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LOGARITHMES

1. Notions et Définitions

  • Notions

    • Si un nombre `N` peut se mettre sous la forme d'une puissance de `a` d'expression `x`, alors `x` est
    le logarithme de N dans la base a et on le note \(log_{a}N=x\).

    Exemple

    \(125\) peut s'écrire sous la forme \(5^3\). On dit alors que \(3\) est le logarithme de \(125\) dans la base \(5\). Et on note \(log_{5}125=3\).

  • Définition

    • On appelle logarithme de base \(a\) d'un nombre \(N\), l'exposant de la puissance à laquelle il faut élever \(a\) pour obtenir \(N\).
    On le note: \(log_{a}N\).

    \(log_{a}N=x\iff a^x=N\).

    Exemples

    1)\(log_{2}{8}=3\) car \(8=2^3\)
    2)\(log_{7}{49}=2\) car \(49=7^2\)
    3)\(log_{10}{1000}=3\) car \(1000=10^3\)
    4)\(log_{4}^\frac{1}{64}=log_{4}^\frac{1}{4^3}\)=\(log_{4}^{4^-3}=-3\)

    N.B: Si \(x\) est le logarithme de \(N\) dans la base \(a\), alors \(N\) est l'antilogarithme de \(x\) dans la base \(a\).
    \(antilog_{a}{x}=N\)

    Exemple

    \(8\) est l'antilogarithme de \(3\) dans la base \(2\)
    \(antilog_{2}{3}=8\)

  • Conséquences
    • 1) \(log_{a}{a}=1\)
    2) \(log_{a}{1}=0\)
    3) \(log_{a}{a^b}=b\)
    4) \(a^{log_{a}{b}}=b\)

    Exemple

    \(2^{log_{2}{32}}=2^5=32\)

N.B:

  • Seuls les réels positifs non nuls ont des logarithmes.
  • Le logarithme de base \(10\) est appelé Logarithme décimal ou logarithme de Briggs, ou logarithme vulgaire ou encore
    logarithme usuel.     C'est le logarithme le plus utilisé. On le note:
    \(log_{10}N\) ou \(log{N}\)
  • On utilise aussi souvent le logarithme de base \(e\); \(e=2,718281828...\), appelé logarithme naturel ou logarithme népérien .
    On le note:
    \(ln_{e}N\) ou \(ln{N}\)
  • La fonction dans \(\mathbb{R}\) définie par \(f(x)=logx\), est une fonction logarithmique.

2. Propriétés

1) \(log_{a}{x_1.x_2.x_3}=log_{a}{x_1}+log_{a}{x_2}+log_{a}{x_3}\) ou
\(log_{a}{x.y.y}=log_{a}{x}+log_{a}{y}+log_{a}{z}\)

Exemple

\(log_{2}{32.16.8}=log_{2}{32}+log_{2}{16}+log_{2}{8}\)
\(=5+4+3=12\)

2) \(log_{a}\frac{x}{y}=log_{a}{x}-log_{a}{y}\)

Exemple

\(log_{2}\frac{16}{64}=log_{2}{16}-log_{2}{64}=4-6=-2\) 3) \(log_{a}{x^n}=n.log_{a}{x}\)

Exemple

\(log_{3}{9^4}=4.log_{3}{9}=4.2=8\)

4) \(log_{a}\sqrt[n]{x}=\frac{log_{a}{x}}{n}\)

Exemple

\(log_{2}\sqrt[4]{8}=\frac{log_{2}{8}}{4}=\frac{3}{4}\)

N.B: L'opposé du logarithme de \(N\) est le cologarithme de \(N\) noté \(colog{N}\)

\(colog_{a}{N}=-log_{a}{N}\)

Exemple

\(colog_{4}{16}=-log_{4}{16}=2\)

Équations logarithmiques dans \(\mathbb{R}\)

a) Définition

C'est une équation dans laquelle l'inconnue intervient dans l'expression du logarithme.

Exemple

\(log(x+14)+log(x+2)=log64\)

b) Résolution

  • On pose les conditions d'existence des racines de l'équation (C.P).
  • On utilise les propriétés des logarithmes pour obtenir \(log_{a}{u(x)}\)=\(log_{a}{v(x)}\)\(\iff\)\(u(x) =v(x)\). On résout ensuite l'équation trouvée en retenant uniquement les valeurs de l'inconnue qui vérifient les C.P.

Exemple

Résoudre dans \(\mathbb{R}\)

1) \(2log{x}=log{100}\)
C.P: \(x>0\)
\(x\) \(\in ]0, +\infty[\)

\(log{x^2}=log{100}\)
\(x_1=\sqrt{100}=10\) et
\(x_2=-\sqrt{100}=-10\) à rejeter cfr C.P car \(-10\notin]0, +\infty[\)

\(S=\{10\}\)

2) \(log(x+14)+log(x+2)=log64\)
C.P: \(x+14>0\)
\(x>-14\)

\(x+2>0\)
\(x>-2\)

C.P: \(x>-2\)

\(log(x+14)+log(x+2)=log64\)
\(log(x+14)(x+2)=log64\)
\((x+14)(x+2)=64\)
\(x^2+2x+14x+28=64\)
\(x^2+2x+14x+28-64=0\)
\(x^2+16x-36=0\)
\((x+18)(x-2)=0\)
D'une part, \(x+18=0\iff x=-18\) à rejeter cfr C.P;

d'autre part, \(x-2=0\iff x=2\); \(S=\{2\}\)

Exercices d'auto-évaluation

1) \(log{12}=log{2x}-log{2}\)
2) \(log(x-2)+log(x-1)=log(2x+8)\)
3) \(log(x+1)+log(x+2)=log{20}\)

Équations exponentielles simples dans \(\mathbb{R}\)

a) Définition

C'est une équation dont l'inconnue intervient dans l'exposant.

Exemple

\(8^{x-2}=4\)

b) Résolution

On transforme de manière à obtenir une égalité entre deux puissances de même base ou bien on passe par les logarithmes décimaux.

Exercice

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
1)\((\frac{5}{3})^{{x}^{2}-3x}=(\frac{3}{5})^{2x-3x}\)
\((\frac{5}{3})^{{x}^{2}-3x}=(\frac{5}{3})^-({2x-3x})\)
\(x^2-3x=-(2x-2)\)
\(x^2-3x=-2x+2\)
\(x^2-3x+2x-2=0\)
\(x^2-x-2=0\)
\((x+1)(x-2)\) D'une part, \(x+1=0\iff x=-1\)
D'autre part, \(x-2=0\iff x=2\) \(S=\{-1,2\}\)

2) \(10^{x}=2\)
\(log{10}^{x}=log{2}\)
\(xlog{10}=log{2}\)
\(x=\frac{log{2}}{log{10}}\)
\(x=\frac{log{2}}{1}\)
\(x={log{2}}\)
\(x\simeq{0,3}\)
\(S=\{0,3\}\)

3) \(8^{x-2}=4\)

\((2^3)^{x-2}=2^{2}\)

\(3(x-2)=2\)

\(3x-6=2\)

\(3x=2+6\)

\(3x=8\)

\(x=\frac{8}{3}\)

\(S=\{\frac{8}{3}\}\)

Pratiques des logarithmes décimaux

Chiffres significatifs d'un nombre

On appelle chiffres significatifs d'un nombre, tous les chiffres ce nombre sauf les zéros qui précédent le premier chiffre non-nul

Exemples

1) \(6742\rightarrow\) \(4\) chiffres significatifs : \(6,7,4,2\)

2) \(30400\rightarrow\) \(5\) chiffres significatifs : \(3,0,4,0,0\)

3) \(0,0064\rightarrow\) \(2\) chiffres significatifs : \(6,4\)

4) \(2,0064\rightarrow\) \(5\) chiffres significatifs : \(2,0,0,6,4\)

5) \(0,00640\rightarrow\) \(3\) chiffres significatifs : \(6,4,0\)

Partie significative d'un nombre

La partie significative d'un nombre est celle qu'on obtient en supprimant la virgule, les zéros qui précèdent le premier
chiffre significatif et ceux qui suivent le dernier chiffre significatif non-nul.

Exemple

Partie significative de:
1) \(0,00264\rightarrow264\)

2) \(73,200\rightarrow732\)

3) \(5,0300\rightarrow 503\)

4) \(2,0064\rightarrow20064\)

3°) Définition

Le logarithme décimal d'un nombre \(N\) appelé aussi Logarithme vulgaire, ou logarithme usuel ou encore logarithme de Briggs est son logarithme dans la base \(10\).

On le note \(\log_{10}N\) ou tout simplement \(\log{10}\).
Donc \(\log{10}=x\iff 10^{x=N}\)

Exemple

1) \(log{100}=log{10}^{2}=2\)
2) \(log{0,001}=log{10}^{-3}=-3\)

N.B:
- Les propriétés des logarithmes sont aussi vraies pour les logarithmes décimaux.

- Le logarithme décimal d'une puissance de \(10\) est égal à l'exposant de cette puissance.

- Zéro n'a pas de logarithme

- Si \(N_{1}>N_{2}\) alors \(log{N}_{1}>log{N}_{2}\)

- Si \({N}>1\) alors \(\log{N}>0\)

Si \({N}<1\) alors \(\log{N}<0\)

4°) Partie d'un logarithme

Un logarithme est composé de deux parties :

  • Une partie entière appelée caractéristique qui peut être positive, négative ou nulle.
  • Une partie décimale, appelée matisse , toujours positive.

    • D'où l'écriture : \(log{N}=c,m\) telle que \(c\) est la caractéristique et \(m\) la mantisse.


5°) Recherche de la caractéristique

a) Nombre supérieur à 1.

La caractéristique est positive ou nulle et est égale au nombre ee chiffres avant la virgule \(-1\)

Exercices

Trouver la caractéristique de:
1) \(log{654,22=3-1=2\)

2) \(log{8,31=1-1=0\)

3) \(log{35687}=5-1=4\)

4) \(log{5}=1-1=0\)

b) Nombre inférieur à 1

La caractéristique est négative et égale au nombre de zéros précédant le premier chiffre significatif, y compris celui qui précède la virgule. Le signe \(-\) d'une caractéristique négative se place au-dessus de celle-ci.

Exercices

Trouver la caractéristique de:
1) \(log{0,00038}=\bar{4}\)

2) \(log{0,37}=\bar{1}\)

3) \(log{0,005}=\bar{3}\)



6°) Recherche de la mantisse

On la trouve en utilisant la table des logarithmes et elle ne dépend que de la partie significative du nombre.
Propriétés:
- Si deux nombres ont la même partie significative, alors leurs logarithmes ont la même mantisse.

- La mantisse du logarithme d'un nombre ne change pas si on multiplie ce nombre par une puissance de \(10\).