ETUDE D'UNE FONCTION
INTRODUCTION
Une fonction étant définie soit par son expression analytique soit par sa représentation graphique, l'étude de la fonction nous permet de passer de la première forme à la seconde.
Ainsi, pour y parvenir, nous nous proposons une marche à suivre.
MARCHE A SUIVRE
- Déterminer le domaine de définition et étudier la parité et la périodicité éventuelle.
- Calculer les limites aux bornes du domaine de définition et déterminer les asymptotes éventuelles.
- Calculer la dérivée première et en étudier les signes pour déduire les extremums, la croissance et la décroissance.
- Calculer la dérivée seconde et en étudier les signes pour déduire le sens de concavité et les points d'inflexion éventuel.
- Établir le tableau de variation (ou tableau synthétique) en y plaçant toutes les informations obtenues aux points \(1,2,3 \ \mathrm{et} \ 4\).
-
- Déterminer les coordonnées des points de coupure de la courbe avec les axes des coordonnées ;
- Choisir de manière judicieuce, par rapport aux points remarquables d'autres points de la courbe (appelés points supplémentaires) pour bien tracer celui-ci ;
- Tracer la courbe.
Remarque
On peut établir les équations des tangentes aux points remarquables se la courbe : extremums, points d'inflexion, points d'intercession de la courbe avec les axes des coordonnées,...
Exemple
-
Faire l'étude complète des fonctions suivantes :
- \(f(x)=-x^{2}-3x+4\)
Résolution
a) Domaine de définition, parité et périodicité- \(D_{f}=\mathbb{R}=]-\infty,+\infty[\)
- Il est clair que la fonction n'est ni paire ni impaire; elle n'est pas périodique.
- \(\underset{x\to +\infty}{lim}f(x)=-\infty\) et \(\underset{x\to -\infty}{lim}f(x)=-\infty\)
- La courbe n'admet pas d'asymptotes
\(y{'}=-2x-3\)
\((y{'}=0)\iff (x=-\frac{3}{2})\)
\(\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x & -\infty && -\frac{3}{2} && +\infty\\ \hline y{'}&& + & 0 & -&\\ \hline y && \nearrow &\underset{\mathrm{Max}}{\frac{25}{4}}& \searrow & \\ \hline \end{array}\)
Le graphique de la fonction \(f\) passe par le point maximum \((-\frac{3}{2},\frac{25}{4})\)
d) Calcul et signes de la dérivée seconde
\(y{''}=-2\)
\(\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x & -\infty && && &+\infty\\ \hline y{''}&&&& - &&&\\ \hline y &&&& \cap &&&\\ \hline \end{array}\)
e) Tableau des variations
\(\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x & -\infty && -\frac{3}{2} && +\infty\\ \hline y{'}&& + & 0 & -&\\ \hline y{''}&& - & & -&\\ \hline y && \nearrow &\underset{\mathrm{Max}}{\frac{25}{4}}& \searrow & \\ &-\infty && \cap &&-\infty\ & \\ \hline \end{array}\)
f)-
Points d'intercession de la courbe avec les axes des coordonnées
Avec \(OX\):
\( \left\{ \begin{aligned} y=-x^{2}-3x+4\\ y=0 \end{aligned} \right. \iff\) \( \left\{ \begin{aligned} -x^{2}-3x+4=0\\ y=0 \end{aligned} \right. \iff\) \( \left\{ \begin{aligned} x=-4 \ \mathrm{ou} \ x=1\\ y=0 \end{aligned} \right. \)
La courbe \((C)\) coupe l'axe \(OX\) en deux points \((-4,0)\) et \((1,0)\)
Avec \(OY:\) \( \left\{ \begin{aligned} y=-x^{2}-3x+4\\ y=0 \end{aligned} \right. \iff\) \( \left\{ \begin{aligned} y=4\\ x=0 \end{aligned} \right. \) -
Points supplémentaires
\(\begin{array}{c|lcccccr} x & -3 & -2 &-1 & 2\\ \hline y & 4 & 6 & 6 & -6\\ \end{array}\)
-
\(y=x^{3}-3x^{2}+3x-1\)
Résolution
a)\(D_{f}=\mathbb{R}\)
La fonction \(f\) n'est ni paire ni impaire; elle n'est pas non plus périodique.
b) Limites aux bornes et asymptotes- \(\underset{x\to -\infty}{lim}(x^{3}-3x^{2}+3x-1)=-\infty\) et \(\underset{x\to +\infty}{lim}(x^{3}-3x^{2}+3x-1)=+\infty\)
- La courbe n'admet pas d'asymptotes
\(y{'}=3x^{2}-6x+3\)
\((y{'}=0)\iff (x=1)\)
\(\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x& -\infty && 1 &&& +\infty\\ \hline y{'} && + & 0 & +&&\\ \hline y && \nearrow & 0 & \nearrow &&\\ \hline \end{array}\)
Le graphique de la fonction \(f\) est toujours croissante dans \(\mathbb{R}\).
d) Calcul et signes de la dérivée seconde
\(y{''}=6(x-1)\)
\((y{''}=0)\iff (x=1)\)
\(\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x& -\infty && 1 &&& +\infty\\ \hline y{''} && - & 0 & +&&\\ \hline y && \cap & \underset{I}{0} & \cup &&\\ \hline \end{array}\)
Le graphique de la fonction \(f\) passe par le point d'inflexion \((1,0)\).
e) Tableau des variations
\(\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x & -\infty && 1 && +\infty\\ \hline y{'}&& + & 0 & +&\\ \hline y{''}&& - & 0 & +&\\ \hline y & -\infty & \nearrow &\underset{\mathrm{I}}{1}& \searrow & +\infty \\ && \cap && \cup \\ \hline \end{array}\)
f)-
Points d'intercession de la courbe avec les axes des coordonnées
Avec \(OX\):
\( \left\{ \begin{aligned} x^{3}-3x^{2}+3x-1=0\\ y=0 \\ \end{aligned} \right. \iff\) \( \left\{ \begin{aligned} x=1\\ y=0 \\ \end{aligned} \right. \)
La courbe de \(f\) coupe l'axe \(OX\) au point \((1,0)\) e
Avec \(OY\):
\( \left\{ \begin{aligned} x^{3}-3x^{2}+3x-1=0\\ y=0 \\ \end{aligned} \right. \iff\) \( \left\{ \begin{aligned} y=-1\\ x=0 \\ \end{aligned} \right. \)
La courbe de \(f\) coupe l'axe \(OY\) en deux points \((0,-1)\)
-
Points supplémentaires
\(\begin{array}{c|lcccccr} x & -\infty & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & +\infty\\ \hline y&& -8 & -1 & 0 & 1 & 8 &\\ \end{array}\)
L'équation de la tangente au point d'inflexion est \(y=0\).
Remarque
La courbe \((C)\) d'une fonction du troisième degré définie par \(f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\) est appelée parabole cubique .
Elle admet un point d'inflexion \(I\) qui est à la fois son centre de symétrie.