Domaine de définition d'une fonction
Nos sincères salutations!!!!
Nous allons parler du domaine de définition d'une fonction.
Le domaine de définition d'une fonction est un concept clé en mathématiques. Il s'agit de l'ensemble des valeurs pour lesquelles une fonction est définie et peut être évaluée. En d'autres termes, c'est l'ensemble des valeurs que l'on peut entrer dans une fonction pour obtenir une réponse significative.
Le domaine de définition peut être limité par des restrictions telles que les divisions par zéro, les logarithmes négatifs ou les racines carrées de nombres négatifs. Il est important de comprendre le domaine de définition d'une fonction pour éviter les erreurs de calcul et pour simplifier les expressions mathématiques.
GENERALITES
Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\), on appelle domaine de définition (ou ensemble de définition) de la fonction \(f(x)\), l'ensemble des valeurs de \(x\) pour
lesquelles \(f(x)\) existe. Autrement dit, ce sont toutes les valeurs de \(x\) qui permettent d'obtenir un résultat dans \(f(x)\). Les valeurs \(y\) qui en résultent forment
l'ensemble des images de \(x\).
Le domaine de défintion dépend du type de la fonction.
1. fonction polynôme
Une fonction polynôme est définie pour tout réel.
\(D_{f}=\mathbb{R} \).
Exemples
\(1 f(x)=x^2+2x-3+7x^3 \quad D_f=\mathbb{R} \)
\(2 f(x)=x^3+\frac{(2x-5)}{5 } \quad D_f=\mathbb{R} \)
Pour ceux qui ont un problème pour reconnaitre une fonction polynôme, voici quelques éléments pour vous :
Une fonction polynôme :
- N’a pas de variable sous le signe radical
- N’a pas de variable au dénominateur
Exemples
\( f(x)=2x^2-x+3 \; ; \; f(x)=2x+\sqrt{3} \; ; \; f(x)=\frac{2x+4}{3} \) sont des fonctions polynômes.
Contre-exemples:
\(f(x)=\sqrt{2x+3}+x^2-1 \; ; \; \\ f(x)=\frac{x^2-1}{x} \) ne sont pas de fonctions polynômes.
2. Fonctions rationnelles
2. Fonctions rationnelles
Une fonction rationnelle est une fonction ayant la forme suivante :
\( f(x)=\frac{h(x)}{g(x} \)
Avec \(h(x) \; et \; g(x) \) des fonctions polynômes.
\(D_f=\{x \in \mathbb{R}:g(x)\neq 0 \} \)ou
\(D_f=\mathbb{R}\backslash \{x\in \mathbb{R:}g(x)=0\} \)
Cela signifie qu’on prend toutes les valeurs de \( \mathbb{R} \) sauf celles qui annulent le dénominateur.
Pour trouver le domaine de définition d’une fonction rationnelle, on procède comme suit :
- Egaler le dénominateur à zéro.
- Résoudre l’équation ainsi formée.
- Prendre toutes les valeurs de R à l’exception des racines ou solutions de l’équation.
Exemples
\(1) f(x)=\frac{x-5}{x-2} \)
\( D_f=\mathbb{R} \backslash \{x \in \mathbb{R}: x-2=0 \} \)
On égale le dénominateur à 0
\(x-2=0 \Leftrightarrow x=2\)
\(D_f=\mathbb{R} \backslash \{2\} \) Ou sous forme d’intervalles
\( D_f =\left]- \infty;2\right[ \bigcup \left]2;+ \infty \right[\)
\(2). f(x)=\frac{2x+8}{x^2-5x+6} \)
\( D_f=\{ \mathbb{R}\backslash \{x \in \mathbb{R}:x^2-5x+6=0 \} \)
\( x^2-5x+6=0 \)
\( ∆=(-5)^2-4×1×6 \)
\( ∆=1 \)
\( x_1=2 \quad et \quad x_2=3 \)
\( D_f= \mathbb{R} \backslash \{2; 3 \} \quad \) ou \(\left]- \infty;2\right[ \bigcup \left]2;3 \right[ \bigcup \left]3;+ \infty\right[ \)
3. Fonction irrationnelle de la forme \( f(x)= \sqrt[n]{t(x)} \)
3. Fonction irrationnelle de la forme \( f(x)= \sqrt[n]{t(x)} \)
Dans ce cas, on examine la parité de n (indice),
Si n est pair \( D_f=\{x \in \mathbb{R}∶t(x) \geqslant 0 \} \)
Si n est impair \( D_f=\mathbb{R} \)
\( t(x) \) est le radicant, c’est-à-dire ce qui se trouve sous le signe radical.
Exemples
\( 1) f(x)=\sqrt[5]{2x-3} \) L’indice 5 est impair, donc \(D_f=\mathbb{R } \)
\( 2) f(x)=\sqrt{-x^2-5x-6} \)
L’indice est pair
\( Df=\{x \in \mathbb{R}∶-x^2-5x-6 \geqslant 0 \} \)
\(-x^2-5x-6 \geqslant 0 \)
\(-x^2-5x-6=0 \)
\( ∆=(-5)^2-4×(-1)×(-6)\)
\( ∆=1\)
\(x_1=-3 \quad et \quad x_2=-2 \)
4. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\sqrt[n]{\frac{h(x)}{g(x)}} \)
4. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\sqrt[n]{\frac{h(x)}{g(x)}} \)
Si n est impair : \(D_f=\mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R}:g(x)=0 \} \)
On procède comme dans le cas des fonctions rationnelles
Si n est pair : \(D_f=\{x \in \mathbb{R}: \frac{h(x)}{g(x)} \geqslant 0 \} \)
Exemples
\( 1) f(x)=\sqrt[3]{\frac{x^2+5x-6}{x^2-2x+1}} \)
n est impair : \(D_f=\mathbb{R} \backslash \{x \in \mathbb{R}:x^2-2x+1=0\} \)
\(x^2-2x+1=0\)
\(∆=(-2)^2-4×1×1 \)
\( ∆=0\)
\(x_1=x_2=\frac{2}{2}=1 \)
\( D_f=\mathbb{R}\backslash \{1\} \quad ou \quad D_f=\left]- \infty ;1 \right[ \bigcup \left]1 ;+ \infty \right[ \)
\( 2) f(x)=\sqrt[4]{\frac{x-5}{x^2-7x+12}} \)
n est pair: \(D_f=\{x \in \mathbb{R}: \frac{x-5}{x^2-7x+12} \geqslant 0 \} \)
\( \frac{x-5}{x^2-7x+12} \geqslant 0 \)
\( x-5=0 \Leftrightarrow x=5 \)
\( x^2-7x+12=0 \Leftrightarrow x_1=4 \; et \; x_2=3 \)
5. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\frac{h(x)}{\sqrt[n]{g(x)}} \)
5. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\frac{h(x)}{\sqrt[n]{g(x)}} \)
On examine la parité de n (l’indice) :
Si n est impair : \(D_f= \mathbb{R} \backslash \{x \in \mathbb{R}:g(x)=0 \} \)
Si n est pair : \(D_f=\{x \in \mathbb{R}:g(x)>0\} \)
Exemples :
\( 1) f(x)=\frac{x^2+5x-6}{\sqrt[5]{x^2-2x+1}} \)
n est impair : \(D_f=\mathbb{R}\backslash \{x \in \mathbb{R}:x^2-2x+1=0 \} \)
\(x^2-2x+1=0\)
\(∆=(-2)^2-4×1×1\)
\(∆=0\)
\(x_1=x_2=\frac{2}{2}=1 \)
\( D_f=\mathbb{R}\backslash \{1\} \quad ou \quad D_f=\left]- \infty ;1 \right[ \bigcup \left]1 ;+ \infty \right[ \)
\( 2) f(x)=\frac{x^2+5x-6}{\sqrt{(-x)^2+4x-3} } \)
n est pair : \(D_f=\{x \in \mathbb{R}:(-x)^2+4x-3>0 \} \)
\( (-x)^2+4x-3>0\)
\((-x)^2+4x-3=0 \)
\(∆=(4)^2-4×(-1)×(-3) \)
\(∆=4 \)
\(x_1=1 \quad et \quad x_2=3\)
6. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\frac{ \sqrt[n]{h(x)}}{g(x)} \)
6. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\frac{ \sqrt[n]{h(x)}}{g(x)} \)
On examine toujours la parité de n
Si n est impair : \(D_f=\mathbb{R}\backslash \{x \in \mathbb{R}:g(x)=0 \} \)
Si n est pair : \(D_f=\{x \in \mathbb{R}:h(x) \geqslant 0 \; et \; g(x) \neq 0 \} \) ou
\( D_f=\{x \in \mathbb{R}:h(x) \geqslant 0 \} \cap \mathbb{R}\backslash \{x \in \mathbb{R}:g(x)=0 \} \)
Exemples
\(1) f(x)=\frac{\sqrt{x^2-8x+15}}{x-3} \)
n est pair : \(D_f=\{x \in \mathbb{R}:x^2-8x+15 \geqslant 0 \} \cap \mathbb{R}\backslash \{x \in \mathbb{R}:x-3=0 \} \)
\(x^2-8x+15 \geqslant 0 \)
\(x^2-8x+15= 0 \)
\(∆=(-8)^2-4×1×15 \)
\(∆=4 \)
\(x_1=5 \quad et \quad x_2=3 \)
\( x-3 \neq 0 \)
\(x \neq 3 \)
\(S_2=\left ]- \infty ;3 \right[ \bigcup \left]3; + \infty \right [ \)
\(D_f=S_1 \cap S_2= \left ]- \infty ;3 \right[ \bigcup \left[5; + \infty \right[ \)
\( 2) f(x)=\frac{\sqrt[7]{x^2-3x+2}}{x^2-15x+14} \)
L’indice est impair.
\(D_f=\mathbb{R}\backslash \{x \in \mathbb{R}:g(x)=0 \} \)
\(x^2-15x+14=0 \)
\(∆=b^2-4ac \)
\(=(-15)^2-4×1×14 \)
\(=225-56\)
\(∆=169 \)
\( x_1=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a} \quad \quad x_2=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a} \)
\(=\frac{15-\sqrt{169}}{2} \quad \quad \quad =\frac{15+\sqrt{169}}{2.1} \)
\(=\frac{15-13}{2} \quad \quad \quad =\frac{15+13}{2} \)
\(=\frac{2}{2} \quad \quad \quad =\frac{28}{2} \)
\(x_1=1 \quad \quad x_2=14 \)
\(D_f=\mathbb{R }\backslash \{1 ;14\} \)
\(D_f=\left]- \infty ;1 \right[ \bigcup \left ]1;14 \right[ \bigcup \left]14; +\infty \right[ \)
7. Fonction de la forme \(f(x)=\frac{\sqrt[n]{h(x}}{\sqrt[m]{g(x)} } \)
7. Fonction de la forme \(f(x)=\frac{\sqrt[n]{h(x}}{\sqrt[m]{g(x)} } \)
Si n et m sont pairs : \(D_f=\{x \in \mathbb{R}:h(x) \geqslant 0 \; et \; g(x)>0 \} \)
Si n et m sont impairs : \(D_f=\mathbb{R}\backslash \{x \in \mathbb{R}:g(x)=0\} \)
Si n est pair et m impair : \(D_f=\{x \in \mathbb{R}:h(x) \geqslant 0 \; et \; g(x) \neq 0 \} \)
Si n est impair et m pair : \(D_f= \{x \in \mathbb{R}:g(x)>0\} \)
Exemples
\( 1) f(x)=\frac{\sqrt{-x^2-7x-8}}{\sqrt[4]{x^2-2x+2} } \)
Les deux indices sont pairs :
\(D_f=\{x \in \mathbb{R}:-x^2-7x-8 \geqslant 0 \; \\ et \; x^2-2x+2>0\} \)
\(-x^2-7x-8 \geqslant 0 \)
\(-x^2-7x-8=0 \)
\(∆=(-7)^2-4×(-1)(-8) \)
\(=48-32\)
\(∆=16 \)
\(x_1=\frac{-b-\sqrt{∆} }{2a} \quad \quad \) \(=\frac{7-\sqrt{16}}{2.(-1)} \quad \quad \) \(=\frac{7-4}{-2} \quad \quad \) \(= \frac{3}{-2} \quad \quad \) \(x_1=-\frac{3}{2} \quad \quad \) |
\(x_2=\frac{(-b+\sqrt{∆}}{2a} \) \(=\frac{7+\sqrt{16}}{2.(-1)} \) \(=\frac{7+4}{-2} \) \(= \frac{11}{-2} \) \(x_2=-\frac{11}{2} \) |
\(S_1=\left[-\frac{11}{2} ; -\frac{3}{2} \right] \)
\(x^2-2x+2>0 \)
\(x^2-2x+2=0 \)
\(∆=(-2)^2-4×1×2\)
\( =4-8\)
\(∆=-4 \)
Pas de racines réelles
\(S_2=\left]-\infty ; +\infty \right[ \)
\(D_f=S_1 \cap S_2 \)
\(\left[-\frac{11}{2} ; -\frac{3}{2} \right] \cap \left]-\infty ; +\infty \right[ \)
\(D_f=\left[-\frac{11}{2} ; -\frac{3}{2} \right] \)
\( 2)f(x)=\frac{\sqrt[3]{2x+3 }}{\sqrt[5]{2x+4} } \)
Les deux indices sont impairs.
\(D_f=\mathbb{R}-\{x \in \mathbb{R}∶2x+4=0\} \)
Domaine de définition d'une fonction
1. fonction polynôme2. Fonctions rationnelles
3. Fonction irrationnelle de la forme \( f(x)= \sqrt[n]{t(x)} \)
4. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\sqrt[n]{\frac{h(x)}{g(x)}} \)
5. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\frac{h(x)}{\sqrt[n]{g(x)}} \)
6. Fonction irrationnelle de la forme \(f(x)=\frac{ \sqrt[n]{h(x)}}{g(x)} \)
7. Fonction de la forme \(f(x)=\frac{\sqrt[n]{h(x}}{\sqrt[m]{g(x)} } \)