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ENSEMBLE \(\mathbb{Q}\)

ENSEMBLE \(\mathbb{Q}\) DES RATIONNLES

\(1.\) DEFINITION

  • Fractions à termes relatifs ou nombres relatifs

    • Si \(R\) est une fraction, alors \(R=\frac{a}{b}\) où \(a\in\mathbb{Z}, \quad b\in\mathbb{Z}^{*}\) est un rapport de deux entiers.

    On appelle rationnel, toute fraction à termes relatifs.

    Exemple

    \(-\frac{4}{5}; \frac{1}{6}; \frac{2}{7}; \frac{5}{56}; \ldots\)

  • Fraction irréductible

    • Une fraction \(\frac{a}{b}\) est irréductible ssi le pgcd \((|a|,|b|)=1\).
    \(|a|\quad et \ quad |b|\) sont respectivement les valeurs absolues de \(a\quad et \quad de \ b\)

    Réduire donc deux fractions ou une fraction \(\frac{a}{b}\) à sa plus simple expression ou la simplifier c'est transformer la fraction \(\frac{a}{b}\)
    en une fraction irréductible qui lui est égale.

    Exemple

    \(-\frac{4}{5}\) est une fraction irréductible.
    En effet, pgcd\((|4|, |5|)\)
    pgcd\((4,5=1)\)

  • Fractions équivalentes

    • Soit \(\frac{a}{b}\) une fraction.
    Si on multiplie ou si on divise le numérateur \(a\) et le dénominateur \(b\) par un même nombre non nul, la fraction ne change pas. On obtient
    ainsi une fraction équivalente ou égale à la première.

    Exemple
    Ainsi, \(-\frac{3}{4}=-\frac{6}{8}\)
  • L'nsemble des rationnels

    • Il est noté \(\mathbb{Q}\)

    \(\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}, a\in\mathbb{Z} \quad et \quad b\in\mathbb{Z}^{*}\}\)

  • Signe d'un rationnel

    • Le rationnel \(\frac{a}{b}\) est positif ssi \(a \ et \ b\) ont un même signe ou bien \(a=0\) et \(b\ne 0\)

    Exemple

    \(\frac{3}{5},\frac{-4}{-7}, \frac{0}{4}\)

    Le rationnel \(\frac{c}{d}\) est négatif ssi \(c \ et \ d\) sont des signes contraires ou \(c=0\) et \(d\ne 0\)

    Exemple

    \(\frac{-4}{5}, \frac{3}{-8}, \frac{0}{4}\)

    • \(\mathbb{Q}^{-}\) est l'ensemble des rationnels négatifs
    • \(\mathbb{Q}^{+}\) est l'ensemble des rationnels négatifs
    • \(\mathbb{Q}^{*}\) est l'ensemble des rationnels non nuls
    • \(\mathbb{Q}_{-}^{*}\) est l'ensemble des rationnels strictement négatifs non nuls
    • \(\mathbb{Q}_{+}^{*}\) est l'ensemble des rationnels strictement positifs non nuls

      • \(\frac{-3}{5}=\frac{3}{-5}, \frac{-3}{5}\)

  • Valeur absolue d'un rationnel

    • Par définition, la valeur absolue d'un rationnel \(\frac{a}{b}\), noté \(\lvert \frac{a}{b} \rvert\) est \(\frac{a}{b}=\frac{|a|}{|b|}\)

    Exemple

    \(1.\) \(\lvert\frac{-3}{2}\rvert=\frac{|-3|}{|2|}=\frac{3}{2}\)
    \(2.\) \(\lvert\frac{7}{6}\rvert=\frac{|7|}{|6|}=\frac{3}{2}\)

    N.B : Un rationnel est nul ssi son numérateur est nul.
    \(\frac{a}{b}=0\iff a=0\)

    Exemple

    \(\frac{0}{-5}=\frac{0}{10}=\frac{0}{199}\)

  • Fraction et décimal

    • \(\frac{5}{16=0,3125}\)
    \(\frac{-3}{4}=-0,075\) sont des décimaux

    \(\frac{7}{6}\) n'est pas un décimal car la division de \(7\ \ par \ 6\) ne s'arrête pas.

    • Tout entier est un décimal dont la partie décimale est \(0\)
    • Tout décimal est une fraction mais une fraction n'est pas nécessairement un décimal.

\(2.\) OPERATIONS SUR LES RATIONNLES

a. Addition (soustraction) des rationnels
- Somme de deux rationnels

Calculer la somme de deux rationnels revient à Calculer la somme de deux fractions qui les représentent. Pour cela, il faut les réduire au même
dénominateur (de préférence positif).

Exemple

\(\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=\frac{10°9}{15}=\frac{19}{15}\)

\(\frac{5}{12}-\frac{7}{24}=\frac{10-7}{24}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}\)

\(\frac{7}{-12}+\frac{5}{8}+\frac{-11}{18}=\frac{-42+45-44}{72}=\frac{-41}{72}\)

Nota : \(\forall a, c\in\mathbb{Z}, \ \forall b\in\mathbb{Z}^{*}\),
\(c+\frac{a}{b}=\frac{cb}{b}+\frac{a}{b}=\frac{cb+a}{b}\)

\(\blacklozenge\) STRUCTURE (\(\mathbb{Q};+\))
  • L'addition dans \(\mathbb{Q}\) est une opération interne partout définie.

    • \(\forall(\frac{a}{b}, \ \frac{c}{c})\in \mathbb{Q\times Q} : \frac{a}{b}+\frac{c}{d}\in \mathbb{Q}\)

    Exemple

    \(\frac{2}{3}+\frac{4}{5}=\frac{10+12}{15}=\frac{22}{15}\in\mathbb{Q}\)

    • L'addition est commutative

      • \(\forall\frac{a}{n}, \ \frac{b}{n}\in\mathbb{Q}; \ \frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{b}{n}+\frac{a}{n}\)

      Exemple

      \(\frac{2}{3}+\frac{4}{5}=\frac{4}{5}+\frac{2}{3}\)

    • L'addition est associative

      • \(\forall\frac{a}{n}, \ \frac{b}{n}, \ \frac{c}{n}\in\mathbb{Q}; \ (\frac{a}{n}+\frac{b}{n})+\frac{c}{n}=\frac{a}{n}+(\frac{b}{n}+\frac{c}{n})\)

    • Le rationnel \(0\) est neutre pour l'addition

      • \(\forall \frac{a}{b}+0\in \mathbb{Q}, \ \frac{a}{b}+0=\frac{a}{b}\)

      Exemple

      \(\frac{2}{3}+0=\frac{2}{3}\)

    • Tout rationnel admet dans \(\mathbb{Q}\) est symétrique pour l'addition

      • \(\forall\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}, \exists ! -\frac{a}{b}: \ \frac{a}{b}+-\frac{a}{b}=0\)

      \(-\frac{a}{b}\) est nommé "l'opposé de \(\frac{a}{b}\)"

  • Différence de deux rationnels

    • La différence de deux rationnels est égale à la somme du premier et de l'opposé du second

    \(\forall\frac{a}{b}, \ \frac{c}{b}\in\mathbb{Q}:\ \frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a}{b}+(-\frac{c}{b})\)

    Exemple

    \(\frac{1}{3}-\frac{7}{5}=\frac{1}{3}+(-\frac{7}{5})\)

b. Multiplication dans \(\mathbb{Q}\)

Calculer le produit de deux rationnels revient à calculer le produit de deux fractions qui les représentent. Autrement dit, il suffit de multiplier les
numérateurs entre eux et les dénominateur aussi entre eux.

\(\forall\frac{a}{b},\ \frac{c}{d}\in\mathbb{Q} : \ \frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}\)

Exemple

\(\frac{3}{4}.\frac{-5}{7}=\frac{3.(-5)}{4.7}=\frac{-15}{28}\)

\(\blacklozenge\ \quad a.\frac{b}{c}=\frac{a}{1}.\frac{b}{c}=\frac{ab}{c}\)

Exemple

\(4.\frac{1}{6}=\frac{4}{6}\)

\(\blacklozenge\) Deux rationnels sont inverses l'un de l'autre ssi leur produit vaut \(1\).

Exemple

\(4.\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1\)
Donc \(\frac{1}{4}\) est l'inverses de \(4\).

\(\blacklozenge\) L'inverses de \(\frac{a}{b}\) se note \((\frac{a}{b})^{-1}\)

\((\frac{a}{b})^{-1}=\frac{b}{a}\)

\(\blacklozenge\) \(0\) n'a pas d'inverse.

  • La multiplication dans \(\mathbb{Q}\) est interne et partout définie
  • Elle est commutative et associative
  • \(1\) est neutre pour la multiplication
  • Tout rationnel non nul admet dans \(\mathbb{Q}\) un symétrique qui est son inverse.
  • \(0\) est élément absorbant
c. La division

\(\blacklozenge\) Le quotient d'un rationnel par un autre rationnel non nul est le rationnel égal au produit du premier par le second.

\(\forall \frac{a}{b}, \ \forall\frac{c}{d}\in \mathbb{Q}:\) le quotient de \(\frac{a}{b} \ et \ \frac{c}{d}\) se note : \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\)

\(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}.(\frac{c}{d})^{-1}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}\)

En quelque il s'agit tout simplement de la multiplication de la première par l'inverse de la seconde.

Exemple

Calculer le quotient de :

  • \(\frac{3}{2} \ et \ \frac{-9}{16}\)

    • \(\frac{3}{2}.\frac{16}{-9}=\frac{3.16}{2.(-9)}=\frac{48}{-18}=\frac{8}{3}=-\frac{8}{3}\)

  • \(5 \ et \ -\frac{12}{15}\)

    • \(\frac{5}{\frac{12}{15}}=\frac{5}{1}.{\frac{15}{12}}=\frac{75}{12}=\frac{25}{4}\)

Quelques propriétés

  • Dans \(\mathbb{Q}\) le neutre pour l'addition est absorbant pour la multiplication
  • Tout produit de deux rationnels est nul ssi l'un des deux au moins est nul.
  • L'opposé de toute somme de rationnels est égal à la somme des opposés de ces rationnels
  • L'inverse de tout produit de rationnels non nuls est égal au produit des inverses de ces rationnels

    • \((\frac{a}{b}.\frac{c}{d})^{-1}=(\frac{ac}{bd})^{-1}=(\frac{a}{b})^1.(\frac{c}{d})^{-1}\)

Remarques

  • \(\frac{a}{a}=1\)
  • \(\frac{0}{a}=0\)
  • \(\frac{a}{0}\) n'a pas de sens car il n'existe pas un nombre tel que son produit avec \(0\) donne \(a\)
  • \(\frac{0}{0}\) est indeterminé car n'importe quel nombre multiplié par \(0\) donne toujours \(0\)

    • Vous pouvez cliquer ici pour plus d'explications et démonstrations sur \(\frac{0}{0} \ et \ 0^0\)

  • \(\frac{a}{1}=a\)
  • \(\frac{a}{-1}\)
  • On appelle nombres inverses, deux nombres dont le produit donne \(1\)

    • Nous l'avons dit déjà précédemment

    Exemple

    \(3 \ et \ \frac{1}{3}\) sont deux nombres inverses car \(3.\frac{1}{3}=1\)
    \(-5 \ et \ \frac{1}{-5}\) sont aussi deux nombres inverses car \(-5.\frac{1}{-5}=1\)

EXPONENTIATION DANS \(\mathbb{Q}\)
\(1.\) Puissances à exposants entiers positifs

\(\forall \frac{a}{b}\in\mathbb{Q}\), on a :

  • Si \(n\in\mathbb{N} / \{O,1\}, \frac{a}{b}=\underbrace{\frac{a}{b}.\frac{a}{b}\ldots \frac{a}{b}}_{n\quad \mathrm{fractions}}\)
    • Exemple

    \((\frac{2}{3})^{4}=\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3}=\frac{16}{81}\)

  • Si \(n=0\) alors \((\frac{a}{b})^{n}=0\) (\(a,b\in\mathbb{Z}^{*}\))
    • Exemple

    \((\frac{3}{7})^0=1\)

  • Si \(n=1\) alors \((\frac{a}{b})^{n}=\frac{a}{b}\)
    • Exemple

    \((\frac{3}{7})^1=\frac{3}{7}\)

PROPRIETES

  • \((\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}\)

    • Exemple : \((\frac{2}{3})^4=\frac{2^4}{3^4}=\frac{16}{81}\)

  • \((\frac{a}{b})^n.(\frac{a}{b})^p=(\frac{a}{b})^{n+p}\)

    • Exemple : \((\frac{3}{5})^3.(\frac{3}{5})^2=(\frac{3}{5})^{3+2}=(\frac{3}{5})^5=\frac{243}{3125}\)

  • \([(\frac{a}{b})^n]^p=(\frac{a}{b})^{n.p}\)

    • Exemple : \([(\frac{1}{2})^4]^3=(\frac{1}{2})^{4.3}=(\frac{1}{2})^{12}=\frac{1}{4096}\)

  • \((\frac{a}{b}.\frac{c}{d})^n=(\frac{a}{b})^n.(\frac{c}{d})^n\)

    • Exemple : \((\frac{2}{3}.\frac{-3}{5})^2=(\frac{2}{3})^2.(\frac{-3}{5})^2=\frac{4}{9}.\frac{9}{25}=\frac{4}{25}\)

  • \(\frac{(\frac{a}{b})^n}{(\frac{a}{b})^p}= \left\{ \begin{array}{l c r} (\frac{a}{b})^{n-p} \ si \ n\geq p\\ \frac{1}{(\frac{a}{b})^{p-n}} \ si \ n< p\\ \end{array} \right. \)

    • Exemple

    • \(\frac{(\frac{3}{4})^6}{(\frac{3}{4})^4}=(\frac{3}{4})^{6-4}=(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}\)
    • \(\frac{(-\frac{2}{5})^4}{(-\frac{2}{5})^7}=\frac{1}{(-\frac{2}{7})^{7-4}}=\frac{1}{(-\frac{2}{3})^3}=\frac{1}{-\frac{8}{125}}=-\frac{125}{8}\)

COMPARAISON DES RATIONNLES
Les deux fractions sont positives
  • Si les deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus dénominateur

    • Exemple : \(\frac{7}{4}>\frac{7}{8}; \ \frac{77}{11}>\frac{77}{43}\)

  • Si les deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur

    • Exemple : \(\frac{3}{5}< \frac{4}{5}; \ \frac{50}{7}>\frac{4}{7}\)

  • Si les deux fractions sont quelconques, on les réduit d'abord au même dénominateur ensuite on les compare

    • Exemple : Comparons les fractions suivantes

    \(\frac{2}{3} \ et \frac{3}{4}\)
    Réduisons ces deux fractions au même dénominateur.
    Nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur de la première par \(4\) et ceux de la deuxième par \(3\). Nous avons donc :
    \(\frac{2\times 4}{3\times 4}\ et \ \frac{3\times 3}{4\times 3}\). Nous obtenons :
    \(\frac{8}{12} \ et \frac{9}{12}\). Nous retrouvons un cas déjà étudié précédemment.
    D'où \(\frac{8}{12} < \frac{9}{12}\).
    Donc \(\frac{2}{3}< \frac{3}{4}\)

Les deux fractions sont de signes contraires

Dans ce cas, la plus grande est celle qui est positive

Exemple : \(-\frac{3}{4}<\frac{1}{8}; \ -\frac{15}{2}< \frac{3}{5}\)

Les deux fractions sont de signes négatifs

On ls range dans l'ordre contraire de leurs opposés

Exemple :
\(-\frac{4}{7}> -\frac{3}{5} \ car \ \frac{4}{7}<\frac{3}{5}\)

\(-\frac{6}{13}>-\frac{3}{7} \ car \ \frac{6}{13}>\frac{3}{7}\)

PUISSANCE A EXPOSANTS ENTIERS NEGATIFS

Soit \(n\) un entier strictement négatif et \(\frac{a}{b}\) un rationnel, on peut avoir :
\((\frac{a}{b})^{-n}=(\frac{b}{a})^n\)

Exemple :

  • \((\frac{3}{4})^{-2}=(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}\)
  • \(5^{-2}=(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{25}\)
  • \((-2)^{-3}=(-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}\)
  • \((\frac{1}{2})^{-5}=2^5=32\)

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