INTRODUCTION

Définitions

Soit \(f\) une fonction réelle de définition \(D_{f}\).

• \(f\) est paire si et seulement si : \(\forall x \in D_{f}, -x \in D_{f}\) et \(f(-x)=f(x)\)
• \(f\) est impaire si et seulement si : \(\forall x \in D_{f}, -x \in D_{f} \) et \(f(-x)=-f(x)\)

Exercices résolus

1. Examiner la parité de chacune des fonctions suivantes :
a) \(f: x\to f(x)=2x^{2}+1\)
b) \(f: x\to f(x)=\cos x\)
c) \(f: x\to f(x)=x^{3}+2x\)
d) \(f: x\to f(x)=\sin x\)

Résolution

a) \(x\in \mathbb{R}, -x\in \mathbb{R}\)
\(f(-x)=2(-x)^{2}+1\)
\(=2x^{2}+1\)
\(=f(x)\)

Donc \(f\) est paire.

b) \(x\in \mathbb{R},-x\in \mathbb{R}\)
\(=f(-x)=\cos(-x)\)
\(=\cos x\)

\(=f(x)\)

Donc \(f\) est paire.

c) \(x\in \mathbb{R},-x\in \mathbb{R}\)
\(f(-x)=-(x)^{3}+2(-x)\)
\(=-x^{3}-2x\)
\(=-(x^{3}+2x)\)
\(=-f(x)\)
Donc \(f\) est impaire.

d) \(x\in \mathbb{R},-x\in \mathbb{R}\)
\(=f(-x)=\sin(-x)\)
\(=-\sin x\)

\(=-f(x)\)

Donc \(f\) est impaire.

2. Montrer que si \(f\) est une fonction définie dans \(\mathbb{R}\) alors \(g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\) est une fonction paire et \(h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\) est une fonction impaire.

Résolution

Remarque

Il existe des fonctions qui ne sont ni paires ni impaires.

Exemple

\(f:x\to f(x)=x^{2}-x+3\)
\((x\in \mathbb{R})\Rightarrow (-x\in \mathbb{R})\)
\(f(-x)=(-x^{2})-(-x)+3\)
\(x^{2}+x+3\)

On constate que \(f(-x)\ne f(x)\) et \(f(-x)\ne -f(x)\)
La fonction \(f\) n'est ni paire ni impaire.

PERIODICITE D'UNE FONCTION

Soit \(f\) une fonction réelle de domaine de définition \(D_{f}\). On dit que \(f\) périodique sur \(D_{f}\) s'il existe un réel \(p\) positif tel que :
[\(\forall x\in D_{f}\Rightarrow f(x+p)=f(x)\)] (i)

Remarques

Une fonction \(f\) peut admettre plusieurs réels \(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots\) vérifiant l'égalité (i). Le plus petit de ces réels est noté \(T\) et est appelé période de \(f\) sur \(D_{f}\).
Tout multiple \(kT\) (\(k\in \mathbb{N^{*}}\)) de la période \(T\) vérifie l'égalité (i).
Les fonctions trigonométriques sont périodiques \(2\pi\) pour Cosinus et Sinus et \(pi\) pour Tangente et Cotangente.
En général, les fonctions :
\(f(x)=a \sin(bx+c)\) et \(f(x)=a \cos(bx+c)\) \((a,b\in \mathbb{R^{*}}et c\in \mathbb{R})\) ont pour période \(T=\frac{2\pi}{\lvert b \rvert}\)

Si \(f\) et \(g\) sont des fonctions périodiques de périodes respectives \(T_{1}\) et \(T_{2}\), alors pour tous deux réels non nuls \(a\)
et \(b\), la fonction \(h(x)=af(x)+bg(x)\) est périodique de période égale au plus petit commun multiple de \(T_{1}\) et \(T_{2}\).
L'égalité (i) permet de calculer la période (si elle existe) d'une fonction.

Exercices résolus

1. Examiner la périodicité de chacune des focntions suivantes définies par:
a) \(f(x)= \frac{1}{3}\sin 2x\)
b) \(g(x)=\frac{\sqrt{2}}{3}\tan (3x+\frac{\pi}{4})\)

Résolution

a) \(D_{f}=\mathbb{R}\) et soit \(T\) la période de \(f\). Montrons que:
\(\forall x\in \mathbb{R},(x+T)\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x+T)=f(x)\)
\(f(x+T)=\frac{1}{3}\sin[2(x+T)]\) (définition de \(g\))
\(=\frac{1}{3}\sin (2x+2T)\)
\(=\frac{1}{3}\sin 2x\) (\(2T\) est un multiple de la période \(T\))
\(=f(x)\)

b) Soit \(D_{f}=\mathbb{R}\backslash\{\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3}:k\in \mathbb{Z}\}\) et \(T\) la période de \(g\). Montrons que:
\(\forall x\in \mathbb{R},(x+T)\in \mathbb{R}\Rightarrow g(x+T)=g(x)\)

\(g(x+T)=\frac{\sqrt{2}}{3}\tan [3(x+T)+\frac{\pi}{4}]\) (définition de \(g\))
\(=\frac{\sqrt{2}}{3}\tan [(3x+\frac{\pi}{4})+3T]\)
\(=\frac{\sqrt{2}}{3}\tan (3x+\frac{\pi}{4})\) (\(3T\) est un multiple de la période \(T\))
\(=g(x)\)

AXE ET CENTRE DE SYMETRIE D'UNE FONCTION

1. Axe de symétrie

Soit \(f\) une fonction réelle et \(d\) une droite d'équation \(x=\alpha\) \(\alpha\in \mathbb{R}\).
Le graphique de \(f\) admet \(d\) comme axe de symétrie si:
\(\forall x\in D_{f}, (\alpha +x)\in D_{f}\Rightarrow [f(\alpha -x)=f(\alpha +x)]\) (j)

Remarques

Par abus de langage, on dit aussi qu'une fonction admet un axe de symétrie.
Si \(\alpha = 0\) alors l'égalité (j) devient \(f(-x)=f(x)\); la fonction est paire et admet la droite d'équation \(x=0\) (axe des ordonnées)
comme axe de symétrie.

Exemple

La fonction définie par \(f(x)=x^2-3x+2\) admet la droite d'équation \(x=\frac{3}{2}\) comme axe de symétrie.
En effet, \(D_{f}=\mathbb{R}\)
\(\forall x\in \mathbb{R}, [f(\alpha -x)=f(\alpha +x)]\)
\(\iff [(\alpha -x)^{2}-3(\alpha -x)+2=[(\alpha +x)^{2}-3(\alpha +x)+2]\)
\(\iff [(3-2\alpha)x=2\alpha-3]\)
\(\iff (4\alpha =6\)
\(\iff \alpha=\frac{3}{2}\)

2. Centre de symétrie

Soit \(f\) une fonction et \(C(a,b)\) un point du plan.
Le graphique de \(f\) admet \(C\) comme centre de symétrie si:
\(\forall x\in D_{f}, a+x \) et \(a-x\in D_{f}\Rightarrow [f(a+x)+f(a-x)]=2b\) (k)

Remarques

Par abus de langage, on dit aussi qu'une fonction admet un axe de symétrie.
Si \(a\) et \(b=0\) alors l'égalité (k) devient \(f(-x)=-f(x)\); la fonction est impaire et admet l'origine \((0,0)\) comme
centre de symétrie.

Exemple

La fonction définie par \(f(x)=x^{3}-3x+2\) admet le point \(C(0,2)\) comme centre de symétrie.
En effet, \(\forall x\in \mathbb{R}\),
[\(f(x+a)+f(x-a)=2b\)]
\(\iff [(a+x)^{3}-3(a+x)+2+(a-x)^{3}-3(a-x)+2=2b]\)
\(\iff (2a^{3}+6ax^{2}-6a+4=2b)\)
\(\iff [6ax^{2}+(2a^{3}-6a+4)=2b]\)
\(\iff (6a=0 \text{et} 2a^{3}-6a+4=2b)\)
\(\iff (a=0 \text{et} b=2)\)
D'où : \(C(0,2)\)