EQUATION DU PREMIER DEGRE
II. EQUATIONS REDUCTIBLES AU PREMIER DEGRE
II. EQUATIONS REDUCTIBLES AU PREMIER DEGRE
II.1 EQUATIONS PRODUITS \(A.B.C…=0\)
EQUATIONS CONTENANT DES PARENTHESES, CROCHETS OU ACCOLADES
Pour résoudre ces genres d'équations, on supprime les parenthèes, accolades ou crochets avnt d'opérer.
EXEMPLE
`3-7x-(1-x)=2(x+1)``3-7x-1+x=2x+2`
`-7x+x-2x=-3+1+2`
`-8x=0`
`x=0/-8`
`x=0`
EQUATIONS CONTENANT LE DENOMINATEUR
- On cherche le ppcm si c'est possible pour réduire les termes au même dénominateur
- On le supprime
EXEMPLE
`(x+1)/2`+`(x+7)/6`=`x/3`-2ppcm=6
`3(x+1)+x+7=2x-12`
`3x+3+x+7=2x-12`
`3x+x-2x=-3-12-7`
`2x=-22`
`x=-22/2`
`x=-11`
EQUATIONS REDUCTIBLES AU PREMIER DEGRE
Ce sont des équations d'un degré supérieur à un mais dont la résolution peut se ramener à celle d'un équation du premier degré.
Il s'agit en entre autres de:
-
EQUATION DE LA FORME:`A.B.C...=0`
On l'appelle également équation-produit.
Pour résoudre une telle équation, on procède comme suit:
- On regroupe tous les termes dans un même membre;
- On décompose en facteurs(si c'est possible, ce qui donne un produit des facteurs du premier degré;
- On résout l'équation.
EXEMPLE
-
`x^3-9x=0`
`x(x^2-9)=0`
`x=0`
`x^2-9=0`
`(x-3)(x+3)=0`
`x-3=0`
`x=3`
`x+3=0`
`x=-3`
`S={-3,0,3}` -
`x^2-5x+6=0`
`(x-2)(x-3)=0`
`x-2=0`
`x=2`
`x-3=0`
`x=3`
`S={2,3}`
ZEROS ET SIGNE D'UN PRODUIT DES FACTEURS
A titre d'exemple
Soit `f(x)=(x-2)(2x-8)(3x-27)`
On démande d'étudier les signes de cette fonction.
Pour résoudre cette équation, on étudie séparement le signe
de chaque facteur qui est de la forme `ax+b=0`
Trouvons d'abord les racines de cette équation.
`x-2=0`
`x=2`
`2x-8=0`
`2x=8`
`x=8/2`
`x=4`
`3x-27=0`
`3x=27`
`x=27/3`
`x=9`
Traçons le tableau de variation
\(\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x& -\infty && 2 && 4 && 9 && +\infty\\ \hline (x-2)&&-&0&+&&+&+&+\\ \hline (2x-8)&&-&&-&0&+&+&+\\ \hline (3x-27)&&-&&-&-&-&0&+\\ \hline &&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\)REMARQUE
Soit l'équation \(x^{2}=0 (a \in \mathbb{R})\)
- Si \(a\) est supérieur à \(0\), \(x^{2}=a \iff x^{2}=0\)
\(\iff [x-\sqrt{a};x+\sqrt{a}=0]\)
\(\iff x=\sqrt{a} \text{ou} \ x=-\sqrt{a}\)
\(S=\{\sqrt{a}, -\sqrt{a}\}\) - Si \(a < 0\), \(x^2=a\) n'a pas de solution et \(S=\varnothing \)
- L'équation \(x^{2}=0\) admet une solution unique; \(S=\{0\}\)
-
EQUATION DE LA FORME \(frac{(A.B.C)}{(D.E)}\)
EQUATION FRACTIONNAIRE OU EQUATION-QUOTIENT
\(A,B,C,D,E\) sont des binômes du premier degré en \(x\)
Les équations fractionnaires sont celles dont un dénominateur contient une inconnue.
RESOLUTION
- Toute valeur qui annule le dénominateur est écartéé(Condition préalable:C.P)
- On résout l'équation
- On retient les valeurs de l'iconnue qui vérifient la C.P posée.
EXEMPLE
Résoudre dans `RR` l'équation \(\frac{2x+8}{x+3}-1=0\)
\(C.P= x\ne 3\)
=`(2x+8-1(x+3))/(x+3)=0`
=`2x+8-x-3=0`
=`2x-x=3-8`
`x=-5`
\(S=\{-5\}\)Exercices
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes:
- `((x-1)(5x+25))/(9x+1)=0`
- `30/(x+5)``-15/3+``(5+4x)/(x+5)=0`
- `(x-1)/x``-1/(x+1)`=`(2x-1)/(x(x+1))`
- `(x^2-5x+6)/(x^2-4)`=0
- `a/b`=`c/d`=`(a+c)/(b+d)`
- `a/b`=`c/d`=`(a-c)/(b-d)`
- Trouver les diviseurs du terme indépendant
- Effectuer la division de \(P(x) \: par \; x-x_{0},\: x_{0}\) étant le diviseur qui a vérifié la condition prétendante.
REMARQUE
On peut parfois résoudre des équations analogues à la précédente en aplliquant les propriétés de proportion.
Soit la proportion \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\); On a:
EXEMPLE
`(5+x)/(7+x)=(4-x)/(5-x)`C.P`=x!=-7`; `x!=5`
`(5+x)(5-x)=(7+x)(4-x)`
`25-5x+5x-x^2=28-7x+4x-x^2`
`25-x^2=28-3x-x^2`
`-x^2+3x+x^2=28-25`
`3x=3`
`x=3/3`
`x=1`
`S={1}`
II.1 EQUATIONS PRODUITS \(A.B.C…=0\)
Soit à résoudre l’équation \(A.B.C=0\) )où A, B et C sont des facteurs du premier degré, on utilise la propriété suivante : \(A.B.C…=0 \ \Leftrightarrow \ (A=0) \; ou \; (B=0)ou (C=0)…\)
Exemple 5
Exemple 5
Résoudre \((2x-3)(4x-1)(x-4)(-2x+8)=0\)
\(\Leftrightarrow 2x-3=0 \; ou \; 4x-1=0 \; ou \; x-4=0 \; ou\; -2x+8=0\)
\(\Leftrightarrow 2x=3 \ ou\ 4x=1 \ ou\ x=4 \ ou\ -2x=-8\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{2} \ ou x=\frac{1}{4}\ ou x=4 \ ou -x=\frac{-8}{-2}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{2} \ ou\ x=\frac{1}{4} \ ou\ x=4 \ ou \ x=4\)
\(S=\{\frac{3}{2}, \ \frac{1}{4} \ , 4 \}\)
Remarque
Remarque
Même les équations de degré supérieur à 1 peuvent être ramenées sous cette forme par décomposition ou factorisation.
Exemple 6
Exemple 6
Résoudre \(x^2-5x+6=0\)Décomposons le trinôme donné. Il y a plusieurs méthodes pour le faire, mais voici celle que nous allons utiliser : Soit \(P(x)=x^2-5x+6\)
Dans notre cas, le terme indépendant c’est 6 et ses diviseurs sont : \( \pm 1,\ ; \pm2\ ; \pm 3 \ et \ \pm 6\)
Remplacer les diviseurs dans le polynôme et retenir celui qui annule le polynôme, c’est-à-dire, soit \(x_{0}\), tel que \(x_{0}\) est diviseur du terme indépendant, calculer \(P(x_{0})\) et retenir celui pour lequel \(P(x_{0})=0\).
Pour 1 ∶ \(P(1)=(1)^2-5(1)+6=2\neq 0\) à rejeter
Pour 2 ∶ \(P(2)=(2)^2-5(2)+6=0\) à considérer
Inutile de tester les autres diviseurs car on a déjà trouvé un qui vérifie :
\(x^2-5x+6 \Leftrightarrow(x-2)(x-3)\)
\(\Rightarrow x^2-5x+6=0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0\)
\(\Leftrightarrow x-2=0 \ ou \ x-3=0\)
\(\Leftrightarrow x=2 \ ou\ x=3\)
\(S=\{2;3\}\)
Exemple 7
Exemple 7
Résoudre : \(x^3-6x^2+3x+10=0\)
Décomposons \(x^3-6x^2+3x+10\)
Les diviseurs de 10 sont : \(\pm1\ ;\ \pm2 \ ;\ \pm5 \ et \ \pm10\)
Parmi ces diviseurs, -1 annule le polynôme
Effectuons la division de \(x^3-6x^2+3x+10 \ par\ x+1\)
\(x^3-6x^2+3x+10\Leftrightarrow (x+1)(x^2-7x+10)\)
On constate qu’après décomposition, il y a un facteur, qui n’est pas du premier degré, nous devons le décomposer à son tour.
\(x^2-7x+10\)
Parmi les diviseurs de 10, il y a 2 qui annule le trinôme, effectuons la division de \(x^2-7x+10 \ par\ x-2\)
\(x^3-6x^2+3x+10 \Leftrightarrow (x+1)(x^2-7x+10)\)
\(Or\ x^2-7x+10 \Leftrightarrow (x-2)(x-5)\)
\(\Leftrightarrow x^3-6x^2+3x +10\Leftrightarrow(x+1)(x-2)(x-5)\)
\(\Leftrightarrow x+1=0 \ ou\ x-2=0 ou x=5\)
\(\Leftrightarrow x=-1 \ ou \ x=2 \ ou\ x=5\)
\(S=\{-1\ ;\ 2\ ;\ 5\}\)
II.2. EQUATIONS FRACTIONNAIRES
II.2. EQUATIONS FRACTIONNAIRES
Une équation du premier degré est dite fractionnaire si un dénominateur au moins contient une inconnue.
Résolution
Résolution
Pour résoudre une équation fractionnaire, on procède comme suit :
- Poser les conditions préalables sur les dénominateurs
- Résoudre l’équation
- Retenir que les valeurs de l’inconnue qui vérifient la condition préalable
Exemple 8
Exemple 8
Résoudre : \(\frac{2}{x-4}+\frac{3}{x-2}=\frac{5}{x+1}\)Condition préalable :\( x-4\neq 0 \ et\ x-2\neq0 \ et \ x+1\neq 0\)
\(\Leftrightarrow x\neq 4 \ et \ x\neq 2 \ et\ x\neq -1\)
C’est-à-dire si nous trouvons 4, 2 ou -1 comme solution, il faut le rejeter.
Résolvons l’équation
\(\frac{2}{x-4}+\frac{3}{x-2}=\frac{5}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow \frac{2}{x-4}+\frac{3}{x-2}-\frac{5}{x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{2(x-2)(x+1)+3(x-4)(x+1)-5(x-4)(x-2)}{ (x-4)(x-2)(x+1)}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac {2(x^2+x-2x-2)+3(x^2+x-4x-4)-5(x^2-2x-4x+8)}{ (x-4)(x-2)(x+1)}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac {2(x^2-x-2)+3(x^2-3x-4)-5(x^2-6x+8)}{ (x-4)(x-2)(x+1)}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac {2x^2-2x-4+3x^2-9x-12-5x^2+30x-40}{ (x-4)(x-2)(x+1)}=0\)
\(\Leftrightarrow 2x^2-2x-4+3x^2-9x-12-5x^2+30x-40=0\)
\(\Leftrightarrow (2x^2+3x^2-5x^2 )+(-2x-9x+30x)+(-4-12-40)=0\)
\(\Leftrightarrow 19x-56=0\)
\(\Leftrightarrow 19x=56\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{56}{19}\)
\(S=\{\frac{56}{19}\}\)
Exemple 9
Exemple 9
Résoudre :\(\frac{7}{7x-1}-\frac{2}{x+1}=\frac{1}{7x-1}\)Condition préalable : \(7x-1\neq 0\ et \ x+1\neq 0\)
\(\Leftrightarrow x\neq \frac {1}{7 } \ et \ x\neq -1\)
Résolvons l’équation
\(\frac{7}{7x-1}-\frac{2}{x+1}=\frac{1}{7x-1}\)
\(\Leftrightarrow \frac{7}{7x-1}-\frac{2}{x+1} - \frac{1}{7x-1}=0\)
\(\Leftrightarrow \frac {7(x+1)-2(7x-1)-1(x+1)}{(7x-1)(x+1)}=0\)
\(\Leftrightarrow (7(x+1)-2(7x-1)-1(x+1)) =0\)
\(\Leftrightarrow (7x+7-14x+2-x-1) =0 \)
\(\Leftrightarrow 7x+7-14x+2-x-1=0\)
\(\Leftrightarrow (7x-14x-x)+(7+2-1)=0\)
\(\Leftrightarrow -8x+8=0\)
\(\Leftrightarrow -8x=-8\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
\(S=\{1\}\)
II.3 EQUATIONS CONTENANT DES VALEURS ABSOLUES
II.3 EQUATIONS CONTENANT DES VALEURS ABSOLUES
On sait que \(\|a\|\ =\ \left\{ \begin{array}{r c l} a \ si\ a\geq 0\\ -a \ si\ a\leq 0 \end{array} \right. \)Exemple 10
Exemple 10
Résoudre :\(|5x-3|=12\)
Par définition de la valeur absolue :
\(|5x-3|=\left\{ \begin{array}{r c l} 5x-3 \ si\ 5x-3\geq 0\\ -(5x-3) \ si\ 5x-3\leq 0 \end{array} \right. \)
\(=\left\{ \begin{array}{r c l} 5x-3 \ si\ 5x\geq 3\\ -(5x-3) \ si\ 5x\leq 3 \end{array} \right. \)
\(|5x-3|=\left\{ \begin{array}{r c l} 5x-3 \ si\ x\geq \frac{3}{5}\\ -(5x-3) \ si\ x\leq \frac{3}{5} \end{array} \right. \)
\(|5x-3|\) a deux valeurs selon que \(x\geq \frac{3}{5} \;ou\; x\leq \frac{3}{5}\)
Examinons les deux cas :
Si \(x\geq \frac{3}{5} \Leftrightarrow x\in [\frac{3}{5}; +\infty[ :\) la valeur de \(|5x-3|\ vaut\ 5x-3\), en remplaçant cette valeur dans l’équation initiale à la place de \(|5x-3|\) , on a :
\(5x-3=12 \Leftrightarrow 5x=12+3\)
\(\Leftrightarrow 5x=15\)
\( \Leftrightarrow x=\frac{15}{5}\)
\(S_{1}={3}\)
Si \(x\leq \frac{3}{5} \Leftrightarrow x\in ]-\infty;\frac{3}{5} ]\) : la valeur de \(|5x-3|\; vaut 3-5x\),en remplaçant cette valeur à la place de \(|5x-3|\) dans l’équation initiale, on a :
\(3-5x=12 \Leftrightarrow -5x=12-3\)
\(\Leftrightarrow -5x=9\)
\(\Leftrightarrow -x=\frac{9}{5}\)
\(S_{2}=\{\frac{-9}{5}\}\)
\(S=S_{1}\cup S_{2}\)
\(S=\{\frac{-9}{5};3\}\)
Exemple 11
Exemple 11
Résoudre : \(|x-5|-2=|2x+3|\)\(|x-5|= \left\{ \begin{array}{r c l} x-5 \ si\ x-5\geq 0\\ -(x-5) \ si\ x-5\leq 0 \end{array} \right. \)
\( = \left\{ \begin{array}{r c l} x-5 \ si\ x\geq 5\\ 5-x \ si\ x\leq 5 \end{array} \right. \)
\(|2x+3|= \left\{ \begin{array}{r c l} 2x+3 \ si\ 2x+3\geq 0\\ -(2x+3) \ si\ 2x+3\leq 0 \end{array} \right. \)
\(=\left\{ \begin{array}{r c l} 2x+3 \ si\ 2x\geq -3\\ -(2x+3) \ si\ 2x\leq -3 \end{array} \right. \)
\(=\left\{ \begin{array}{r c l} 2x+3 \ si\ x\geq \frac{-3}{2}\\ -2x-3 \ si\ x\leq \frac{-3}{2} \end{array} \right. \)
La droite numérique \(\mathbb {R}\) est divisé en 3 parties :
\(]-\infty; \frac{-3}{2}] \; [\frac{-3}{2};5]\ et \ [5; +\infty[\)
On va examiner les trois cas en remplaçant à chaque fois l’expression entre signe valeur absolue par sa valeur correspondante dans l’intervalle considéré.
Pour \(x \in ]-\infty; \frac{-3}{2}] ∶5-x-2=-2x-3\)\(\Leftrightarrow -x+2x=-3-5+2\)
\(\Leftrightarrow x=-6\)
\(S_{1}=\{-6\}\)
Pour \(x \in [\frac{-3}{2};5]: 5-x-2=2x+3\)
\(\Leftrightarrow -x-2x=3+2-5\)
\(\Leftrightarrow -3x=0\)
\(\Leftrightarrow -x=\frac{0}{3}\)
\(S_{2}={0}\)
Pour \(x \in [5; +\infty[:x-5-2=2x+3\)
\(\Leftrightarrow x-2x=3+2+5\)
\(\Leftrightarrow -x=10\)
\(\Leftrightarrow x=-10 \: \; \grave{a}\ rejeter \; car -10 \notin[5; +\infty[\)
\( S_{3}=\varnothing\)
\(S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\)
\(S=\{-6,0\}\)