rudless.

DEFINITION

Les équations du troisième degré sont une branche importante de l'algèbre qui se concentre sur la résolution d'équations du troisième degré. Ces équations sont souvent considérées comme ayant une complexité intermédiaire par rapport aux équations du deuxième et quatrième degré. Les équations du troisième degré sont des équations polynomiales qui ont la forme générale suivante :
\(ax^3+bx^2+cx+d=0\), où \(a, b, c \ et\ d\) sont des constantes réelles ou complexes et \(x\) est l'inconnue.

Les équations du troisième degré peuvent également être connues sous le nom d'équations cubiques en raison de leur forme de cube. Elles ont des applications dans divers domaines, notamment en physique, en ingénierie et en finance.

METHODE DE RESOLUTION

La résolution d'équations du troisième degré peut être effectuée à l'aide de diverses techniques telles que la méthode de Cardan-Tartaglia, la méthode de Horner et la méthode de l'équation de Marden. En raison de leur complexité, les équations du troisième degré peuvent être une source de défis et de plaisir pour les amateurs d'algèbre et de mathématiques en général.

Passons maintenant au vif sujet du jour

Les méthodes les plus courantes pour résoudre ces équations sont la formule de Cardan et la méthode du discriminant.

Formule de Cardan

La formule de Cardan est une expression qui donne les solutions des équations cubiques sous la forme :
\(x = (\frac{-b}{3a}) + (\frac{1}{3a}) \times (Q + R)\) où \(Q \ et\ R\) sont définis comme suit :
\(Q= [\frac{3ac-b^2}{9a^2}]^3\)
\(R= [\frac{(2b^3-9abc+27a^2 d)}{5 \times 4a^3}]\)

Méthode du discriminant

Le discriminant est une expression qui donne des informations sur les racines de l'équation cubique. Il est donné par la formule suivante :
\(\Delta = b^2c^2-4ac^3-4b^3 d-27a^2d^2\)

Selon la valeur de \(\Delta\), les racines peuvent être calculées en utilisant les formules suivantes :

• Si \(\Delta > 0\), il y a une racine réelle et deux racines complexes conjuguées :
  \(x_1 = \frac{ (-b + (\Delta)^(\frac{1}{2}))}{(2a)}\)
  \(x_2 = \frac{ (-b - (\Delta)^(\frac{1}{2}))}{(2a)}\)
  \(x_3 = -(\frac{b}{a}) - x_1 - x_2\)
• Si \(\Delta = 0\), il y a une racine triple :
  \(x_1 = \frac{-b}{(3a)}\) \(x_2 = x_3 = \frac{-b}{(3a)}\) (double racine)
• Si \(\Delta < 0\), il y a trois racines réelles distinctes :
  \(x_1 = \sqrt{\frac{2}{3a}} \times \cos(\frac{\theta}{3}) - (\frac{b}{3a})\)
  \(x_2 = \sqrt{\frac{2}{3a}} \times \cos((\theta + 2\pi)/3) - (\frac{b}{3a})\)
  \(x_3 = \sqrt{\frac{2}{3a}} \times \cos((\theta + 4\pi)/3) - (\frac{b}{3a})\)