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LIMITES

Les limites sont un concept fondamental en mathématiques qui permet d'étudier le comportement d'une fonction lorsque la variable s'approche d'une certaine valeur. Elles sont utilisées dans de nombreuses branches des mathématiques, notamment en analyse, en géométrie, en statistiques et en calcul différentiel.

Les limites permettent de déterminer des asymptotes, des discontinuités et des points singuliers, et sont donc essentielles pour comprendre la nature des fonctions. Les limites sont également utilisées dans la résolution de problèmes pratiques en sciences physiques, en économie et en ingénierie.

Dans cette optique, la notion de limite peut être vue comme une pierre angulaire de la modélisation mathématique.

I.LIMITE D'UNE FONCTION A L'INFINI

1) Limite finie à l'infini

Intuitivement: On dit que la fonction \(f\) adment pour limite \(L\) en \(+\infty\) si \(f(x)\) est aussi proche de \(L\) que l'on veut
pourvu que \(x\) soit suffisamment grand.

Exemple

La fonction définie par \(f(x)=2+\frac{1}{x}\) a pour limite \(2\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

En effet, les valeurs de la fonction se resserrent autour de \(2\) dès que \(x\) est suffisamment grand.
La distance MN tend vers \(0\).
Si on prend un intervalle ouvert quelconque contenant \(2\), toutes les valeurs de la fonction appartiennent à cet intervalle dès que \(x\)
est suffisamment grand.

Définition

On dit que la fonction \(f\) admet pour limite \(L\) en \(+\infty\) si tout intervalle ouvert contenant toutes les valeurs de \(f(x)\) dès que
\(x\) est suffisamment grand. Et on note: \(\underset{x \to +\infty}{lim} f(x)=L\)

Définitions

  • La droite d'équation \(y=L\) est asymptote à la courbe représentative de la fonction \(f\) en \(+\infty\)
    si \(\underset{x \to +\infty}{lim} f(x)=L\)
  • La droite d'équation \(y=L\) est asymptote à la courbe représentative de la fonction \(f\) en \(+\infty\)
    si \(\underset{x \to -\infty}{lim} f(x)=L\)

Remarque

Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), la courbe de la fonction se rapproche de son asymptote.
La distance MN tend vers \(0\).

2) Limite inifine à l'infini

Intuitivement: On dit que la fonction \(f\) admet pour lilmite \(+\infty\) en \(+\infty\) si \(f(x)\) est aussi grand qu'on veut
pourvu que \(x\) soit suffisamment grand.

Exemple

La fonction définie par \(f(x)=x^2\) a pou limite \(+\infty\) lorque \(x\) tend vers \(+\infty\).
En effet, les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on souhaite dès que \(x\) est suffisamment grand.
Si on prend un rèel \(a\) quelconque, l'intervalle \(]a;+\infty[\) contient toutes les values de la fonction dès que \(x\) est suffisamment grand.

Définitions

  • On dit la fonction \(f\) admet pour limite \(+\infty\) en \(+\infty\) si tout intervalle \(]a;+\infty[\): \(a\in\mathbb{R}\);
    contient toutes les valeurs de \(f(x)\) dès que \(x\) est suffisamment grand.
    Et on note: \(\underset{x \to +\infty}{lim} f(x)=+\infty\)
  • On dit la fonction \(f\) admet pour limite \(-\infty\) en \(+\infty\) si tout intervalle \(]-\infty;b[\): \(b\in\mathbb{R}\);
    contient toutes les valeurs de \(f(x)\) dès que \(x\) est suffisamment grand.
    Et on note: \(\underset{x \to +\infty}{lim} f(x)=-\infty\)

Remarque

  • Une fonction qui tend vers \(+\infty\) n'est pas nécessairement croissante.
  • Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie. C'est le cas des fonctions sinusoïdales.

3) Limites des fonctions usuelles

Propriétés

  • \(\underset{x \to +\infty}{lim} x^2=+\infty\); \(\underset{x \to -\infty}{lim} x^2=+\infty\)
  • \(\underset{x \to +\infty}{lim} x^3=+\infty\); \(\underset{x \to -\infty}{lim} x^3=-\infty\)
  • \(\underset{x \to +\infty}{lim} \sqrt{x}=+\infty\)
  • \(\underset{x \to +\infty}{lim} \frac{1}{x}=0\); \(\underset{x \to -\infty}{lim} \frac{1}{x}=0\)

II. Limite d'une fonction en un réel \(A\)

Intuitivement : On dit que la fonction f admet pour limite \(+\infty\) en \(A\) si \(f(x)\) est aussi grand que l’on veut pourvu que \(x\) soit suffisamment proche de \(A\).

Exemple

La fonction représentée ci-dessous a pour limite +∞ lorsque x tend vers A.
En effet, les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on souhaite dès que \(x\) est suffisamment proche de A. Si on prend un réel \(a\) quelconque, l'intervalle \(]a;+\infty[\) contient toutes les valeurs de la fonction dès que \(x\) est suffisamment proche de \(A\).

Définitions :

  • On dit que la fonction \(f\) admet pour limite \(+\infty\) en \(A\) si tout intervalle \(]a;+\infty[\):\(a\in\mathbb{R}\), contient toutes les valeurs de \(f(x)\) dès que \(x\) est suffisamment proche de \(A\) et on note : \(\underset{x\to A}{lim} f(x) = +\infty\)
  • On dit que la fonction \(f\) admet pour limite \(-\infty\) en \(A\) si tout intervalle \(]−\infty;b[\) : \(b\in\mathbb{R}\), contient toutes les valeurs de \(f(x)\) dès que \(x\) est suffisamment proche de \(A\) et on note : \(\underset{x\to A}{lim} f(x) = −\infty\).

Définition

La droite d'équation \(x=A\) est asymptote à la courbe représentative de la fonction \(f\) si \(\underset{x\to A}{lim}f(x) = +\infty\) ou \(\underset{x\to A} f(x) = −\infty\).

Remarque:

Certaines fonctions admettent des limites différentes en un réel \(A\) selon \(x > A\) ou \(x < A\).
Considérons la fonction inverse définie sur \(\mathbb{R}^{*}\)par \(f(x)=\frac{1}{x}\).

- Si \(x < 0\), alors \(f(x)\) tend vers \(-\infty\) et on note: \(\underset{x\to A\\x< 0}{lim}f(x)=−\infty\).

- Si \(x > 0\), alors \(f(x)\) tend vers \(+\infty\)et on note : \(\underset{x\to A\\x>0}{lim}f(x) = +\infty\).

Limite

On parle de limite à gauche de \(0\) et de limite à droite de \(0\).

1) Limite d'une somme

\(\begin{array}{|c|c|c|c|l|r|} \hline \underset{x\to \alpha}{lim}f(x)=&L& L& L&+\infty &-\infty &+\infty\\ \hline \underset{x\to \alpha}{lim}g(x)=&L{'}& +\infty&-\infty&+\infty &-\infty &-\infty\\ \hline \underset{x\to \alpha}{lim}(f(x)+g(x))=&L+L{'}& +\infty& -\infty&+\infty&-\infty& \mathrm{F.I}\\ \hline \end{array}\)

2) Limite d'un produit

\(\begin{array}{|c|c|c|c|l|r|} \hline \underset{x\to \alpha}{lim}f(x)=&L& L>0& L< 0& L>0& L< 0 &+\infty &-\infty &+\infty&0\\ \hline \underset{x\to \alpha}{lim}g(x)=&L{'}& +\infty&+\infty&-\infty &-\infty &+\infty &-\infty &-\infty &+\infty \ \mathrm{ou} -\infty\\ \hline \underset{x\to \alpha}{lim}(f(x)+g(x))=&LL{'}& +\infty& -\infty&-\infty& +\infty& +\infty& +\infty& -\infty& \mathrm{F.I}\\ \hline \end{array}\)

3) Limite d'un quotient

\(\begin{array}{|c|c|c|c|l|r|} \hline \underset{x\to \alpha}{lim}f(x)=&L& L& \ \mathrm{ L>0 \\ ou+\infty}& \mathrm{L<0 \\ ou -\infty} & \mathrm{L>0 \\ou \ +\infty} & \mathrm{ L<0 \\ou+\infty} &0 &+\infty &+\infty &-\infty&-\infty& \mathrm{+\infty \\ou \ -\infty}\\ \hline \underset{x\to \alpha}{lim}g(x)=&L{'}\ne 0& \mathrm{+\infty \\ou \ -\infty}& \mathrm{0 \ avec\\ g(x)>0}&\mathrm{0 \ avec \\ g(x)>0} & \mathrm{0 \ avec \\ g(x)<0} & \mathrm{0 \ avec \\ g(x)<0} &0&L{'}>0 &L{'}<0 &L{'}>0 &L{'}<0 & \mathrm{+\infty \\ou\ -\infty}\\ \hline \underset{x\to \alpha}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=&\frac{L}{L{'}}& 0& +\infty&-\infty& -\infty& +\infty& \mathrm{F.I} & +\infty& -\infty& -\infty& +\infty &\mathrm{F.I}\\ \hline \end{array}\)

Exemple:


\(\underset{x\to -\infty}{lim}(x-5)(3+x^2)?\)

\(\underset{x\to -\infty}{lim}(x-5)=-\infty\) et

\(\underset{x\to -\infty}{lim}(3+x^2)=-\infty\)

D'après la règle sur la limite d'un prodit: \(\underset{x_to -\infty}{lim}(x-5)(3+x^2)=-\infty\)

Remarque

Comme pour les suites, nous rappellons que les quatre forms indeterminées sont par, abus d'écriture:
  • \(\infty-\infty\)
  • \(0\times \infty\)
  • \(\frac{\infty}{\infty}\)
  • \(\frac{0}{0}\)

Exercices

Calucuelr:
1) \(\underset{x\to +\infty}{lim}(-3x^3+2x^2-6x+1)\)

2) \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{2x^2-5x+1}{6x^2-5}\)

3) \(\underset{x\to -\infty}{lim}\frac{3x^2+2}{4x-1}\)

Résolutions


1) Il s'agit ici s'une forme indeterminée du type "\(-\infty+(+\infty)+(-\infty)\)"
Levons l'indetermination:

\(-3x^3+2x^2-6x+1=x^3(-3+\frac{2}{x}-\frac{6}{x^2}+\frac{1}{x^3})\)

Or \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{2}{x}=\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{6}{x^2}=\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{1}{x^3}=0\)

Donc par sommes des limites \(\underset{x\to +\infty}{lim}(-3+\frac{2}{x}-\frac{6}{x^2}+\frac{1}{x^3})=-3\)

Comme \(\underset{x\to +\infty}{lim}x^3=+\infty\), on a par le produit des limites
\(\underset{x\to +\infty}{lim}x^3(-3+\frac{2}{x}-\frac{6}{x^2}+\frac{1}{x^3})=-\infty\).

Donc \(\underset{x\to +\infty}{lim}(-3x^3+2x^2-6x+1)=-\infty\)


2) En appliquant la méthode de la question 1) pour le numérateur et le dénominateur de la fonction rationnelle, cela nous conduit à une forme
indeterminée du type "\(\frac{\infty}{\infty}\)".

Levons l'indetermination:

\(\frac{2x^2-5x+1}{6x^2-5}\) \(=\frac{x^2(2-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2})}{x^2(6-\frac{5}{x^2})}=\)
\(=\frac{2-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}}{6-\frac{5}{x^2}}\)

Or \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{5}{x}=\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{1}{x^2}=\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{5}{x^2}=0\)

Donc par somme des limites \(\underset{x \to +\infty}{lim}(2-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2})=2\) et
\(\underset{x \to +\infty}{lim}(6-\frac{5}{x^2})=6\)

Donc par quotient de limites \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{2-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}}{6-\frac{5}{x^2}}\)
\(=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

Donc \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{2x^2-5x+1}{6x^2-5}=\frac{1}{3}\)

3) Il s'agit d'une forme indeterminée du type "\(\frac{\infty}{\infty}\)".

Levons l'indetermination:

3) Il s'agit d'une forme indéterminée du type :\(\frac{\infty}{\infty}\) Levons l'indétermination :
\(\frac{3x^2+2}{4x-1}=\frac{x^2(3+\frac{2}{x^2})}{x(4-\frac{1}{x})}\)
\(=x\times\frac{3+\frac{2}{x^2}}{4-\frac{1}{x}}\)
Or \(\underset{x\to -\infty}{lim}\frac{2}{x^2}=\underset{x\to -\infty}{lim}\frac{1}{x}=0\)
Donc par somme des limites \(\underset{x\to -\infty}{lim}(3+\frac{2}{x^2})=3\) et
\(\underset{x\to -\infty}{lim}(4-\frac{1}{x})=4\)
Donc comme quotient des limites \(\frac{3+\frac{2}{x^2}}{4-\frac{1}{x}}=\frac{3}{4}\)
Or \(\underset{x\to -\infty}{lim}x=-\infty\)
Donc comme produit des limites \(x\times\frac{3+\frac{2}{x^2}}{4-\frac{1}{x}}\)=\(-\infty\)
D'où \(\underset{x\to -\infty}{lim}\frac{3x^2+2}{4x-1}=-\infty\)

EXERCICES

Calculer:

1) \(\underset{x \to +\infty}{lim}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\)

2) \(\underset{x \to 5}{lim}\frac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}\)

CORRIGES

1) Il s'agit d'une indetermination du type : \(\infty-\infty\)

Levos l'indetermination à l'aide de l'expression conjuguée.

\(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\)\(=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\) \(=\frac{x+1-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\) \(=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\)

Or \(\underset{x\to +\infty}{lim}\sqrt{x+1}=\underset{x\to +\infty}{lim}\sqrt{x}=+\infty\)

Donc par somme des limites \(\underset{x\to +\infty}{lim}\sqrt{x+1}+\sqrt{x}=+\infty\)

Et donc par quotient des limites \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=0\)

D'où \(\underset{x \to +\infty}{lim}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})=0\)

2) \(\underset{x \to 5}{lim}{\sqrt{x-1}-2}=\sqrt{5-1}-2=0\) et
\(\underset{x\to 5}{lim}(x-5)=5-5=0\)

Il s'agit d'une forme indeterminée du type : \(\frac{0}{0}\)

Levons l'indetermination à l'aide de l'expression conjuguée

\(\frac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}\)
\(=\frac{(\sqrt{x-1}-2)(\sqrt{x-1}+2)}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)}\)
\(=\frac{x-1-4}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)}\)
\(=\frac{x-5}{(x-5)(\sqrt{x-1}+2)}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x-1}+2}\)
Or \(\underset{x\to 5}{lim}\sqrt{x-1}=\sqrt{5-1}=2\)
Par somme des limites : \(\underset{x\to 5}{lim}\sqrt{x-1}+2=\sqrt{5-1}+2=2+2=4\) Donc par quotient des limites, on a :
\(\underset{x\to 5}{lim}\frac{1}{\sqrt{x-1}+2}=\frac{1}{4}\)

Et donc \(\underset{x \to 5}{lim}\frac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}=\frac{1}{4}\)

Généralités

D’une manière générale, pour calculer \(\underset{x \to a}{lim} f(x)\), on calcule \(f(a)\), c’est-à-dire on remplace partout il y a la variable \(x\) par le réel \(a\).

Exemples :

\(1)\underset{x\to 2}{lim} \; ⁡2x+5\)

\(\underset{x\to 2}{lim}\; ⁡2x+5=2 \times 2+5=9 \)

\(\underset{x\to 2}{lim}\; ⁡2x+5=9 \)

\( 2) \underset{x \to 4}{lim} \; \frac{x^2+2x-8}{\sqrt{x^2+9}}\)

\( \underset{x \to 4}{lim} \; ⁡\frac{x^2+2x-8}{\sqrt{x^2+9}}=\frac{4^2+2×4-8}{\sqrt{4^2+9}}=\frac{16}{5}\)

\( \underset{x \to 4}{lim} \; \frac{x^2+2x-8}{\sqrt{x^2+9}}=\frac{16}{5} \)

I. CALCUL DES LIMITES

1. Opérations sur les limites

Soient \(f \; et \; g\) deux fonctions admettant des limites en \(a \; et \; \lambda \in \mathbb{R}\).

a) Si \( \forall x \in \mathbb{R} ,f(x)=\lambda \),alors∶

\(\underset{x \to a}{lim}f(x)=\lambda \)

La limite d’une fonction constante est égale à la constante quelle que soit la limite de la variable x

b) \( \underset{x \to a}{lim} \; \lambda f(x)=\lambda \underset{x \to a}{lim} f(x) \)

Exemple
Calculer \(\underset{x \to 1} {lim} \; (2x+4)\)

\(\underset{x \to 1}{lim} \; (2x+4)=\underset{x \to 1}{lim} \; 2(x+2) \)

\(=2 \underset{x \to 1}{lim}\; (x+2) \)

\(=2 (1+2) \)

\( =2(3) \)

\(\underset{x \to 1}{lim} (2x+4)=6 \)

c)\( \underset{x \to a}{lim} \left[f(x) \pm g(x)\right]=\underset{x \to a}{lim} \; f(x) \pm \underset{x \to a}{lim} \; g(x)\)

d) \( \underset{x \to a}{lim} \; \left[f(x).g(x)\right]=\underset{x \to a}{lim}\; f(x) . \underset{x \to a}{lim} \; g(x) \)

Exemple
\(f(x)=(2x+1)(x+1) \)

\(\underset{x \to 2}{lim} \; f(x)= \underset{x \to 2}{lim} \; (2x+1)(x+1) \)

\(=\underset{x \to 2}{lim} \; (2x+1). \underset{x→2}{lim} \; (x+1) \)

\(=(2.2+1)(2+1) \)

\(=(4+1)(3) \)

\(\underset{x \to 2}{lim} \; (2x+1)(x+1)=15 \)

e) \( \underset{x \to a}{lim} \; \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{ \underset{x \to a}{lim} \; f(x)}{ \underset{x \to a}{lim} \; g(x)} \quad (\underset{x \to a}{lim} \; g(x) \neq 0)\)

f) \( \underset{x \to a}{lim} \; \left[f(x)\right]^{n}=\left[\underset{x \to a}{lim} \; f(x)\right]^{n} \)

Exemple
\(f(x)=(x+1)^{3} \)

\(\underset{x \to 1}{lim} \; f(x)=\underset{x \to 1}{lim} \; (x+1)^{3} \)

\( =\left[\underset{x→1}{lim} \; (x+1)\right]^{3} \)

\(=\left[(1+1)\right]^{3} \)

\(=(2)^{3} \)

\(\underset{x \to 1}{lim} \; (x+1)^{3}=8\)

g) \( \underset{x\to a}{lim}\sqrt[n]{f(x)} = \left\{ \begin{aligned} \sqrt[n]{\underset{x\to a}{lim}f(x)} \text{si n et impair ou n pair et} \underset{x\to a}{lim}f(x)\geq 0\\ \text{n'existe pas si n est pair et} \underset{x\to a}{lim}f(x)< 0 \end{aligned}\right. \)

2. La limite d’un polynôme lorsque x tend vers l’infini est égale à la limite de son terme de plus haut degré.


Démonstration

Soit \(f: x\to f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\)

Calculons : \(\underset{x\to \infty}{lim}f(x)=\underset{x\to \infty}{lim}(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0})\)
\(=\underset{x\to \infty}{lim}a_{n}x^{n}[1+\frac{a_{n-1}}{a_{n}x}+\frac{a_{n-2}}{a_{n}x^{2}}+\ldots +\frac{a_{0}}{a_{n}x^{n}}]\)
\(=\underset{x\to \infty}{lim}a_{n}x^{n}(1+0+0+\ldots+0)\)
\(=\underset{x\to \infty}{lim}a_{n}x^{n}\)


Exemples

\(a)\underset{x \to +\infty}{lim} \; (5x^{6}+2x^{3}+2x-5) \)

Quand on parle de degré supérieur, on regarde les exposants de x, on constate que le plus grand exposant de x est 6.

\( a)\underset{x \to +\infty}{lim} \; (5x^{6}+2x^{3}+2x-5)= \underset{x \to +\infty} {lim}\; 5x^6 \)

\(=5 (+\infty)^{6} \)

\( \underset{x \to +\infty}{lim} \; (5x^{6}+2x^{3}+2x-5)=+\infty \)

\(b) \underset{x \to -\infty}{lim} \; (1+3x^{2}-2x) \)
Dans ce cas, le degré (exposant) supérieur est 2

\( \underset{x \to -\infty}{lim} \; (1+3x^{2}-2x)= \underset{x \to -\infty}{lim} \;3x^2 \)

\(=3 (-\infty)^{2}\)

\(3.\infty\)

\(\underset{x \to -\infty}{lim} \; (1+3x^{2}-2x)=\infty\)

\(c)\underset{x \to -\infty}{lim} \; (1-2x^{4}+3x^{3}+1)\)

\(=\underset{x \to -\infty}{lim} \; (-2x^{4}) \)

\(=-2 (-\infty)^{4}\)

\(=-2\times (\infty) \)

\(\underset{x \to -\infty}{lim} \; (1-2x^{4}+3x^{3}+1)=-\infty \)

Cas d'indétermination

Dans cette partie, nous allons examiner quelques formes particulières dites indéterminées que peut prendre la limite d'une fonction en un point.
Ces formes sont: \(\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty-\infty \text{et} 0.\infty\).
La valeur que nous trouverons après transformation de la fonction est appelée vrai valeur et le calcul qui permet ee la déterminer levée d'indetermination.


a) Cas d'indetermination \(\frac{0}{0}\)



1°) Cas: Fonctions rationnelles

Soit la fonction \(p:x\to p(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\).
Si \(\underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}g(x)=0\) alors \(\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}\) prend la forme \(\frac{0}{0}\).

Dans ce cas \(x-a\) est un facteur commun à \(f(x)\) et \(g(x)\). Ainsi, \(\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}\)=\(\underset{x\to a}{lim}\frac{(x-a)g(x)}{(x-a)t(x)}\) \(=\underset{x\to a}{lim}\frac{q(x)}{t(x)}=\frac{q(a)}{t(a)}\).
Si l'indétermination persiste, on continue la factorisation.

Exemples

  • \(\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}=\frac{1-1}{1-1}\)
    On a la forme indeterminée \(\frac{0}{0}\)
    Levons l'indetermination

    \(\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x+1)}\)
    \(\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^{2}+x+1}{x+1}\)
    \(\frac{3}{2}\)
  • \(\underset{x\to 1}{lim}\frac{2x^{3}+x^{2}-8x+5}{x^{3}-3x+2}=\frac{2+1-8+5}{1-3+2}\)
    On a la forme indeterminée \(\frac{0}{0}\)
    Levons l'indetermination

    \(\underset{x\to 1}{lim}\frac{2x^{3}+x^{2}-8x+5}{x^{3}-3x+2}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x-1)(2x^{2}+3x-5)}{(x-1)(x^{2}+x-2)}\)
    \(\underset{x\to 1}{lim}\frac{2x^{2}+3x-5}{x^{2}+x-2}\)
    \(\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x-1)(2x+5)}{(x-1)(x+2)}\)
    \(\frac{7}{3}\)

b) Cas: Fonctions irrationnelles

Pour lever l'indetermination du cas des fonctions irrationnelles, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la fonction par
l'(les) expression(s) conjuguée(s) du(des) terme(s) contenant les radicaux.

Exemples

  • \(\underset{x\to 2}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}=\frac{\sqrt{4}-2}{2-2}=\frac{2-2}{2-2}\)
    On a la forme indeterminée \(\frac{0}{0}\)
    Levons l'indetermination

    \(\underset{x\to 2}{lim}\frac{\sqrt{x+2}-2}{x-2}=\underset{x\to 2}{lim}\frac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}\)
    \(=\underset{x\to 2}{lim}\frac{x+2-4}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}\)
    \(=\underset{x\to 2}{lim}\frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}\)
    \(=\underset{x\to 2}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+2}+2}\)
    \(=frac{1}{\sqrt{2+2}+2}\)
    \(=\frac{1}{\sqrt{4}+2}\)
    \(=\frac{1}{2+2}\)
    \(=\frac{1}{4}\)
  • \(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{4-2x}}{\sqrt{x+1}-1}=\frac{\sqrt{4}-\sqrt{4}}{1-1}\)
    On a la forme indeterminée \(\frac{0}{0}\)
    Levons l'indetermination

    \(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+4}-\sqrt{4-2x}}{\sqrt{x+1}-1}= \underset{x\to 0}{lim}\frac{(\sqrt{x+4}-\sqrt{4-2x})(\sqrt{x+4}+\sqrt{4-2x})(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)(\sqrt{x+4}+\sqrt{4-2x})}\)
    \(=\underset{x\to 0}{lim}\frac{(x+4-4+2x)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+4}+\sqrt{4-2x})}\)
    \(=\underset{x\to 0}{lim}\frac{(3x)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt{x+4}+\sqrt{4-2x})}\)
    \(=\underset{x\to 0}{lim}\frac{3(\sqrt{x+1}+1)}{\sqrt{x+4}+\sqrt{4-2x}}\)
    \(=\underset{x\to 0}{lim}\frac{3(\sqrt{0+1}+1)}{\sqrt{0+4}+\sqrt{4-20}}\)
    \(\frac{3}{2}\)

a) Cas d'indetermination \(\frac{\infty}{\infty}\)



1°) Cas: Fonctions rationnelles

Soient les polynômes \(f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\)
\(g(x)=b_{p}x^{p}+b_{p-1}x^{p-1}+\ldots +b_{1}x+b_{0}\) de degrés respectifs \(n\) et \(p\).
\(\underset{x\to \infty}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to \infty}{lim}\frac{a_{n}x^{n}}{b_{p}x^{p}}\) prend la forme \(\frac{\infty}{\infty}\)
Pour déterminer la vraie valeur de la limite, trois cas sont possibles:

  • Si \(n=p\) alors \(\underset{x\to \infty}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_{n}}{b_{p}}\underset{x\to \infty}{lim}\frac{x^{n}}{x^{n}}\)
    \(=\frac{a_{n}}{b_{p}}\)
  • Si \(n< p\) alors \(\underset{x\to \infty}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_{n}}{b_{p}}\underset{x\to \infty}{lim}\frac{1}{x^{p-n}}\)
    \(=0\)
  • Si \(n> p\) alors \(\underset{x\to \infty}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_{n}}{b_{p}}\underset{x\to \infty}{lim}{x^{p-n}}\)
    \(=\infty\)
On retient que la limite de \(\frac{f(x)}{g(x)}\) lorsque \(x\) tend vers l'infini est:
  • le quotient de coefficients des termes de plus haute puissance du numérateur et du dénominateur si le degré du numérateur est
    égal à celui du dénominateur;
  • nulle si le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur:
  • infini (à préciser) si l degré du numérateur est supérieur à celui du dénominateur.

Exemples

  • \(\underset{x\to \pm\infty}{lim}\frac{3x^{5}+4x^{2}-x+2}{-6x^{5}-x^{4}+x+3}=\underset{x\to \pm\infty}{lim}\frac{3x^{5}}{-6x^{5}}\)
    \(=\frac{-1}{2}\)
  • \(\underset{x\to \pm\infty}{lim}\frac{2x-3}{3x^{2}}=\underset{x\to \pm\infty}{lim}\frac{2x}{3x^{2}}\)
    \(=0\)
  • \(\underset{x\to \pm\infty}{lim}\frac{-7x^{2}+3x^{3}-x+4}{-x^{2}+6x-2}=\underset{x\to \pm\infty}{lim}\frac{3x^{3}}{-x^{2}}\)
    \(=\frac{1}{-2}\)
    \(= \left\{ \begin{aligned} \underset{x\to +\infty}{lim}\frac{3x^{3}}{-x^{2}}=\underset{x\to +\infty}{lim}(-3x)=-\infty\\ \underset{x\to -\infty}{lim}\frac{3x^{3}}{-x^{2}}=\underset{x\to -\infty}{lim}(-3x)=+\infty \end{aligned} \right. \)

1°) Cas: Fonctions irrationnelles

Commençons par rappeler que
\(\sqrt{x^{2}}=\lvert x \rvert\) \(= \left\{ \begin{aligned} x && \text{si} && x\to +\infty\\ -x && \text{si} && x\to -\infty \end{aligned} \right. \)

  • \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{\sqrt{x^{2}-3x+2}}{3x}\)
    \(=\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{\sqrt{x^{2}(1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^{2}})}}{3x}\)
    \(=\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{\sqrt{x^{2}}}{3x}\)
    \(=\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{\lvert x \rvert}{3x}\)
    On a les deux cas suivants:
    Premier cas
    \(\underset{x\to -\infty}{lim}\frac{\lvert x \rvert}{3x}=\underset{x\to -\infty}{lim}\frac{-x}{3x}\)
    \(\frac{-1}{3}\)
    Deuxième cas
    \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{\lvert x \rvert}{3x}=\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{x}{3x}\)
    \(\frac{1}{3}\)
  • \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{2x}{2x-3+\sqrt{x^{2}-2x+2}}=\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{2x}{2x+\lvert x \rvert}\)
    \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{2x}{2x+x}\)
    \(\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{2x}{3x}\)
    \(\frac{2}{3}\)

a) Cas d'indetermination \(0.\infty\)



Ce cas se ramène aux cas d'indetermination \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\)

Exemple

\(\underset{x\to \infty}{lim}(x^{2}+2x+1)(\frac{x}{x^{2}+1})= \underset{x\to \infty}{lim}(x^{2})(\frac{x}{x^{2}})\)
indetermination ( \(0.\infty\)).
\(\underset{x\to \infty}{lim}(x^{2}+2x+1)(\frac{x}{x^{2}+1})= \underset{x\to \infty}{lim}\frac{x^{3}+2x^{2}+x}{x^{2}+1}\)
Indetermination : (\(\frac{\infty}{\infty}\)).
\(=\underset{x\to \infty}{lim}\frac{x^{2}}{x^{2}}\)
\(=\underset{x\to \infty}{lim}x\)
\(= \left\{ \begin{aligned} +\infty && \text{si} & x\to +\infty\\ -\infty && \text{si} & x\to -\infty \end{aligned} \right. \)

a) Cas d'indetermination \(\infty-\infty\)



Pour lever l'indetermination \(\infty-\infty\), on multiplie et on divise l'xpression donnée par son conjugué. Ce qui nous ramène
à la forme \(\frac{\infty}{\infty}\) (Cas des fonctions irrationnelles).

Exemples

  • \(\underset{x\to \infty}{lim}(x-\sqrt{x^{2}+4x-1})\)
    \(\underset{x\to \infty}{lim}(x-\sqrt{x^{2}+4x-1}=\underset{x\to \infty}{lim}(x-\sqrt{x^{2}})\)
    ( indetermination \(\infty-\infty\))
    Levons l'indetermination
    1. \(\underset{x\to +\infty}{lim}(x-\sqrt{x^{2}+4x-1})= \underset{x\to +\infty}{lim}\frac{(x-\sqrt{x^{2}+4x-1})(x+\sqrt{x^{2}+4x-1})}{(x+\sqrt{x^{2}+4x-1})}\)
    \(=\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{x^{2}-x^{2}-4x+1}{(x+\sqrt{x^{2}+4x-1})}\)
    \(=\underset{x\to +\infty}{lim}\frac{-4x}{(x+\sqrt{2x})}\)
    \(=-2\)

    2. \(\underset{x\to \infty}{lim}(x-\sqrt{x^{2}})=\frac{\infty}{\infty}\)

    \(=-\infty\)

Remarque

La forme \(\infty-\infty\) peut provenir d'une différence de deux fractions.
Pour lever une telle indetermination, on réduit les deux fractions au même dénominateur et on simplifie les expressions obetnues
par la décomposition en facteurs.

Exemple

\(\underset{x\to 1}{lim}(\frac{2}{x^{2}-3x+2}-\frac{3}{x^{2}-1)=(\frac{2}{0}-\frac{3}{0})}\)
( indetermination \(\infty-\infty\))
Levons l'indetermination
\(\underset{x\to 1}{lim}(\frac{2}{x^{2}-3x+2}-\frac{3}{x^{2}-1})\) \(=\underset{x\to 1}{lim}\frac{2(x^{2}-1)-3(x^{2}-3x+2)}{(x^{2}-3x+2)(x^{2}-1)}\)
\(\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^{2}+9x-8}{(x^{2}-3x+2)(x^{2}-1)}\)
( indetermination \(\frac{0}{0}\))
Levons l'indetermination
Le numérateur \(x^{2}+9x-8\) peut se décomposer en \(-(x-8)(x-1)\) et le dénominateur \((x^{2}-3x+2)(x^{2}-1)\) peut se décomposer en
\((x-1)(x-2)(x-1)(x+1)\). Ainsi, notre limite devient:
\(\underset{x\to 1}{lim}\frac{-(x-8)(x-1)}{(x^{2}-3x+2)(x^{2}-1)}\)
\(=\underset{x\to 1}{lim}\frac{8-x}{(2-x)(x^{2}-1)}\)
\(=\frac{7}{0}\)
\(=\infty\)
Déterminons le signe de \(\infty\):
\( \begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x & -\infty && -1 && 1 &&2 && 8 && +\infty\\ \hline 8-x & & + & & + & & + & & + & 0 & - & &\\ \hline x-2 & & - & & - & &- & 0 & + & & + & & \\ \hline x^{2}-1 & & + & 0 & - & 0 & + & & + &&+&&\\ \hline \frac{8-x}{(x-2)(x^{2}-1)}& & - & || & + & || & - & || & +& 0 &-&\\ \hline \end{array} \)
\(\underset{x\to 1\\ >}{lim}\frac{8-x}{(2-x)(x^{2}-1)}=-\infty\)
\(\underset{x\to 1\\ <}{lim}\frac{8-x}{(2-x)(x^{2}-1)}=+\infty\)

LIMITES DES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES

a) Théorème

1. \(\underset{x\to a}{lim}\sin x= \sin a\)
2. \(\underset{x\to a}{lim}\cos x= \cos a\)
3. \(\underset{x\to a}{lim}\tan x= \tan a (a\ne \frac{\pi}{2}+k\pi)\) et \(k\in \mathbb{Z}\)
4. \(\underset{x\to a}{lim}\cot x= \cot a (a\ne k\pi)\) et \(k\in \mathbb{Z}\)
5. \(\underset{x\to a^{+}}{lim}\tan x= -\infty a (a= \frac{\pi}{2}+k\pi)\) et \(k\in \mathbb{Z}\)
6. \(\underset{x\to a^{-}}{lim}\tan x= +\infty a (a= k\pi)\) et \(k\in \mathbb{Z}\)
7. \(\underset{x\to a^{+}}{lim}\cot x= +\infty a (a= k\pi)\) et \(k\in \mathbb{Z}\)
8. \(\underset{x\to a^{-}}{lim}\cot x= -\infty a (a= k\pi)\) et \(k\in \mathbb{Z}\)

b) Cas particuliers

1. \(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}= 1\)
1. \(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}= 1\)

Conséquences
  • \(\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}= 1\)
  • \(\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\tan x}= 1\)
  • \(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin px}{qx}=\frac{p}{q}\)
  • \(\underset{x\to 0}{lim}\frac{qx}{\sin px}=\frac{q}{p}\)
  • \(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin px}{\sin qx}=\frac{p}{q}\)
  • \(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan px}{qx}=\frac{p}{q}\)
  • \(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin px}{\tan qx}=\frac{p}{q}\)

Exemples

1. \(\underset{x\to \frac{\pi}{3}}{lim}\frac{1+tan x}{1-\tan x}\) On a: \(\underset{x\to \frac{\pi}{3}}{lim}\frac{1+tan x}{1-\tan x}=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}\)
\(=-2-\sqrt{3}\)

2. \(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 3x}{\sin 2x}\)
Ici, nous allons essayer d'utiliser deux méthodes et voir si les deux nous donnerons la même réponse.
Première méthode
\(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 3x}{\sin 2x}=\frac{3\cos^{3} x.\sin x-\sin^{3} x}{2\sin x\cos x}\)
\(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x(3\cos^{2} x-\sin^{2} x)}{2\sin x\cos x}\)
\(\underset{x\to 0}{lim}\frac{3\cos^{2} x-\sin^{2} x}{2\cos x}\)
\(=\frac{3\cos^{2} 0-\sin^{2} 0}{2\cos 0}\)
\(=\frac{3}{2}\)
Deuxième méthode
En appliquant l'une des Conséquences ci-haut, on a:
\(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 3x}{\sin 2x}=\frac{3}{2}\)
2. \(\underset{x\to \frac{\pi}{3}}{lim}\frac{\sin(x-\frac{\pi}{3})}{1-2\cos x}\)
\(\underset{x\to \frac{\pi}{3}}{lim}\frac{\sin(x-\frac{\pi}{3})}{1-2\cos x}=\frac{\sin 0}{1-2\frac{1}{2}}\)
(indetermination \(\frac{0}{0}\))
En posant \(u=x-\frac{\pi}{3}\) on a:
\(x=u+\frac{\pi}{3}\) et \((x\to \frac{\pi}{3})\implies u\to 0\)

Par la suite, \(\underset{x\to \frac{\pi}{3}}{lim}\frac{\sin(x-\frac{\pi}{3})}{1-2\cos x}= \underset{u\to 0}{lim}\frac{\sin u}{1-2(\cos u\cos \frac{\pi}{3}-\sin u \sin\frac{\pi}{3})}\)
\(\underset{u\to 0}{lim}\frac{\sin u}{1-2(\frac{1}{2}\cos u-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin u)}\)
\(\underset{u\to 0}{lim}\frac{\sin u}{1-\cos u+\sqrt{3}\sin u)}\)
\(\underset{u\to 0}{lim}\frac{2\sin \frac{u}{2}\cos \frac{u}{2}}{2\sin ^{2}\frac{u}{2}+\sqrt{3}2\sin \frac{u}{2}\cos \frac{u}{2}}\)
\(\underset{u\to 0}{lim}\frac{\cos \frac{u}{2}}{2\sin \frac{u}{2}+\sqrt{3}\cos \frac{u}{2}}\)
\(\underset{u\to 0}{lim}\frac{\cos 0}{2\sin 0+\sqrt{3}\cos 0}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{3}\)