rudless.

1. Définitions

Soit \(A\) une partie de \(\mathbb{N}\).
Une suite réelle ou suite numérique est une application
\(s:A\to \mathbb{R}:n\mapsto s(n)=s_n\)
\(A\) désigne l'ensemble des éléments \(n\) appelés indices.
\(s_n\) est le terme d'indice \(n\) (ou de rang \(n\)) ou terme général de la suite.
Par abus d'écriture, une suite \(s:A\to \mathbb{R}:n\mapsto s(n)=s_n\) est notée \((s_n)_{n\in A}\).
On dit qu'une suite est finie ou infinie selon que \(A\) est fini ou infini.

Une suite réelle ou numérique est un ensemble des réels considérés successivement et placés dans un ordre défini, répondant à une loi constante
de formatiion telle que l'un d'entre eux est déterminé quand on connaît son rang.

Les éléments d'une suite sont ses termes désihgnés par \(S_1, S_2, S_3, S_4,...S_n\).
\(n\) est l'indice ou rang d'un terme; \(S_n\) est le terme général.
\(A\) est l'ensemble des termes de la suite. Si \(A\) est fini, la suite est finie ou limitée.
Si \(A\) est infinie, la suite est infinie ou illimitée.

2. Détermination d'une suite réelle

Une suite \((s_n)_{n\in A}\) peut être déterminée par :

• la donnée de ses termes \(s_0,s_1,s_2,\ldots\)

Exemples

1) \(1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,....\)

2) \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32},\ldots\)
• la donnée de l'expression du terme général en fonction de son indice

Exemples

1) Une suite définie par \(S_n=n^2\)
\(S_1=1^2=1\)
\(S_2=2^2=4\)
\(S_3=3^2=9\)
\(S_4=4^2=16\)

2) Une suite définie par \(S_n=\frac{1}{2^n}\) \(S_0=\frac{1}{2^0}=\frac{1}{1}=1\)
\(S_1=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}; S_2=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4};\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\)
• par un procédé de générations des termes

On fixe le premier terme et une relation liant deux termes consécutifs \(s_n\) et \(s_{n+1}\)

Exemples

1. \(s_0=4, s_n=2s_{n+1}+1\)
2. \(s_0=-5; s_1=3\) et \(s_{n+2}=\frac{s_{n+1}+s_n}{2}\)

Les relations définies précédemment sont dites de récurrence et permettent de calculer de proche en proche les termes successifs d'une suite.
Une telle suite esr dite suite récurrente.

Autres définitions

Une suite \((s_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est dite:

• Constante si \(\forall n\in \mathbb{N}, s_{n+1}=s_n\)

  Exemples

  1. \(s_n=(-1)^{2n}\)

  2. \(s_n=(-1)^{2n+1}\)

  3. \(s_n=5\)
• Croissante (respectivement décroissante) si \(\forall n\in \mathbb{N}, s_{n+1}\geq s_n\) (respectivement \(s_{n+1}\leq s_n\))
• Strictement Croissante (respectivement décroissante) si \(\forall n\in \mathbb{N}, s_{n+1}> s_n\) (respectivement \(s_{n+1}< s_n\))

  Exemples

  1. \(s_n=2^{n}\) (suite strictement Croissante)

  2. \(s_n=(\frac{1}{2})^{n}\) (suite strictement décroissante)
• Suite à termes positifs (respectivement suite à termes négatifs) si \(\forall n\in \mathbb{N}, s_n >0\) (respectivement \(s_n < 0\)).

  Exemples

  1. \(s_n=3^{n}\) (suite positive)

  2. \(s_0=-2, s_n=-\frac{1}{n}\) (suite négative)
• Alternée si ses termes sont alternativement positifs et négatifs.

  Exemple

  \(s_n=(-1)^{n}\)

Remarque

Une suite est dite monotone si elle est soit croissante soit décroissante.

Suite majorée et suite minorée

a) Une suite \((s_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est dite majorée s'il existe un réel \(M\) tel que \(\forall n\in \mathbb{N}, s_n \leq M\).
Dans ce cas, \(M\) est appelé majorant de la suite.

Exemples

1. Soit la suite de terme général \(s_n=1-\frac{1}{n^{2}} \ (n\geq 1)\).
   Les termes de cette suite sont:
   \(0, \frac{3}{4}, \frac{8}{9}, \frac{15}{16}, \frac{24}{25}, \frac{36}{36}, \frac{48}{49}, \frac{63}{64}, \ldots\)
   Nous pouvons constater facilement que les termes de cette suite sont tous inférieurs à \(1\).
   La suite est ainsi majorée par \(1\).
2. Soit la suite du terme général \(s_n=\frac{1}{n}\ \ (n\geq 1)\)
   Les termes de cette suite sont:
   \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5},\ldots\). Ils sont tous inférieurs à \(1\).
   La suite est ainsi majorée par \(1\).

b) Une suite \((s_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est dite minorée s'il existe un réel \(m\) tel que \(\forall n\in \mathbb{N}, s_n \geq m\).
Dans ce cas, \(M\) est appelé minorant de la suite.

Exemple

Soit la suite de terme général \(s_n=\frac{n+1}{n} \ (n\geq 1)\)
Les termes de cette suite sont :
\(2, \frac{3}{2} \frac{4}{3}, \frac{5}{4}, \frac{6}{5}, \frac{7}{6}, \frac{8}{7}, \ldots\). Ils sont tous supérieurs à \(1\).
La suite est ainsi minorée par \(1\).

c) Une suite \((s_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
En d'autres termes, une suite \((s_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est dite bornée s'il existe un réel \(\alpha\) tel que \(\forall n\in \mathbb{N}, \lvert s_n \rvert \leq \alpha\)

Exemple

La suite définie par \(s_n=\frac{1}{n+1} \ (n\geq 1)\) est bornée car elle majorée par \(1\) et minorée par \(0\).
En effet, les termes de la suite sont: \(1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \ldots\). Ils sont tous inférieurs à \(1\) et supérieurs à \(0\).

PROGRESSION

Une progression est une suite particulière des nombres dans laquelle chaque terme est déduit de son précédent par une loi constante.
Si cette loi est une addition, on a une progression arithmétique (P.A); si elle est une multiplication, on a alors une progression
géométrique (P.G).

I. SUITE ARITHMETIQUE

1. Notion

Soit la suite \((s_n)_{n\in \mathbb{N}}\) de terme général \(s_n=-3n+1\).
Déterminons les \(10\) premiers termes de la suite.

\( \begin{array}{c|lr} n & 0 & 1 & 2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline s_n &1&-2&-5&-9&-11&-14&-17&+20&+23&-26\\ \end{array} \)
On a : \(s_1-s_0=s_2-s_1=\ldots =s_9-s_8=-3\)
\(\forall n\in \mathbb{N}, 0\leq n\leq 9, (s_{n+1}-s_n=-3)\iff (s_{n+1}=s_n-3)\)

Tout terme est obtenu en ajoutant \(-3\) à celui qui le précède.
Une telle suite est appelée suite arithmétique (ou progression arithmétique) et \(-3\) est sa raison.

2. Définition

Une progression arithmétique (P.A) ou suite arithmétique est toute suite réelle telle que chaque terme
s'obtient en ajoutant au terme précédent un réel fixe appelé raison.
On a: \(S_{n+1}=S_n+r\) ou \(s_{n}=s_{n-1}+r\)

Conséquences

• Si \((s_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est une suite arithmétique alors \(\forall n\in \mathbb{N}, s_{n+1}-s_n=r\)
  La différence d'un terme par son précédent est égale à la raison r.
• Si \((s_n)_{n\in \mathbb{N}}\) est une suite arithmétique de raison \(r\) alors
  
  
  \( \left. \begin{aligned} s_n=s_{n+1}-r\\ s_n=s_{n-1}-r\\ \end{aligned} \right\} \implies (2s_n=s_{n+1}+s{n-1})\\\implies(s_n=\frac{s_{n+1}+s_{n-1}}{2})\) Chaque terme d'une S.A est la moyenne arithmétique des termes qui l'encadrent. \(S_n=\frac{S_{n-1}+S_{n+1}}{2}\).
  En particulier trois nombres \(a,b,c\) forment une S.A si et seulement si le terme du milieu est la moyenne arithmétique des termes qui l'encadrent.
  \(b=\frac{a+c}{2}\)

Remarques

De la relation \(s_{n+1}-s_n=r\), une suite arithmétique est:

• Croissante: si le premier terme est positif et la raison \(r>0\) ou si le premier terme est négatif et \(0< r<1\).
• décroissante: si le premier terme est négatif et la raison \(r>1\) ou si le premier terme est positif et \(0< r<1\)
• Constante: si \(r=1\)
• alternée: si \(r\) est négative.

Exemples

1) \(A_3=600\) et \(S_12=2400\)
\( i=3; n=12; S_i=600; S_n=2400\)
r=?
\( r=\frac{S_n-S_i}{n-i}\)
\(\frac{r=2400-600}{12-3}=\frac{1800}{9}=200\)

2) \(r=8; S_1=16; S_n=104\); n=?

\( n=\frac{S_n-S_1}{r}+1\)

\( n=\frac{104-16}{8}+1=11+1=12\)
\(12\) termes.

3) \(S_1=253; r=23; n=7\) \(S_7=?\)

\(S_7=253+(7-1)23=253+138=391\)

4) \(a=\frac{1}{3}; b=8; n=4\)

\( r=\frac{8-\frac{1}{3}}{4+1}=\frac{\frac{24-1}{5}}{5}\)

\(=\frac{\frac{23}{3}}{5}=\frac{23}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{23}{15}\)

\(PA=\frac{1}{3}; \frac{28}{15}; \frac{51}{15}; \frac{74}{15}; \frac{57}{15}; 8\)

3. Terme général

Soit \((s_n)_{n\in \mathbb{N}}\) une suite arithmétique de premier terme \(s_1\) et de raison \(r\).
Les autres termes de cette suite peuvent s'écrire :
1. \(s_2=s_1+r\)
2. \(s_3=s_2+r=s_1+2r\)
3. \(s_4=s_3+r=s_2+2r=s_1+3r\)
4. \(s_5=s_4+r=s_3+2r=s_2+3r=s_1+4r\)
5. \(s_6=s_5+r=s_4+2r=s_3+3r=s_2+4r=s_1+5r\)

De proche en proche, on arrive à la forme générale :
\(s_n=s_i+(n-i)r \ \ (i< n)\)
En particulier si \(i=1\), on a:
\(s_n=s_1+(n-1)r\)

Exemples

• Soit la suite \((s_n)_{n\in \mathbb{N}}\) dont \(s_1=-\frac{1}{2}\) et \(r=\frac{1}{5}\)
  \(s_30=-\frac{1}{2}+(30-1)\frac{1}{5}\)
  \(=\frac{53}{10}\)
• Soit la S.A dont on donne \(s_3=9\) et \(s_6=18\).
  On a :\([s_6=s_3+(6-3)r]\)
  \(\iff (18=9+3r)\)
  \(\iff 9=3r\)
  \(\iff r=3\)
  Les sept premiers termes de la suite sont: \(3,6,9,12,15,18,21\)

Exercice

Démontrer par récurrence la relation \(s_n=s_1+(n-1)r\)

Démonstration

Procédons de la manière la plus simple pour faciliter la compréhension.
Nous constatons que la valeur la plus recherchée ici est celle de \(n\). Nous allons donc lui attribuer des valeurs arbitraires et voir si la condition est vérifiée.
Pour \(n=1\), on a :
\(s_1=s_1+(1-1)r\)
\(\iff s_1=s_1+(0)r\)
\(\iff s_1=s_1\)
Donc la relation est vraie pour \(n=1\).

Pour \(n=2\), on a :
\(s_2=s_1+(2-1)r\)
\(\iff s_2=s_1+r\)
Tirons la valeur \(r\)
\(s_2=s_1+(2-1)r\iff r=s_2-s_1\)
En remplaçant \(r\) par sa valeur, on obtient :
\(s_2=s_1+s_2-s_1\)
D'où \(s_2=s_2\). Donc la relation est vraie même pour \(n=2\).
Maintenant nous allons généraliser en prenant \(n=n+1\).
Ainsi, la relation \(s_n=s_1+(n-1)r\) devient :
\(s_{n+1}=s_1+(n+1-1)r\)
\(\iff s_{n+1}=s_1+(n)r\)
Tirons la valeur de \(r\). \(s_{n+1}=s_1+(n)r \iff r=\frac{s_{n+1}-s_1}{n}\)
En remplaçant \(r\) par sa valeur, on obtient :
\(s_{n+1}=s_1+(n)\frac{s_{n+1}-s_1}{n}\)
\(s_{n+1}=s_1+s_{n+1}-s_1\)
\(\iff s_{n+1}=s_{n+1}\)
Donc la relation est également vraie pour \(n=n+1\).
Voilà ce qu'il fallait démontrer.

Somme des \(n\) termes consécutifs d'une suite arithmétique

a) Lemme Soit \(s_1,s_2,s_3,\ldots,s_n\) les \(n\) termes d'une suite arithmétique.
La somme des termes équidistants des extrêmes vaut la somme de ces deux derniers.
En effet, désignons par \(s_{k+1}\) un terme précédé de \(k\) termes et \(s_{n-k}\) un autre terme suivi de \(k\) termes.
\(\underbrace {s_1,\underbrace{s_1+r,s_1\underbrace{+2r,\ldots,s_{k+1},\ldots,s_{n-k},s_n-}2r,s_n-}r,s_n}\)

On constate que \(s_{k+1}\) et \(s_{n-k}\) sont des termes équidistants des extrêmes.
Sachant que \(s_n=s_i+(n-i)r\), on a :
\( \left\{ \begin{aligned} s_{k+1}=s_1+kr && (1)\\ s_{n-k}=s_n-kr && (2) \end{aligned} \right. \)

En additionnant membre à membre les égalités \((1)\) et \((2)\), on établit :
\(s_{k+1}+s_{n-k}=s_1+s_n, \ \ \forall k,n\in \mathbb{N} \ \ (n>k)\)

b) Théorème Dans une S.A, la somme des \(n\) premiers termes consécutifs vaut la demi-somme des termes extrêmes multipliée par le nombre \(n\) de ces termes.
\(s_n=\frac{n(s_1+s_n)}{2}\)
En remplaçant \(s_n\) par \(s_1+(n-1)r\) dans la formule ci-dessous, on obtient :
\(s_n=[2s_1+(n-1)r].\frac{n}{2}\)

Exemples

• La somme des \(11\) premiers termes de la S.A dont on donne \(s_1=13\) et \(s_11=53\) est :
  \(s_{11}=(\frac{13+53}{2}).(11)\)
  \(=363\)
• La somme des \(100\) premiers termes consécutifs de la S.A \(10,15,20,\ldots,\) est :
  \(s_{100}=\frac{(2.10+99.5)}{2}.(100)\)
  \(=25750\)

Insertion de \(n\) moyens arithmétiques entre deux nombres \(a\) et \(b\)

Il s'agit de former une S.A ayant \(n+2\) termes avec \(a\) et \(b\) respectivement premier et dernier.
Ainsi, \([b=a+(n+1)r]\iff [b-a=(n+1)r]\)
La raison de cette suite est :
\(r=frac{b-a}{n+1}\)

Exemple

Pour insérer \(15\) moyens arithmétiques entre \(71\) et \(23\), on :
\(r=frac{b-a}{n+1}=\frac{23-71}{16}=-3\)
S.A: \(71,68,65,62,59,56,53,50,47,44,41,38,35,32,29,26,23\).

Remarques

• Une suite arithmétique à nombre impair des termes, de raison \(r\) et de terme milieu \(a\) s'écrit :
  \(\ldots,a-2r,a-r,a,a+r,a+2r,\ldots\)
• Une suite arithmétique à nombre pair des termes, de raison \(2r\) s'écrit :
  \(\ldots,a-3r,a-r,a+r,a+3r,\ldots\)

II. SUITE GEOMETRIQUE

1. Notion

Soit la suite \((s_n)_{n\in \mathbb{N}}\) de terme général \(s_n=12.(\frac{1}{2})^{n-1}\)
Déterminons les \(5\) premiers termes de la suite.
\( \begin{array}{c|lr} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline s_n &24 & 12 & 6 & 3 & \frac{3}{2}\\ \end{array} \)
On a : \(\frac{s_1}{s_0}=\frac{s_2}{s_1}=\frac{s_3}{s_2}=\frac{s_4}{s-3}=\frac{1}{2}\)
\(0\leq n\leq 4, (\frac{s_{n+1}}{s_n}=q)\iff (s_{n+1}=s_n.q)\)

Tout terme est obtenu en multipliant \(\frac{1}{2}\) par celui qui précède.
Une telle suite est appelée suite géométrique (ou progression géométrique) et \(\frac{1}{2}\) est sa raison.

2. Définition

Une progression géométrique ou suite géométrique est une suite réelle(numérique) telle que chaque terme s'obtient en multipliant le terme
précédent par un réel non nul \(q\) appelé raison.
On a: \(S_{n+1}=S_{n}.q\)

Remarque

Les termes d'une suite géométrique étant désignés par \(s_1, s_2,s_3,\ldots, s_n\), on a:
\(\frac{s_2}{s_1}=\frac{s_3}{s_2}=\frac{s_4}{s_3}=\ldots=\frac{s_n}{s_{n-1}}=q\)
Ainsi, \((\frac{s_2}{s_1}=\frac{s_3}{s_2})\implies (s_2=\sqrt{s_1.s_3})\)
\((\frac{s_3}{s_2}=\frac{s_4}{s_3})\implies (s_3=\sqrt{s_2.s_4})\)
\((\frac{s_4}{s_3}=\frac{s_5}{s_4})\implies (s_4=\sqrt{s_3.s_5})\)
\(\ldots \ldots \ldots \)
\((\frac{s_n}{s_{n-1}}=\frac{s_{n+1}}{s_n})\implies (s_{n}{^2}=s_{n-1}.s_{n+1})\)
\(\implies (s_{n}=\sqrt{s_{n-1}.s_{n+1}})\)

Exemple

P.G de raison \(q=2:1,2,4,8,16,32,64,...\)

Conséquences

• le quotient d'un terme par son précédent est égal à la raison \(q\).
• chaque terme est la moyenne géométrique (moyenne proportionnelle) des termes qui l'encadrent.

\(S_n=\sqrt{S_{n-1}\times S_{n+1}}\)
En particulier, trois nombres \(a,b\) et \(c\) forment une suite géométrique si et seulement si le terme du milieu est moyen géométrique des termes
qui l'encadrent:
\(b^{2}=a\times c\)

Remarques

Une P.G est:

• Croissante: si le premier terme est positif et la raison \(q>0\) ou si le premier terme est négatif et \(0< q< 1\).
• décroissante: si le premier terme est négatif et la raison \(q>1\) ou si le premier terme est positif et \(0< q< 1\)
• Constante: si \(q=1\)
• alternée: si \(q\) est négative c'est-à-dire \(q< 0\).

3. Terme général

Soit \((s_n)_{n\in [mathbb{N}]}\) une suite géométrique de premier terme \(s_1\) et de raison \(q\).
Les autres termes de cette suite peuvent s'écrire :
1. \(s_2=s_1.q.s_2\)
2. \(s_3=s_2.q=s_1.q^{2}\)
3. \(s_4=s_3.q=s_2.q^{2}=s_1.q^{3}\)
\(\ldots \ldots \ldots\)
De proche en proche, on arrive à la formule générale:
\(s_n=s_i.q^{n-i} \ \ \ (i< n)\)
En particulier pour \(i=1\), on a : \(s_n=s_1.q^{n-1}\)

Exemple

Le \(12^{e}\) terme d'une S.G dont on donne \(s_2=3\) et \(q=2\) est \(s_{12}=3.(2)^{10}\\ =3072\)

Calcul du \(n^{i\grave{e}me}\) terme d'une P.G

1°) Cas: on donne le premier terme et \(S_1\) et la raison \(q\).

\(S_n=S_1.q^{n-1}\Rightarrow q=\sqrt[n-1]\frac{S_n}{S_1}\)

Exemple

Calculer le \(6^{e}\) terme d'une P.G dont le \(1^{er}\) terme est \(3\) et la raison \(2\).
\(n=6; S_1=3; q: 2\)
\(S_6=?\)

\(S_6=3.2^{6-1}=3.2^5=3.32=96\)

2°) Cas: On donne un terme d'indice \(i\) et la raison \(q\)

\(S_n=S_i.q^{n-i}\Rightarrow q=\sqrt[n-i]\frac{S_n}{S_i}\)

Exemple

Calculer le \(12^\text{e}\) terme d'une P.G dont le \(2^\text{e}\) terme est \(3 \text{ et \ la \ raison}\) \(2\).

\(n=12; i=2; S_i=3; q=2\)
\(S_n=3.2^{12-2}=3.2^10=3072\)

Somme des \(n\) de termes consécutifs d'une S.G

\(S_n=\frac{S_1-S_n.q}{r-q}\)
ou \(S_n=\frac{S_1.q^{n-1}}{q-1}\)

Exemple

Calculer la somme de \(5\) \(\text{premiers}\) d'une P.G, ayant pour \(1^\text{er} terme\) 4 et raison \(2\).

\(n=5; S_1=4; q=2\)
\(S_5\) \(\text{ou}\) \(S_n=?\)

\(S_5=4.\frac{2^5-1}{2-1}=4.\frac{31}{1}=4.31=124\)

Produit \(P_n\) des \(n\) termes consécutifs d'une S.G

\(P_n=\sqrt{(S_1.S_n)^n}\) ou \(P_n=(\sqrt{S_1^{2}.q{n-1}})^n\)

Calculer le produit de \(3\) premiers termes d'une P.G ayant pour premier terme \(2\) et pour raison \(3\).

\(S_1=2; q=3; n=3; P_n=?\)
\(P_n=(\sqrt{2^2.3^{3-1}})^3\)
\(=(\sqrt{4.9})^3\)
\(=(\sqrt{36})^3=6^3=216\)

Insertion de \(k\) moyens géométriques entre deux nombres positifs \(a\) et \(b\)

.

Il s'agit de former une progression géométrique de \(k+1\) termes dont \(a\) et le \(1\text{er}\) terme et \(b\) le dernier.

On calcule alors la raison \(q=\sqrt[k+1]\frac{b}{a}\)

Exemple

Insérer \(4\) moyens géométriques entre \(4\) et \(128\).

\(a=4; b=128; k=4\).

\(q=\sqrt[k+1]\frac{b}{a}=\sqrt[4+1]\frac{128}{4}\)
\(=\sqrt[5]{32}=2\)
\(P.G=4,\underbrace {8,16,32,64}_{4 \ \mathrm{termes}},128\)

Remarques

• Une suite géométrique ayant un nombre impair de termes, de raison \(q\) et de terme de milieu \(x\) s'écrit :
  \(\ldots, \frac{x}{q^{3}}, \frac{x}{q^{2}}, \frac{x}{q}, xq, xq^{2}, xq^{3}, \ldots\)
• Une suite géométrique ayant un nombre impair de termes, de raison \(q\) et de terme de milieu \(x\) s'écrit :
  \(\ldots, \frac{x}{q^{5}}, \frac{x}{q^{3}}, \frac{x}{q}, xq, xq^{3}, xq^{5}, \ldots\)