rudless.

Les dérivées sont un concept important en mathématiques qui permet de mesurer le taux de variation d'une fonction à un point donné. Elles sont utilisées dans de nombreuses branches des mathématiques, notamment en calcul différentiel, en géométrie, en physique et en économie.

Les dérivées permettent de déterminer des tangentes à des courbes, des vitesses instantanées, des accélérations et des taux de croissance. Elles sont donc essentielles pour comprendre le comportement des fonctions et pour résoudre des problèmes pratiques en sciences et en économie.

Les dérivées sont également utilisées pour optimiser des fonctions, en trouvant les points où leur pente est maximale ou minimale. Dans cette optique, la notion de dérivée peut être vue comme un outil puissant pour la modélisation et la résolution de problèmes dans de nombreux domaines.

DEFINITIONS

Soit \(f\) une fonction réelle et \(x_{0}\) un réel.
On appelle :

• Accroissement de la variable \(x\) en \(x_{0}\), la différence \(x-x_{0}\) noté \(\Delta x\):
  \(\Delta x=x-x_{0}\);
Accroissement de \(f\) en \(x_{0}\), la différence \(f(x)-f(x_{0})\), noté \(\Delta f\):
\(\Delta f=f(x)-f(x_{0})\);
• Taux d'accroissement de \(f\) en \(x_{0}\), le rapport \(\frac{\Delta fx_{0}}{\Delta x_{0}}\):
  
  \(\frac{\Delta fx_{0}}{\Delta x_{0}}=\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\);
• Nombre dérivé de \(f\) en \(x_{0}\) ou dérivée de \(f\) en \(x_{0}\), la limite du taux d'accroissement de \(f\) en \(x_{0}\) lorsque \(x\) tend vers \(x_{0}\): \(f{'}(x_{0})=\underset{x\to x_{0}}{lim}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\). (1)
  Si \(f{'}(x_{0})\) est un réel alors \(f\) est dite dérivable au point \(x_{0}\).

Remarque

En posant \(h=x-x_{0}\) dans la formule (1), on a \(x=x_{0}+h\).
Pour \(x\to x_{0}\), \(h\to 0\), et la formule (1) s'écrit :
\(f{'}(x_{0})=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\).

Exemple

\(f(x)=x^{2}-1\) et \(x_{0}=-2\)
\(f{'}(-2)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(-2+h)-f(-2)}{h}\)
\(=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(-2+h)^{2}-1-(4-1)}{h}\)
\(=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(-4+h)}{h}\)
\(=\underset{h\to 0}{lim}(-4+h)\)
\(=-4\)

DERIVEE A GAUCHE ET DERIVEE A DROITE

Soit \(f\) une fonction réelle et \(x_{0}\) un réel.
On appelle:

• Dérivée à gauche de \(f\) en \(x_{0}\), le réel noté \(f_{g}^{'}(x_{0})\) défini par:
  \((f_{g}^{'}(x_{0})=\underset{x\to x_{0}^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\).
• Dérivée à gauche de \(f\) en \(x_{0}\), le réel noté \(f_{d}^{'}(x_{0})\) défini par:
  \((f_{d}^{'}(x_{0})=\underset{x\to x_{0}^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}\).

Remarque

Une fonction \(f\) est dérivable au point \(x_{0}\) si sa dérivée à gauche \(x_{0}\) est égale à sa dérivée à droite de \(x_{0}\).

Propriété

Toute fonction \(f\) dérivable en un point d'abscisse \(x_{0}\) est continue en ce point. Mais la réciproque n'est pas
nécessairement vrai; cest-à-dire toute fonction continue en un point n'est pas forcément dérivable en ce point.

DERIVABILITE SUR UNE PARTIE DE \(\mathbb{R}\)

1.Dérivabilité sur une partie de \(\mathbb{R}\)

Soit \(f\) une fonction réelle, \(a,b\) deux réels tels que \(a< b\).

• \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\) si et seulemnt si elle est dérivable en tout point de \(]a,b[\)
• \(f\) est dérivable sur \([a,b]\) si et seulemnt si elle est dérivable sur \(]a,b[\), dérivable à droite de \(a\) et à gauche de
  \(b\).

2. Dérivée d'une fonction

Soit \(f\) une focntion dérivable sur une partie \(A\) de \(\mathbb{R}\).
L'application \(f{'}:A\to \mathbb{R}:x\to f{'}(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
est appeleé "dérivée de la fonction \(f\)" ou "fonction dérivée de \(f\)
\(f{'}(x)\) se note aussi par \(\frac{df(x)}{dx}\) (lire dérivée de \(f\) par rappoet à \(x\)).

Exemples

• \(f:x\to f(x)=\frac{1}{2}x^{2}-3x\)
  On a: \(f{'}(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
  \(=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}(x+h)^{2}-3(x+h)-\frac{1}{2}^{2}}{h}\)
  
  \(=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{2}h^{2}+(x-3)h}{h}\)
  
  \(=\underset{h\to 0}{lim}(\frac{h}{2}+x-3)\) \(=x-3\).
• \(g:x\to g(x)=\sqrt[3]{x}\)
  On a: \(g{'}(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
  \(=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]{x}}{h}\)
  \(=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(\sqrt[3]{x+h}-\sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{(x+h)^{2}}+\sqrt[3]{x(x+h)}+\sqrt[3]{x^{2}})} {h(\sqrt[3]{(x+h)^{2}}+\sqrt[3]{x(x+h)}+\sqrt[3]{x^{2}})}\)
  \(=\underset{h\to 0}{lim}\frac{h} {h(\sqrt[3]{(x+h)^{2}}+\sqrt[3]{x(x+h)}+\sqrt[3]{x^{2}})}\)
  \(=\underset{h\to 0}{lim}\frac{h} {1(\sqrt[3]{(x+h)^{2}}+\sqrt[3]{x(x+h)}+\sqrt[3]{x^{2}})}\)
  \(\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}\)

DERIVEES DE QELQUES FONCTIONS USUELLES

1. Fonction constante

1. Fonction constante

Définion

Une fonction constante, est une fonction qui ne prend qu’une seule valeur, indépendamment de sa variable.
Soit \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} ∶x \rightarrow f(x)=c, \quad avec \quad c \in \mathbb{R} . \)
On a: \(f{'}(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(=\underset{h\to 0}{lim}\frac{C-C}{h}\)
\(=\frac{0}{h}\) \(=0\)
Toute fonction constante sur \(\mathbb{R}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) est sa dérivée est la fonction nulle.
\((C){'}\)

Exemples

\(f(x)=5\) est une fonction constante car quel que soit la valeur de la variable x, l’image sera toujours 5.
\(f(-2)=5\)
\(f(10)=5 \)
La dérivée d’une fonction constante donne 0.
Soit \(f(x)=c , \quad \) avec \( c \in \mathbb{R} \)
\(f'(x)=(c)'=0 \)
Exemples :
\(f(x)=10 \Rightarrow f'(x)=0 \)
\(f(x)=5 \Rightarrow f'(x)=0 \)

2. Dérivée d’une fonction identique

2. Dérivée d’une fonction identique

Soit \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} ∶x \rightarrow f(x)=x, \quad avec \quad c \in \mathbb{R} . \)
On a: \(f{'}(x)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
\(=\underset{h\to 0}{lim}\frac{x+h-x}{h}\)
\(=\frac{h}{h}\) \(=1\)
La fonction identique est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et sa dérivée est la fonction constante \(1\).
\((x){'}=1\)

Une fonction identique, est une fonction qui n’a aucun effet lorsqu’elle appliquée à un élément : elle retourne toujours la valeur qui est utilisée comme argument.
En d’autres termes, une fonction identique ou identité est une fonction où chaque antécédent égal à son image.
\(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}∶x \rightarrow f(x)=x \)
Exemple
\(f(x)=x\) est une fonction identique car chaque antécédent égal à son image
\(f(2)=2 \)
\(f(-5)=-5 \)
La dérivée d’une fonction identique égale 1.
\(f(x)=x \Rightarrow f'(x)=1 \)

OPERATIONS SUR LES FONCTIONS DERIVABLES

3.Autres formules pour la dérivation

Soient f(x) et g(x), deux fonctions dérivables en un point donné.

\(1.(ax)'=a \quad avec \quad a \in \mathbb{R} \)

\(1.(ax)'=a \quad avec \quad a \in \mathbb{R} \)

Exemple
\( f(x)=5x\)
\( f' (x)=5 \)

Dérivée de la puissance de la variable \(x\) en un point

2.\((x^n)' = n x^{n-1} \)

2.\((x^n)' = n x^{n-1} \)

Exemple
\( a) f(x)=x^3\)
Ici \(n=3\)
\(f'(x)=3x^{3-1} \)
\(f'(x)=3x^2 \)
\( b) f(x)=x^6\)
Ici \(n=6\)
\(f'(x)=6x^{6-1} \)
\( f'(x)=6x^5 \)

Dérivée de la somme ou différence de deux fonctions dérivables en un point

\(3.(f\pm g)'(x)=f'(x) \pm g'(x) \)

\(3.(f\pm g)'(x)=f'(x) \pm g'(x) \)

Exemples
\( a) f(x)=2x-5x+3\)
\( f'(x)=(2x)'-(5x)'+(3)' \)
\( =2-5+0\)
\( f'(x)=-3\)
\( b) f(x)=3-5x \)
\( f'(x)=(3)'-(5x)' \)
\( =0-5\)
\( f'(x)=-5 \)
\( c) f(x)=2x+2x^3+3 \)
\( f'(x)=(2x)'+(2x^3)'+(3)' \)
\( =2+2×3.x^{3-1}+0 \)
\( =2+6x^2 \)
\( f'(x)=6x^2+2 \)

Dérivée du produit de deux fonctions dérivables en un point

\(4.(f.g)'(x)=f'(x).g(x)+g'(x).f(x) \)

\(4.(f.g)'(x)=f'(x).g(x)+g'(x).f(x) \)

Exemples
\(a) f(x)=(x^2+2x+3)(2x-5)\)
\( f'(x)=(x^2+2x+3)'(2x-5)+(2x-5)'(x^2+2x+3) \)
\(= [(x^2)'+(2x)'+(3)' ](2x-5)+[(2x)'-(5)' ](x^2+2x+3) \)
\( =(2x^{2-1}+2+0)(2x-5)+(2-0)(x^2+2x+3) \)
\( =(2x+2)(2x-5)+2(x^2+2x+3) \)
\( =4x^2-10x+4x-10+2x^2+4x+6 \)
\( =(4+2) x^2+(-10+4+4)x-10+6 \)
\( f'(x)=6x^2-2x-4 \)
\( b) f(x)=x^5 (x^3+2x-1) \)
\( f'(x)=(x^5)' (x^3+2x-1)+(x^3+2x-1)' (x^5) \)
\( =5x^{5-1} (x^3+2x-1)+[(x^3)'+(2x)'-(1)' ](x^5) \)
\( =5x^4 (x^3+2x-1)+(3x^{3-1}+2-0)x^5 \)
\( =5x^7+10x^5-5x^4+(3x^2+2)x^5 \)
\( =5x^7+10x^5-5x^4+3x^7+2x^5 \)
\( =(5+3)x^7+(10+2)x^5-5x^4 \)
\( f'(x)=8x^7+12x^5-5x^4 \)

Dérivée de la puissance d'une fonction dérivable en un point

\(5.(f^n)'=n f^{n-1} f'\)

\(5.(f^n)'=n f^{n-1} f'\)

Exemples
\(a) f(x)=(2x+3)^3 \)
\(f'(x)=3(2x+3)^{3-1} (2x+3)' \)
\( =3(2x+3)^2 [(2x)'+(3)' ] \)
\( =3[(2x)^2+2×2x×3+3^2 ](2+0) \quad \quad (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)
\( =3(4x^2+12x+9)(2) \)
\(=6(4x^2+12x+9) \)
\(f'(x)=24x^2+72x+54 \)
\(b) f(x)=(5x+1)^4 \)
\(f'(x)=4(5x+1)^{4-1} (5x+1)' \)
\(=4(5x+1)^3 [(5x)'+(1)' ]\)
\(=4[(5x)^3+3(5x)^2(1)+3(5x)(1)^2+(1)^3 ](5+0) \quad car \; (a+b)^3=a^3+3a^2 b+3ab^2+b^3 \)
\(=4(125x^3+75x^2+15x+1)(5) \)
\(f'(x)=20(125x^3+75x^2+15x+1) \)

Dérivée du quotient de deux fonctions dérivables en un point

\(6.(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-g'f}{g^2} \)

\(6.(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-g'f}{g^2} \)

Théorème

Si \(A \subset \mathbb{R}, x_{0} \subset A, f \ \mathrm{et} \ g\) deux fonctions dérivables en \(x_{0}\) alors \(\frac{f}{g}\) est dérivable
en \(x_{0}\).
\((\frac{f}{g}){'}=\frac{f{'}(x_{0}).g(x_{0})-f(x_{0}).g{'}(x_{0})}{[g(x_{0})]^{2}}\)

Conséquence

Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions dérivables sur \(A[g(x)\ne 0]\) alors leur quotient \(\frac{f}{g}\) est dérivable en \(A\).
\(\forall x\in A, (\frac{f}{g}){'}=\frac{f{'}(x).g(x)-f(x).g{'}(x)}{[g(x)]^{2}}\)

En particulier, si \(c\) est une constante alors \((\frac{c}{g}){'}=-\frac{c.g{'}(x)}{[g(x)]^{2}}\)

Exemples
\(a) f(x)=\frac{2x+3}{x+2} \)
\(f'(x)=\frac{(2x+3)'(x+2)-(x+2)'(2x+3)}{(x+2)^2} \)
\(=\frac{[(2x)'+(3)'](x+2)-[(x)'+(2)' ](2x+3)}{(x^2+2×x×2+2^2 } \)
\( =\frac{(2+0)(x+2)-(1+0)(2x+3)}{x^2+4x+4} \)
\(=\frac{2(x+2)-1(2x+3)}{x^2+4x+4} \)
\(=\frac{2x+4-2x-3}{x^2+4x+4} \)
\(f'(x)=\frac{1}{x^2+4x+4} \)
\(b) f(x)=\frac{x^2+5}{x^3} \)
\(f'(x)=\frac{(x^2+5)' (x^3)-(x^3)' (x^2+5)}{(x^3)^2} \)
\(=\frac{[(x^2)'+(5)'] (x^3)-3x^{3-1} (x^2+5)}{x^6} \)
\(=\frac{(2x^{2-1}+0)(x^3)-3x^2 (x^2+5)}{x^6} \)
\(=\frac{(2x(x^3 )-3x^4-15x^2)}{x^6} \)
\(=\frac{(2x^4-3x^4-15x^2)}{x^6} \)
\(f'(x)=\frac{-x^4-15x^2}{x^6 } \)

Dérivée de la composée de deux fonctions dérivables en un point

Si \(A \subset \mathbb{R}, x_{0}\subset A, f\) une fonction dérivable en \(x_{0}\) et \(g\) une fonction dérivable en \(f(x_{0})\) alors
\((g o f){'}(x_{0})=g{'}[f(x_{0})].f{'}(x_{0})\)
(\(f(D_{f})\subset D_{g}\))

\(7. (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

\(7. (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

\(8. (\sqrt{u})'=\frac{u'}{(2\sqrt{u}} \)

\(8. (\sqrt{u})'=\frac{u'}{(2\sqrt{u}} \)

Exemples:
\( a) f(x)=\sqrt{2x-1} \)
\(f'(x)=\frac{(2x-1)'}{2\sqrt{2x-1 }}\)
\(f'(x)=\frac{(2x)'-(1)'}{2\sqrt{2x-1}} \)
\( =\frac{(2-0)}{2\sqrt{2x-1}} \)
\(f'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x-1}} \)
\(b) f(x)=\sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3}} \)
\(f'(x)=\frac{(\frac{x^2+2x+1}{2x+3})'}{2 \sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } } \)
\(=\frac{\frac{(x^2+2x+1)'(2x+3)-(2x+3)'(x^2+2x+1)}{(2x+3)^2}}{2 \sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } }\)
\(=\frac{\frac{[(x^2)'+(2x)'+(1)' ](2x+3)-[(2x)'+(3)'](x^2+2x+1)}{(2x+3)^2} }{2\sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } }\)
\(=\frac{\frac{((2x+2+0)(2x+3)-(2+0)(x^2+2x+1)}{(2x+3)^2}} {2\sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } }\)
\( =\frac{\frac{(2x+2)(2x+3)-2(x^2+2x+1)}{(2x+3)^2 }} {2\sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } }\)
\(=\frac{\frac{4x^2+6x+4x+6-2x^2-4x-2}{(2x+3)^2 }}{2\sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } }\)
\(=\frac{\frac{(4-2) x^2+(6+4-4)x+6-2}{(2x+3)^2 }}{2\sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } }\)
\(=\frac{\frac{2x^2+6x-4}{(2x+3)^2 }}{2\sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3} } }\)
\( f'(x)=\frac{2x^2+6x-4}{2(2x+3)^2 \sqrt{\frac{x^2+2x+1}{2x+3}}}\)

\(9.(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}} } \)

\(9.(\sqrt[n]{x})'=\frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}} } \)

Exemples
\( a) f(x)=\sqrt[3]{x} \)
Ici \(n=3\)
\(f'(x)=\frac{1}{3.\sqrt[3]{x^{3-1} } } \)
\(f'(x)=\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2} }\)
\( b) f(x)=\sqrt[5]{x} \)
ici \(n=5\)
\(f'(x)=\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^{5-1} } } \)
\(f'(x)=\frac{1}{5 \sqrt[5]{x^4 } } \)

\(10.(\sqrt[n]{u})'=(u^{\frac{1}{n}})' \)

\(10.(\sqrt[n]{u})'=(u^{\frac{1}{n}})' \)

\(=\frac{1}{n} \; u'\; u^{\frac{1}{n}-1} \)
\( =\frac{1}{n} \; u' \; u^{\frac{1-n}{n} } \)
\(=\frac{1}{n} \; u' \; u^{\frac{-(n-1)}{n} } \)
\( =\frac{1}{n} \; u' \; \frac{1}{u^{\frac{n-1}{n}}} \)
\( =\frac{u'}{n \; u^{\frac{n-1}{n}}} \)
\( (\sqrt[n]{u})'=\frac{u'}{n \; \sqrt[n]{u^{n-1}}} \)

Exemple :
\(f(x)=\sqrt[3]{2x+3} \)
ici \(n=3\)
\(f'(x)=\frac{(2x+3)'}{3 \sqrt[3]{(2x+3)^{3-1} } }\)
\(=\frac{[(2x)'+(3)']}{3 \sqrt[3]{(2x+3)^2 }} \)
\( =\frac{2+0}{3 \sqrt[3]{(2x+3)^2}} \)
\(f'(x)=\frac{2}{3 \sqrt[3]{(2x+3)^2}} \)

Dérivée de la réciproque d'une fonction dérivable et strictement monotone

Si \(f\) est une fonction bijective strictement monotone et dérivable sur \(I=]a,b[\) alors \(f\) admet une réciproque \(f^{-1}\) bijective
strictement monotone dérivable sur \(f(I)\).
\([f^{-1}(x)]{'}=\frac{1}{f{'}[f^{-1}(x)]}\)

4.Dérivée des fonctions circulaires

4.Dérivée des fonctions circulaires

a. sin

a. sin

\((sin\; ⁡x )'=cos⁡\; x \)
\((sin⁡ \; u)'=u' \; cos ⁡u \)
Exemples :
\(a) f(x)=sin⁡(2x+3) \)
\( f'(x)= (2x+3)' \; cos⁡(2x+3)\)
\( =[(2x)'+(3)' ] cos⁡(2x+3)\)
\( =(2+0) cos⁡(2x+3)\)
\(f'(x)=2cos⁡(2x+3) \)
\( b) f(x)=sin⁡(x^2+2x-1) \)
\( f'(x)=(x^2+2x-1)' cos⁡(x^2+2x-1)\)
\( =[(x^2)'+(2x)'-(1)' ] cos⁡(x^2+2x-1)\)
\( (2x+2-0) cos⁡(x^2+2x-1)\)
\(f'(x)=(2x+2) cos⁡(x^2+2x-1) \)

b. cos

b. cos

\((cos⁡ \;x)'=-sin⁡ \;x \)
\((cos \;⁡u)' =- u' sin\; ⁡u \)
Exemple :
\( f(x)=cos⁡(x^3-2x+2) \)
\(f'(x)=-(x^3-2x+2)' sin⁡(x^3-2x+2)\)
\( =-[(x^3)'-(2x)'+(2)'] sin⁡(x^3-2x+2)\)
\( =-(3x^2-2+0) sin⁡(x^3-2x+2)\)
\(f'(x)=-(3x^2-2) sin⁡(x^3-2x+2)\)

c. tan

c. tan

\((\tan⁡ {x})'=\frac{1}{\cos^2{x} } \)
\( (\tan⁡{u})'=\frac{u'}{\cos^2 {u} } \)
Exemples
\( a) f(x)=\tan⁡{(x^2-3)} \)
\(f'(x)=\frac{(x^2-3)'}{\cos^2 {(x^2-3)}} \)
\( =\frac{[(x^2)'-(3)']}{\cos^2{(x^2-3)}} \)
\(=\frac{2x-0}{\cos^2 {(x^2-3)}} \)
\( f'(x)=\frac{2x}{\cos^2{(x^2-3)}} \)
\( b) f(x)=\tan{⁡(\frac{x^2}{2x})} \)
\( f'(x)=\frac{(\frac{x^2}{2x})'}{\cos^2 {(\frac{x^2}{2x})}} \)
\( =\frac{\frac{(x^2)'(2x)-(2x)' (x^2)}{(2x)^2 }}{\cos^2 {(\frac{x^2}{2x})}} \)
\( =\frac{\frac{2x(2x)-2(x^2)}{4x^2 }}{\cos^2 {(\frac{x^2}{2x})} } \)
\( =\frac{\frac{4x^2-2x^2}{4x^2} }{\cos^2 {(\frac{x^2}{2x})} } \)
\( =\frac{\frac{2x^2}{4x^2}}{\cos^2 {(\frac{x^2}{2x})}} \)
\( =\frac{\frac{1}{2}}{\cos^2 {(\frac{x^2}{2x})} } \)
\( f'(x)= \frac{1}{2 \cos^2 {(\frac{x^2}{2x})}} \)

d. cot

d. cot

\((\cot⁡{x})'=\frac{-1}{\sin^2{x}} \)
\((\cot⁡{u})'=\frac{-u'}{\sin^2{u}} \)
Exemple
\( f(x)=\cot⁡{(3x)}\)
\(f'(x)=\frac{-(3x)'}{\sin^2{(3x)}} \)
\(f'(x)=\frac{-3}{\sin^2{(3x)}} \)

e. sec

e. sec

\((\sec⁡{x})'=(\frac{1}{\cos{⁡x}})' \)
\(=\frac{(1)' \cos{⁡x}-(\cos⁡{x})' (1)}{\cos^2{x}} \)
\(=\frac{(0 × \cos{⁡x}-(-\sin⁡{x})}{\cos^2{x}}\)
\( (\sec⁡{x})'=\frac{\sin{⁡x}}{\cos^2{x}} \)
\((\sec⁡{u})'=(\frac{1}{\cos{⁡u}})' \)
\( =\frac{(1)'\cos⁡{u}-(\cos⁡{u})'(1)}{\cos^2{u}}\)
\( =\frac{0× \cos⁡{u}-(-u)'\sin⁡{u}}{(\cos^2 {u}) }\)
\((\sec⁡{u})'=\frac{u' \sin⁡{u}}{\cos^2 {u}} \)
Exemple
\( f(x)=\sec⁡{(2x+2)} \)
\( f'(x)=\frac{(2x+2)' \sin⁡{(2x+2)}}{\cos^2 {(2x+2)} } \)
\( f'(x)=\frac{2 \sin⁡{(2x+2)}}{cos^2 {(2x+2)} }\)

f. cosec

f. cosec

\( (cosec \; x)'=(\frac{1}{\sin{⁡x}})'\)
\(=\frac{(1)' \sin⁡{x}- (\sin⁡{x})'(1)}{\sin^2{x}} \)
\( =\frac{0 × \sin⁡{x}-\cos⁡{x}}{\sin^2{x}} \)
\((cosec \; x)'=\frac{-\cos⁡{x}}{\sin^2{x}} \)
\((cosec \; u)'=(\frac{1}{\sin⁡{u}})' \)
\(=\frac{(1)' \sin{⁡u}-(\sin{u})'(1)}{\sin^2{u}}\)
\( =\frac{0 × \sin⁡{u}- u' \cos{⁡u}}{\sin^2{u}}\)
\((cosec\; u)'=\frac{- u' \cos⁡{u}}{\sin^2{u}} \)
Exemple
\(f(x)=cosec \; (\frac{1}{x}) \)
\(f'(x)=\frac{(\frac{1}{x})' \cos⁡{(\frac{1}{x})}}{\sin^2 {(\frac{1}{x})} } \)
\( =\frac{\frac{(1)'(x)-(x)' (1)}{x^2 } \cos⁡(\frac{1}{x})}{\sin^2 {(\frac{1}{x})} }\)
\(=\frac{\frac{0×x-1×1}{x^2} \cos⁡(\frac{1}{x})}{\sin^2 {(\frac{1}{x})} } \)
\( f'(x)=\frac{\frac{-1}{x} \cos{⁡(\frac{1}{x})}}{\sin^2 {(\frac{1}{x}) }} \)

5.Dérivées des fonctions circulaires réciproques

5.Dérivées des fonctions circulaires réciproques

a)\( \arcsin \)

a)\( \arcsin \)

\((\arcsin⁡{x})'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\((\arcsin⁡{u})'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}\) , avec u une fonction en x
Exemple
\(f(x)=\arcsin⁡{(3x-1)} \)
\(f'(x)=\frac{(3x-1)'}{\sqrt{1-(3x-1)^2}} \)
\( =\frac{[(3x)'-(1)']}{\sqrt{1-(9x^2-2×3x+1)}} \quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \)
\( =\frac{3-0}{\sqrt{1-9x^2+6x-1} }\)
\(f'(x)=\frac{3}{\sqrt{-9x^2+6x}} \)

\(b) \arccos \)

\(b) \arccos \)

\((\arccos⁡{x})'=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( (\arccos⁡{u})'=\frac{-u'}{\sqrt{1-u^2}} \) , avec u une fonction en x
Exemple
\(f(x)=\arccos⁡{(x^2+1)} \)
\(f'(x)=\frac{-(x^2+1)')}{\sqrt{1-(x^2+1)^2 }} \)
\( =\frac{-[(x^2)'+(1)']}{\sqrt{1-(x^4+2x^2+1)}}\)
\(=\frac{-(2x+0)}{\sqrt{1-x^4-x^2-1}}\)
\( f'(x)=\frac{-2x}{\sqrt{-x^4-x^2} } \

\( c) \arctan \)

\( c) \arctan \)

\((\arctan⁡{x})'=\frac{1}{1+x^2} \)
\((\arctan{u})'=\frac{u'}{1+u^2} \)
Exemple
\(f(x)=\arctan⁡{(x+1)} \)
\(f'(x)=\frac{(x+1)'}{1+(x+1)^2 } \)
\(=\frac{[(x)'+(1)']}{1+x^2+2x+1}\)
\( =\frac{1+0}{x^2+2x+2}\)
\( f'(x)=\frac{1}{x^2+2x+2} \)

\( d) arccot \)

\( d) arccot \)

\((arccot \;⁡x)'=\frac{-1}{1+x^2} \)
\((arccot \;u)'=\frac{-u'}{1+u^2} \)
Exemple
\(f(x)=arccot \;⁡ (x+1) \)
\(f'(x)=\frac{-(x+1)'}{1+(x+1)^2 } \)
\(=\frac{-[(x)'+(1)']}{1+x^2+2x+1}\)
\( =\frac{-(1+0)}{x^2+2x+2}\)
\( f'(x)=\frac{-1}{x^2+2x+2} \)

6.Dérivées des fonctions logarithmiques et exponentielles

6.Dérivées des fonctions logarithmiques et exponentielles

\((log_a⁡{x})'=\frac{1}{x \ln⁡{a}}\)	\((a^x)'=a^x \ln{⁡a} \)
\((log_a⁡{u})'=\frac{u'}{u \ln⁡{a} }\)	\((a^u)'=u' a^u \ln⁡{a} \)
\((\ln⁡{x})'=\frac{1}{x} \)	\((e^x)'=e^x\)
\((\ln⁡{u})'=\frac{u'}{u} \)	\((e^u)'=u' e^u \)
\((u^v)'=u^v (v'.\ln⁡{u}+v.\frac{u'}{u}) \)	u et v sont des fonctions en x

Exemples
\( a) f(x)=log_3⁡{(x^2+1)} \)
\( f'(x)=\frac{(x^2+1)'}{(x^2+1) \ln{⁡3}} \)
\( =\frac{[(x^2)'+(1)']}{(x^2+1) \ln⁡{3} }\)
\( =\frac{2x+0}{((x^2+1) \ln⁡{3} )}\)
\( f'(x)=\frac{2x}{(x^2+1) \ln⁡{3} } \)

\(b) f(x)=\ln⁡{(x^2+3x-1)} \)
\(f'(x)=\frac{(x^2+3x-1)'}{x^2+3x-1} \)
\( =\frac{[(x^2)'+(3x)'-(1)']}{x^2+3x-1}\)
\( =\frac{2x+3-0}{x^2+3x-1}\)
\( f'(x)=\frac{2x+3}{x^2+3x-1} \)

DERIVEES SUCCESSIVES

Soit \(f\) une fonction de \(x\) dérivable sur \(I=]a,b[\).
D'où \(\frac{df}{dx}\) est appelée dérivée première de \(f\) par rapport à la variable \(x\).
Si \(f'\) admet une dérivée sur \(I'\subset I\), on la note \(f''\) ou \(\frac{d^{2}f}{dx^{2}}\) et est appelée dérivée seconde \(f\) par
rapport à \(x\).
Si \(f''\) admet une dérivée sur \(I''\subset I\), on la note \(f'''\) ou \(\frac{d^{2}f}{dx^{3}}\) et est appelée dérivée troisième de \(f\)
par rapport à \(x\).

De façon analogue, on définit la dérivée \(n^{e}\) de \(f\) (ou dérivée d'ordre \(n\) de \(f\)).
On la note \(f^{n}\) ou \(\frac{d^{n}f}{dx^{n}}\). Les fonctions \(f', f'', f''', \ldots f^{n}\) respectivement dérivées première, seconde,
troisième, \(\ldots, n^{e}\) constituent les dérivées successives de \(f\) par rapport à \(x\).

Exemple

Remarques

• Si \(f\) est une fonction de \(t\) alors la dérivée première de \(f\) par rapport à \(t\) se note \(\frac{df}{dt}\);
• Si \(f\) est une fonction s en \(x\) et \(y\) alors la dérivée de \(f\) par rapport à la variable \(x\)
  (respectivement par rapport à la variable \(y\) notée \(\frac{\partial f}{\partial x}\) (respectivement \(\frac{\partial f}{\partial y}\))
  est appelée dérivée partielle de \(f\) par rapport à \(x\) (respectivement dérivée partielle de \(f\) par rapport à \(y\)).
  

  Exemple

  \(f(x,y)=3x^{2}+5xy+6^{2}-3x+5\)
  
  \(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=6x+5y-3\)

  \(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=5x+12\)

INTERPRETATION GEOMETRIQUE DE LA DERIVEE

Soit \(I:]a,b[, x_0\in I\) et \(f\) une fonction dérivable en \(x_0\) dont la courbe représentative est \(C\).
Le nombre dérivé de \(f\) au point d'abscisse \(x_0\) est le coefficient angulaire ou la pente de la tangente à \(C\) en ce point;
L'équation cartésienne de la tangente au point \((x_0, f(x_0))\) est:
\((1)::y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_à)\).
Une fonction \(f\) est dérivable en \(x_0\) si et seulemnt si sa coure représentative admet une seule tangente non verticale au point de
coordonnées \((x_0,f(x_0))\).

Exemple

Déterminer l'équation de lq tangente à la courbe d'équation
\(x^{3}-3x^{2}+x-1\) au point \(2\).

Résolution

Nous avons:

• \(x_0=2\) et \(f(x_0)=-3\)
• \(f'(x)=3x^{2}-6x+1\) et \(f'(2)=1\)
• L'équation de la tangente est : \(y+3=1(x-2)\) ou \(y=x-5\).

Théorème ou règle de l'Hospital-Bernoulli

Soit \(f\) et \(g\) des focntions des domaines respectifs \(D_f\) et \(D_g\) et \(x_0\) un élément de \(D_f \cap D_g\).
Si \(f\) et \(g\) sont nulles et dérivables en \(x_0\) et que \(\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}\) alors
\(\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)

Remarques

1. La règle de l'Hospital permet de lever l'indetermination des formes \(\frac{0}{0}\) et \(\frac{\infty}{\infty}\)
2. Si l'indetermination persiste, on aplique autant de fois la règle de l'Hospital pour obtenir la vraie valeur.

Exercices

Calculer les limites suivantes:
a) \(\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{3}-1}\)
b) \(\underset{x\to \frac{\pi}{6}}{lim}\frac{2\sin x-1}{4\cos ^{2}x-3}\)
c) \(\underset{x\to \frac{\pi}{2}}{lim}\frac{\tan 3x}{\tan x}\)

Résolution

a) Les fonctions définies par \(f(x)=x^{3}-x^{2}+x-1\) et \(g(x)=x^{3}-1\) s'annulent et snt dérivables en \(x_0=1\)
\(\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{3}-1}\) prend la forme \(\frac{0}{0}\)
En vertu de la règle de l'Hospital, nous avons:
\(\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^{3}-x^{2}+x-1}{x^{3}-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x^{3}-x^{2}+x-1)'}{(x^{3}-1)'}\)
\(=\underset{x\to 1}{lim}\frac{3x^{2}-2x+1}{3x^{2}}\)
\(=\frac{2}{3}\)

b) \(\underset{x\to \frac{\pi}{6}}{lim}\frac{2\sin x-1}{4\cos ^{2}x-3}\) prend la forme \(\frac{0}{0}\).
Nous avons:
\(\underset{x\to \frac{\pi}{6}}{lim}\frac{2\sin x-1}{4\cos ^{2}x-3}=\underset{x\to \frac{\pi}{6}}{lim}\frac{(2\sin x-1)'}{(4\cos ^{2}x-3)'}\)
\(=\underset{x\to \frac{\pi}{6}}{lim}\frac{2\cos x}{8\cos x\sin x}\)
\(=-\frac{1}{2}\)

c) \(\underset{x\to \frac{\pi}{2}}{lim}\frac{\tan 3x}{\tan x}\) prend la forme \(\frac{\infty}{\infty}\)
Nous savons bien que \(\tan \frac{\pi}{2}=\infty\)
En aplliquant la règle de l'Hospital, nous avons:
\(\underset{x\to \frac{\pi}{2}}{lim}\frac{(\tan 3x)'}{(\tan x)'}\) \(=\underset{x\to \frac{\pi}{2}}{lim}\frac{\frac{3}{\cos ^{2}3x}}{\frac{1}{cos ^{2}x}}\)
\(=\underset{x\to \frac{\pi}{2}}{lim}\frac{3\cos ^{2}x}{\cos ^{2}3x}\)
\(=\underset{x\to \frac{\pi}{2}}{lim}3(\frac{\cos x}{\cos 3x})^{2}\)
\(=3\underset{x\to \frac{\pi}{2}}{lim}(\frac{\cos x}{\cos 3x})^{2}\)

Nous constatons que \(=\underset{x\to \frac{\pi}{2}}{lim}\frac{\cos x}{\cos 3x}\) prend la forme \(\frac{0}{0}\)
Selon la règle de l'Hospital, nous avons:
\(=\underset{x\to \frac{\pi}{2}}{lim}\frac{(\cos x)'}{(\cos 3x)'}=\underset{x\to \frac{\pi}{2}}{lim}\frac{-\sin x}{-3\sin 3x}\)
\(=-\frac{1}{3}\)

D'où : \(\underset{x\to \frac{\pi}{2}}{lim}\frac{\tan 3x}{\tan x}=3\underset{x\to \frac{\pi}{2}}{lim}(\frac{\cos x}{\cos 3x})^{2}\)
\(=3(-\frac{1}{3})^{2}\)

\(=\frac{1}{3}\)

PROPRIETES DE LA DERIVEE PREMIERE

CROISSANTE ET DECROISSANCE D'UNE FONCTION

a) Rappel

Soit \(f\) une fonction de domaine de Définion \(D_f\) et \(E\) une partie de \(D_f\).
\(f\) est dite croissante (respectivement décroissante) sur \(E\) si:
\(\forall x_1,x_2\in E, (x_1< x2)\implies[\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\geq 0]\)
respectivement \((x_1< x2)\implies[\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\leq 0]\)

b) Théorème

Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(]a,b[\).

• \(f\) est croissante sur \(]a,b[\) si et seulemnt \(f'(x)\geq 0\quad \forall x\in ]a,b[\);
• \(f\) est décroissante sur \(]a,b[\) si et seulemnt \(f'(x)\leq 0\quad \forall x\in ]a,b[\);

Remarques

• Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(]a,b[\). \(f\) est constante sur \([a,b]\) si et seulemnt si \(f'(x)=0 \quad (\forall x\in [a,b])\).
• Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions ayant une même dérivée sur un intervalle \(I\) alors \(f-g\) est une fonction constante.
• Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\).
  \(f\) est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur \([a,b]\) si et seulement si \(f'(x)>0\)
  (respectivement \(f'(x)< 0)\).

Dans le tableau des signes de \(f'\), on utilise la flèche montante \(\nearrow\) (respectivement \(\searrow)\) pour représenter une
fonction croissante (respectivement décroissante).

Exercices

Déterminer les intervalles sur lesquels chacune des fonctions suivantes est croissante ou décroissante:
a) \(f(x)=x^{2}-3x+2\) b) \(f(x)=-(x-3)^{2}(x+3)\)

Résolution

a) La fonction \(f\) est définie dans \(\mathbb{R}\) et sa dérivée est \(f'(x)=2x-3\)
\([f'(x)=0]\iff x=\frac{3}{2}\)

\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|lr|} \hline x & -\infty && \frac{3}{2} && +\infty\\ \hline f'(x) && - & 0 & + &\\ f(x) && \searrow & \frac{1}{4} & \nearrow &\\ \hline \end{array} \)

\(f\) est croissante dans \([\frac{3}{2},+\infty[\) et décroissante dans \(]-\infty,\frac{3}{2}]\)

b) \(D_f=\mathbb{>R}\) et \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
\(f'(x)=-3(x-3)(x+1)\)
\([f'(x)=0]\iff x=-1 \ \mathrm{ou} \ x=3\)

\( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|lr|} \hline x& -\infty && -1 && 3 && +\infty\\ \hline f'(x) && - & 0 & + & 0 & - &\\ \hline f(x) && \searrow & -32 & \nearrow & 0 & \searrow &\\ \hline \end{array} \)

\(f\) est croissante dans \([-1,3]\) et décroissante dans \(]-\infty,-1]\) ou \([3,+\infty[\)

EXTREMUMS: MINIMUM ET MAXIMUM D'UNE FONCTION

a) Définion

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I, x_0\in I\) et \(J\) un intervalle ouvert centré en \(x_0\) et contenu dans \(I\).
La fonction \(f\) ou la courbe représentative de \(f\) admet:

• un maximum local ou relatif \(M\) en \(x_0\) si: \(\forall x\in J, (x\ne x_0), f(x)\leq f(x_0)\)
• un minimum local ou relatif \(M\) en \(x_0\) si: \(\forall x\in J, (x\ne x_0), f(x)\geq f(x_0)\)

Remarques

La fonction \(f\) admet un extremum local en \(x_0\) lorsqu'elle y admet un maximum ou un minimum.
Une fonction admet un maximum (respectivement un minimum) local en \(x_0\) s'il existe un réel \(\alpha\) tel que \(f\) soit croissante
(respectivement décroissante) dans \(]x_0 -\alpha , x_0[\) et décroissante (respectivement croissante) dans \(]x_0 , x_0+\alpha[\).
L'ordonnée d'un maximum (respectivement d'un minimum) n'est pas nécessairement la plus grande (respectivement la plus petite) de la fonction
dans un intervalle.
Si une focntion admet plusieurs maxima (respectivement minima) dans un intervalle donné, la plus grande (respectivement la plus petite)
valeur de la fonctio prsente un maximum absolu (respectivement minimum absolu).
Dans \([a,b]\), \(f\) admet un maximum absolu en \(x_1\) et un minimum absolu en \(x_0\).

b) Théorème

Si \(f\) est une fonction dérivable sur \(I=]a,b[\) et \(x_0\in I\) alors \(f\) admet un extremum en \(x_0\) si \(f'(x_0)=0\) et
\(f'\) change des signes en \(x_0\).
Lorsque \(f'\) change des signes e, passant du posifit au négatif (respectivement du négatif au posifit), l'extremum est un maximum
(respectivement un minimum).

Exercices

1. Pour chacune des fonctions définies ci-dessous, examiner les extréma et préciser leur nature sur les intervalles du domaine
de définition:
a) \(f(x)=\frac{-x^{3}}{3}+x^{2}+3x-\frac{11}{3}\)
b) \(f(x)=\frac{x^{3}-10x^{2}}{1-x}\)
c) \(f(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x-2}\)

Résolution

a) \(D_f=\mathbb{R}\) et \(f'(x)=-x^{2}+2x+3\)
\([f'(x)=0]\iff (x=-1 \ \mathrm{ou} \ x=3)\)
\( \begin{array}{|c|lr|} \hline x & -\infty && -1 && 3 && +\infty\\ \hline f'(x) && - & 0 & + & 0 & - &\\ \hline f(x) && \searrow & -\frac{16}{3} & \nearrow & \frac{16}{3} & \searrow &\\ \hline \end{array} \)
La courbe de \(f\) admet dans \(\mathbb{R}\) un minimum relatif \(m(-1,-\frac{16}{3})\) et un minimum relatif \(M(3,\frac{16}{3})\).

b) \(D_f=]-\infty,1[\cup]1,+\infty[\) et \(f'(x)=\frac{(3x^{2}-20x)(1-x)+x^{3}-10x^{2}}{(1-x)^{2}}\)
\(=\frac{-x(2x^{2}-13x+20)}{(1-x)^{2}}\)

\([f'(x)=0]\iff (x=0 \ \mathrm{ou} \ x=4 \ \mathrm{ou} \ x=\frac{5}{2})\)

\( \begin{array}{|c|lr|} \hline x & -\infty && 0 && 1 && \frac{5}{2} && 4 &&+\infty\\ \hline -x && + & 0 & - && - &&- &&-\\ \hline 2x^{2}-13x+20 && + && + && + & 0 & - & 0 & +\\ \hline (1-x)^{2} && + && + & 0 & + && + && +\\ \hline f'(x) && + & 0 & - & || & - & 0 & + & 0 & -\\ \hline \hline f(x) && \nearrow & 0 & \searrow & || & \searrow & \frac{125}{4} & \nearrow & 32 & \searrow \\ \hline \end{array} \)
La courbe de \(f\) admet:

• dans \(]1,+\infty[\) un maximum local \(m(\frac{5}{2},\frac{125}{4}) \) et un minimum local \(M(4,32)\)
• dans \(]-\infty,1[\) un maximum relatif \(M(0,0)\)

d) \(D_f=]-\infty,2[\cup]2,+\infty[\) et \(f'(x)=\frac{x^{2}-4x+8}{(x-2)^{2}}\)

La dérivée est positive dans \(]-\infty,2[\cup]2,+\infty[\)

\( \begin{array}{|c|lr|} \hline x & -\infty && 2 && +\infty\\ \hline f'(x) && + & || & +\\ \hline f(x) && \nearrow & || & \nearrow \\ \hline \end{array} \)


La fonction n'admet pas d'extremum.

2. Déterminer les réels \(\alpha\) et \(\beta\) pour que la courbe représentative de la fonction \(f: x\to f(x)=\frac{\beta +x^{2}+\alpha x}{2x+2}\) passe par \((0,1)\) et admette un extremum au point d'abscisse \(1\).

Résolution

Comme la courbe de \(f\) passe par \((0,1)\), nous avons :
\([f(0)=1]\iff (\frac{\beta +0+0}{2.0+2}=1)\)
\(\iff (\frac{\beta}{2}=1)\)
\(\iff (\beta=2)\)
Pour \(\beta=2\), \(f(x)=\frac{2 +x^{2}+\alpha x}{2x+2}\)
\(f'(x)=(\frac{2 +x^{2}+\alpha x}{2x+2})'\)
\(=\frac{2x^{2}+4x+2\alpha -4}{(2x+2)^{2}}\)
Comme \(f\) admet un extremum au point d'abscisse \(1\), nous avons :
\([f'(1)=0]\iff [\frac{2x^{2}+4x+2\alpha -4}{(2+2)^{2}}=0]\)
\(\iff (\frac{2\alpha +2}{16}=0)\)
\(\iff (\alpha =-1)\)
Au finish, nous avons : \(\alpha =-1\) et \(\beta = 2\).

3. Déterminer si possible les extremums de la fonction \(f:x\to f(x)=\cos x+\sin x\) dans \([2,2\pi[\)

Résolution

\(D_f=\mathbb{R}\) et \(f'(x)=-\sin x+\cos x\)
\([f'(x)=0]\iff [\cos x=\sin x]\)
\(\iff (x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z})\)
Pour \(k=0, x=\frac{\pi}{4}\) et \(k=1, x=\frac{5\pi}{4}\)

\( \begin{array}{|c|lr|} \hline x & 0 && \frac{\pi}{4} && \frac{5\pi}{4} && 2\pi\\ \hline f'(x) && + & 0 & - & 0 & +\\ \hline f(x) && \nearrow & \sqrt{2} & \searrow & -\sqrt{2} & \nearrow\\ & && M & & m & &\\ \hline \end{array} \)
La courbe de la fonction \(f\) admet un maximum local \(M(\frac{\pi}{4}, \sqrt{2})\) dans \([0,\frac{5\pi}{4}]\) et un minimum local \(m(\frac{5\pi}{4},-\sqrt{2})\) dans \([\frac{\pi}{4},2\pi[\).

DERIVEE SECONDE, SENS DE CONCAVITE ET POINT D'INFLEXION

a) Définition

Soit \(f\) une fonction continue sur \(I=[a,b]\), \((C)\) sa courbe représentative et \(x_0 \in I\).
La courbe \((C)\) tourne sa concavité vers \(y\) positifs (respectivement les \(y\) négatifs) dans \(I\) si tous ses points se trouvent au-dessus (respectivement au-dessous) ee n'importe quelle tangente en un point.

b) Sens de concavité

Théorème

Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \(I=]a,b[\) et \((C)\) sa courbe représentative.

• Si \(\forall x \in I, f''(x)>0\) alors \((C)\) tourne sa concavité vers les \(y\) positifs.
• Si \(\forall x \in I, f''(x)< 0\) alors \((C)\) tourne sa concavité vers les \(y\) négatifs.

Remarque

Dans le tableau des signes de la dérivée seconde, on utilise le symbole \(\cup\) (respectivement \(\cap\)) pour indiquer le sens de la concavité tournée vers les \(y\) positifs (respectivement les \(y\) négatifs).

c) Point d'inflexion

Définition

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente.
En ce point, la courbe change le sens de sa concavité.

Théorème

Soit \(f\) une fonction deux fois dérivable sur \(I=]a,b[\) et \(x_0 \in I\).
La courbe représentative de \(f\) admet un point d'inflexion en \(x_0\) si \(f''(x)=0\) et \(f''\) change de signe en \(x_0\).

Exercices

Déterminer le sens de concavité et les points d'inflexion éventuels de chacune des courbes représentatives des fonctions définies par :
a) \(f(x)=x^{2}-2x+1\)
b) \(f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+x+\frac{7}{4}\)
c) \f(x)=\frac{x+1}{x-1}\)

---

Résolution

a) Calculons la dérivée seconde et déterminons ses signes.
\(f'(x)=2x-2\) et \(f''(x)=2\)
\( \begin{array}{|c|lr|} \hline x & -\infty && && +\infty\\ \hline f''(x) & && + &&\\ \hline f(x) & && \cup && \\ \hline \end{array} \)

La fonction a sa concavité tournée vers les \(y\) positifs dans \(mathbb{R}\) et sa courbe n'admet pas de point d'inflexion.

b) Nous avons :
\(f'(x)=x^{2}-2x+1\) et \(f''(x)=2x-2\)
\([f''(x)=0]\iff (x=1)\)

\( \begin{array}{|c|lr|} \hline x & -\infty && 1 && +\infty\\ \hline f''(x)&& - & 0 & +\\ \hline f(x) && \cap & 1 & \cup \\ \hline \end{array} \)

La fonction a sa concavité tournée vers les \(y\) négatifs dans \(]-\infty,1]\) et vers les \(y\) positifs dans \([1,+\infty[\). Elle admet un point d'inflexion d'abscisse \(1\).

c) \(f'(x)=\frac{-2}{(x-1)^{2}}\) et \(f''(x)=\frac{4}{(x-1)^{3}}\)



\( \begin{array}{|c|cc|c|lr|} \hline x & -\infty && 1 && +\infty\\ \hline 4 && + & & +\\ \hline (x-1)^{3} && - & 0 & +\\ \hline f''(x)&& - & || & +\\ \hline f(x)&& \cap & || & \cup \\ \hline \end{array} \)

La courbe a sa concavité tournée vers les \(y\) négatifs dans \(]-\infty,1[\) et vers les \(y\) positifs dans \(]1,+\inft[. Cependant, elle n'admet pas de point d'inflexion.

Remarque

Les différents résultats obtenus sur les applications des dérivées première et seconde sont résumés dans le tableau suivant appelé tableau des variations de la fonction partant de son domaine de définition.


\( \begin{array}{|c|lr|} \hline x &&& \mathrm{Domaine \ de \ définition}&&\\ \hline f' &&& \mathrm{Z\acute{e}ro \ et \ signe}&&&&\\ \hline f'' &&& \mathrm{Z\acute{e}ro \ et \ signe}&&&&\\ \hline f &&& \mathrm{Conclusion}&&&&\\ \hline \end{array} \)