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I.Équation Bicarrée

DEFINITION

Une équation bicarrée est une équation de la forme \(ax^4+bx^2+c=0\) \((a \in \mathbb{R}^{*};b, c \in\mathbb{R})\);
c'est-à-dire une équation du quatrième degré.
Exemple : \(5x^4-3x^2+6=0\).

RESOLUTION

RÈGLES

• On pose \(y=x^2\) et obtient l'équation \(ay^2+by+c=0\) qui est une équation du second degré en `y`,
  appelée l'équation résolvante de l'équation bicarrée; `y` est l'inconnue auxiliaire.
• On résout cette équation résolvante.
• A toute racine positive `y_1` de l'équation résolvante correspondent deux racines
  opposées `x_1` et `x_2` de l'équation bicarrée telles que `x_1=sqrt(y_1)` et `x_2=-sqrt(y_1)`
• Toute racine négative de l'équation résolvante est à rejeter.

EXEMPLE

Résoudre dans R:


• `x^4-2x^2-8=0`
  On pose : `y=x^2`
  L'équation devient : `y-2y-8=0`
  `a=1, b=-2, c=-8`
  `Delta=(-2)^2-4*1*(-8)`=`4+32=36>0`
  `y_1=(-(-2)+sqrt(36))/(2.1)`=`(2+6)/2`
  `8/2=4`
  `y_1=4`
  `y_2=(-(-2)-sqrt(36))/2.1`=`(2-6)/2`
  `-4/2=-2` à rejeter
  `y_1`=4
  `x_1`=`sqrt(4)`=2
  `x_2`=`-sqrt(4)`=-2
  `S={-2,2}`
• `x^4-13x^2+36=0`
  On pose : `y=x^2`
  L'équation devient: `y^2-13y+36=0`
  `a=1, b=-13, c=36`
  `Delta=(-13)^2-4.1.36`=`169-144=25>0`
  `y_1=(-(-13)+sqrt(25))/(2.1)=``(13+5)/2`
  `y1=18/2=9`
  `y_2=(-(-13)-sqrt(25))/(2.1)=``(13-5)/2`
  `y_2=8/2=4`
  `y_1=9`
  =>`x_1=``sqrt(9)=3`; `x_2=``-sqrt(9)=-3`
  `y_2=4`
  `x_3=sqrt(4)=2`; `x_4=-sqrt(4)=-2`
  `S={-3,-2,2,3}`

I.Équations Réciproques

DEFINITION

Une équation est dite réciproque lorsqu'elle a une de fromes ci-après `(a!=0)`:

• \(ax^3+bx^2+bx+a=0 (1)\)
• \(ax^3+bx^2-bx-a=0 (2)\)
• \(ax^4+bx^3-bx-a=0 (3)\)
• \(ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0 (4)\)

(1) et (4) sont dites de première espèce car le coefficient des termes équidistants des extrêmes sont égaux. Tandis que (2) et (3)
sont de deuxième espèce car le coefficient des termes équidistants des extrêmes sont opposés.

PROPRIETES

• Une équation réciproque n'admet jamais 0 comme solution
• Si `x_0` est une solution, son inverse `1/x_0` l'est égalememt.

RESOLUTION

Les équations (1), (2) et (3) se résolvent par décomposition en facteur du premier membre avec la méthode de groupement des termes
équidistants des extrêmes.

EXEMPLES

• \(2x^3+7x^2+7x+2=0\)
  \(\underbrace{2x^3+\underbrace{7x^2+7x}+2}=0\)
  Nous allons ici regrouper les termes semblables; c'est-à-dire les `a` entre eux et les `b` entre eux par associativité.
  \((2x^3+2)+(7x^2+7x)=0\)
  Voyez-vous quelque chose à mettre en évidence comme moi? Bah, oui!!!
  \(2(x^3+1)+7x(x+1)=0\)
  Comme vous le savez, \(a^3+b^3=(a+b)\)\((a^2-ab+b^2)\)(Produits remarqubles)
  `2(x+1)(x^2-x.1+1)+7x(x+1)=0`
  Mettons `(x+1)` en évidence
  `(x+1)[2(x^2-x+1)+7x]=0`
  Par distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, nous aurons:
  `(x+1)(2x^2-2x+2+7x)`
  `(x+1)(2x^2+5x+2)=0`
  Nous voilà en face d'une équation-produit dont vous connaissez la méthode de résolution car vous l'aviez étudiée dans le chapitre
  concernnat les équations-produits ici même. Sinon veuillez cliquer ici pour suivre ce chapitre.
  En fait, nous allons résoudre ces deux équations séparement. Nous aurons:
  
  `x+1=0`
  `x=-1`
  

  `2x^2+5x+2=0`(Equation du second degré)
  `a=2, b=5, c=2`
  `Delta=5^2-4.2.2`=`25-16=9>0`
  `x_1=(-5+sqrt(9))/(2*2)`=`(-5+3)/4`=`-2/4=-1/2`
  `x_2=(-5-sqrt(9))/(2*2)`=`(-5-3)/4`=`-8/4=-2`
  
  `S={-2,-1,-1/2}`
• \(x^4-6x^3+6x-1=0\)
  

  Regroupons comme toujours les termes semblables

  
  \(\underbrace{x^4-\underbrace{6x^3+6x}-1}=0\)
  \(\iff\)
  \((x^4-1)-(6x^3-6x)\)
  

  En décomponsant la première partie et en mettant 6x en évidence, nous obtenons:

  `(x^2-1)(x^2+1)-6x(x^2-1)=0`
  `(x^2-1)[(x^2+1)-6x]=0`
  `(x^2-1)(x^2+1-6x)=0`
  `(x-1)(x+1)(x^2-6x+1)`
  Nous sommes à présent en face d'une équation-produit
  `x-1=0`
  `x=1`

  `x+1=0`
  `x=-1`

  `x^2-6x+1=0`
  `a=1, b=-6, c=1`
  `Delta=(-6)^2-4*1*1`=`36-4=32>0`
  `x_1=(-(-6)+sqrt(32))/(2*1)=(6+4sqrt(2))/2`
  
  `x_1=3+2sqrt(2)`
  `x_2=(-(-6)-sqrt(32))/(2*1)=(6-4sqrt(2))/2`
  
  `x_2=3-2sqrt(2)`
  
  `S={-1,1,3-2sqrt(2),3+2sqrt(2)}`

EXEMPLE

On divise par `x^2`
`x^4/x^2-(4x^3)/x^2+(6x^2)/x^2-(4x)/x^2+1/x^2=0/x^2`
Nous obtenons l'équation:
`x^2-4x+6-4/x+1/x^2=0`
Regroupons les termes de même puissance
`(x^2+1/x^2)-(4x+4/x)+6=0`
`(x^2+2+1/x^2)-(4x+4/x)+6-2=0`
`(x+1/x)^2-4(x+1/x)+4=0`
On pose `x+1/x=y`
Nous aurons donc:
`y^2-4y+4=0`
`a=1, b=-4, c=4`
`Delta=(-4)^2-4*1*4=16-16=0`
`y_1=y_2``=-b/(2a)=-(-4)/2=4/4=2`
Or on a posé que `x+1/x=y` et nous avons trouvé que y=2
`x+1/x=2`
`(x^2+1)/x=2`
`x^2+1=2x`
`x^2-2x+1=0`
`Delta=(-2)^2-4*1*1=4-4=0`
`x_1=x_2`=`-(-2)/(2*1)=1`
`S={1}`

II.Équations irrationnelles

DEFINITION

C'est une équation qui renferme l'inconnue sous un ou plusieurs radicaux(généralement d'indice 2).

EXEMPLE

• `sqrt(x)+5=2`
• `sqrt(2x)+3=3x`
• `3x-sqrt(x)+2=0`

RESOLUTION

• Prinicipes généraux
  • On élimine les radicaux en élévant les deux membres de l'équation au carré
  • Si l'équation ne contient qu'un seul radical, on l'isole dans l'un de deux membres
  • Si elle en contient deux, on les répartit dans les deux membres; si en plus il y a des termes rationnels,
    on les met dans un même membre
  • On résout ensuite l'équation trouvée
  Nota:L'élévation au carré peut introduire des solutions parasites ou étrngères qu'il faudra éliminer en
  posant des conditions préalables
• Equations irrationnelles de la forme `sqrt(A(x))=a``(a in RR)`
  CP: L'équation n'a de solution que si `a in RR^+`
  

Exemple

Résoudre dans `RR`:
1. `sqrt(x-2)=4`
`(sqrt(x-2))^2=4^2`
`x-2=16`
`x=16+2`
`x=18`
`S={18}`

2. `sqrt(3x+5)=-1`
`a=-1 in RR^-``!=RR^+`
`S=Ø`
• Équations irrationnelles de la forme `sqrt(A(x)`=`B(x)`;
  c'est-à-dire l'équation contient un seul radical.
C.P: `B(x)>=0`


Exemple

Résoudre dans `RR`:
1. `sqrt(3x+1)=1-x`
C.P: `1-x>=0`
`-x>=-1`
`x<=1`
`(sqrt(3x+1))^2=(1-x)^2`
`3x+1=1^2-2*1*x+x^2`
`3x+1=1-2x+x^2`
`3x=-2x+x^2`
`3x+2x-x^2=0`
`5x-x^2=0`
`x(5-x)=0`
`x=o`
`5-x=0`
`-x=-5`
`x=5` à rejeter cfr C.P
`S{0}`
• Équations irrationnelles de la forme `sqrt(A(x))-sqrt(B(x))` ou `sqrt(A(x))=sqrt(B(x))` C.P: `A(x)>=0; B(x)>=0`
  
  Le domaine d'existence des racines est la solution du système :
  \( \left\{ \begin{array}{r c l} A(x) \ge 0\\ B(x) \ge 0\\ \end{array} \right. \)

  Exemple

  Résoudre dans `RR`:
  `sqrt(4-2x)-sqrt(x+1)=0` C.P: `4-2x>=0; x+1>=0`
  \( \left\{ \begin{array}{r c l} 4-2x>=0\\ x+1>=0\\ \end{array} \right. \)
  `4-2x>=0`
  `-2x>=-4`
  `x<=-4/2`
  `x<=2`
  `S_1=]-infty,2]`

  `x+1>=0`
  `x>=-1`
  `S_2=[-1,+oo[`
  C.P`=S_1 bigcap S_2`
  C.P: `x in {-1,2}`
  Résolution
  `sqrt(4-2x)-sqrt(x+1)=0`
  `sqrt(4-2x)=sqrt(x+1)`
  `(sqrt(4-2x))^2=(sqrt(x+1))^2`
  `4-2x=x+1`
  `2x-x=1-4`
  `-3x=-3`
  `x=(-3)/-3`
  `x=1 in [-1,2]`
  `S={1}`
  

  ---

• Equation irrationnelle de la forme `sqrt(A(x))+sqrt(B(x))=0`

La solution de l'équation est celle du système :
\( \left\{ \begin{array}{r c l} A(x) =0\\ B(x) =0\\ \end{array} \right. \)

Exemple

Résoudre dans `RR`:
`sqrt(4-x^2)+sqrt(2-x)=0`
\( \left\{ \begin{array}{r c l} 4-x^2 =0\\ 2-x =0\\ \end{array} \right. \)

`4-x^2=0`
`(2-x)(2+x)=0`
`2-x=0`
`-x=-2`
`x=2`
et `x+2=0`
`x=-2`
`S_1={-2;2}`
`2-x=0`
`-x=-2`
`x=2`
`S_2={2}`

`S=S_1 bigcap S_2``={2}`

Exercices d'auto-évaluation

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

• \(\sqrt{x^2+2x+3}=-7\)
• \(\sqrt{x-2}=2-x\)
• \(\sqrt{5x-25}-\sqrt{x-1}=0\)
• \(\sqrt{x^2-x-6}+\sqrt{x^2-10x+21}=0\)

Résolution

• \(\sqrt{x^2+2x+3}=-7\)
  \(S=\varnothing\)
• \(\sqrt{x-2}=2-x\)

C.P : \(2-x\geq 0 \\ -x\geq -2\\ x\leq 2 \)
\((\sqrt{x-2})^2=(2-x)^2\)
\(2-x=4-4x+x^2 \) car \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\(-x^2+x+4x-2-4=0\)
\(-x^2+5x-6=0\)
\(a=-1, \ b=5\ c=-6\)
\(\Delta=5^2-4(-1)(-6)=25-24=1\)
\(x-1=\frac{-5+\sqrt{1}}{-2}=\frac{-5+1}{-2}=\frac{-4}{-2}=2\)
\(x-1 2=\frac{-5-\sqrt{1}}{-2}=\frac{-5-1}{-2}=\frac{-6}{-2}=3\) à rejeter cfr C.P
\(S=\{2\}\)

• \(\sqrt{5x-25}-\sqrt{x-1}=0\)

\( \left\{ \begin{array}{r c l} 5x-25\geq 0\\ x-1\geq 0\\ \end{array} \right. \)
D'une part \(5x-25\geq 0\\ 5x\geq 25\\ x\geq \frac{25}{5}\\ x\geq 5 \)
D'autre part \(x-1\geq 0 \\ x\geq 1 \)
Donc \(x\in [5, +\infty[\)

Résolvons l'équation
\(5x-25=x-1\\ 5x-x=-1+25\\ 4x=24\\x=\frac{24}{4}\\ x=6 \)
\(6\in [5,+\infty[\)
\(S=\{6\}\)

• \(\sqrt{x^2-x-6}+\sqrt{x^2-10x+21}=0\)

\( \left\{ \begin{array}{r c l} x^2-x-6=0\\ x^2-10x+21=0\\ \end{array} \right. \)

Résolvons ce système :
D'une part :
\(x^2-x-6=0\)
En décomposant cette équation en facteurs, nous aurons :
\((x+2)(x-3)=0\)
Nous avons alors une équation-produit. Nous allons résoudre ces équations séparément.
\(2+x=0\\ x=-2 \)
\(x-3=0\\ x=3\)
\(S_1=\{-2,3\}\)

D'autre part, \(x^2-10x+21=0\)
En décomposant cette équation en facteurs, nous aurons :
\((x-3)(x-7)=0\)
\(x-3=0\\ x=3\)
\(x-7=0\\ x=6\)
\(S_2=\{3,7\}\)
\(S=S_1\cap S_2=\{3\}\)