\times1}\)
\(y_1=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1\) à rejeter
\(y_1=3\Rightarrow \sqrt{x^2+4x-3}=3\)
\((\sqrt{x^2+4x-3})^2=3^2\)
\(x^2+4x-3=9\)
\(x^2+4x-3-9=0\)
\(x^2+4x-12=0\)
\(\Delta=4^2-4.1.(-12)=16+48=64>0\)
\(x_1=\frac{-4+\sqrt{64}}{2\times1}\)
\(y_1=\frac{-4+8}{2}=\frac{4}{2}=2\)
\(x_1=\frac{-4+\sqrt{64}}{2\times1}\)
\(y_2=\frac{-4-8}{2}=\frac{-12}{2}=-6\)
\(S=\{-6,2\}\)