rudless.

GENERALITES

Soit \(f\) une fonction : \(A\to B\) de graphe \(g\). La réciproque de \(f\) est la relation \(f^{-1}\) de \(B\to A\) de graphe \(g^{-1}\).

\([y=f(x)]\iff[f^-1(x)=x]\).

La réciproque d'une fonction n'est pas nécessairement une fonction

En d'autres termes, soit \(A,B\) deux parties de \(\mathbb{R}\) et \(f:A\to B:x\to y=f(x)\) une fonction.
La réciproque de \(f\) (si elle existe) est la fonction \(f^{-1}:B\to A:y\to x=f^{-1}(y)\).

Remarques

• La réciproque d'une fonction n'est pas forcément une fonction;
• Si une fonction \(f\) est injective alors sa réciproque \(f^{-1}\) est une fonction ;
• Dans un repère orthonormé, les graphes de \(f\) et \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la première bissectrice (la droite d'équation \(y=x\)).
• Si la réciproque d'une fonction existe alors:
  1. \(D_{f^{-1}}=Im f\) et \(Im f^{-1}=D_{f}\)
  2. \(\forall x\in D_{f}:(f^{-1}o f)(x)=x=(f o f^{-1})(x)\)
  3. \(\forall y\in D_{f^{-1}}:[f^{-1}(y)=x]\iff [y=f(x)]\)

Exemple

\(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:x\to f(x)=ax+b (a\in \mathbb{R}^{*}, b\in \mathbb{R})\).
On vérifie que \(f\) est injective; elle admet donc la fonction réciproque \(f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:y\to f^{-1}(y)=x\).
En posant \(y=ax+b\), on a :
\((y=ax+b)\iff (x=\frac{y-b}{a})\) et \(f^{-1}(y)=\frac{y-b}{a}\)
Dans la pratique, on revient à la variable \(x\) et on écrit :
\(f^{-1}=\frac{x-b}{a}\) ou \(y=\frac{x-b}{a}\)
En particulier si \(y=2x+b\) alors la réciproque est définie par : \(y=\frac{x-3}{2}\)

Nota

Ne jamais confondre la réciproque et l'inverse d'une fonction \(f\). Cette dernière (inverse) est la fonction \(g\) dans \(\mathbb{R}\) telle que \((f.g)(x)=1, \forall x\in D_{f}\cap D_{g}\).
Par exemple la réciproque de la fonction définie par \(f(x)=2x+3\) est \(f^{-1}=\frac{x-3}{2}\); cependant son inverse est \(\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{2x+3}, \forall x\in \mathbb{R}\backslash\{-\frac{3}{2}\}\) C'est par un abus d'écrire que les deux concepts se notent de la même manière \(f^{-1}\).

RECHERCHE DE LA RECIPROQUE D'UNE FONCTION

Pour rechercher la réciproque d'une fonction :

1. On remplace dans l'expression de la fonction `x` par `y` et `y` par `x`.
2. On explicite `y` (par l'expression obtenue) à partir de l'équation obtenue.

Exemple

1) `f: ZZ->ZZ`

`x-> f(x)=x+2`
`y=x+2`
`x=y+2`
`-y=-x+2`
`y=x-2`
`f^-1=x-2`

2) `f:QQ->QQ`
`x-> f(x)=(2x)/3-5`
`y=(2x)/3-5`
`x=(2y)/3-5`
`3x=2y-15`
`-2y=-3x-15`
`2y=3x+15`
`y=(3x+15)/2`

3) `f:RR->RR`

`x-y=-5x+3`
`y=-5x+3`
`x=-5y+3`
`5y=-x+3`
`y=(-x+3)`
`y=(3-x)/5`

FONCTION INJECTIVE? FONCTION SURJECTIVE? FONCTION BIJECTIVE

Soit \(f\) une fonction réelle.
a) (\(f\) est injective)\(\iff [(\forall x,y\in D_{f}, x\ne y)\implies(f(x)\ne(y))]\)
\(\iff [(\forall x,y\in D_{f}, f(x)=f(y))\implies(x=y)]\)
On reconnaît le graphique d'une fonction injective dans son domaine de définition(ou une partie de son domaine de définition) par le fait
que toute droite parallèle à l'axe \(OX\) qui coupe ce graphique, le coupe en au plus un point.

Exemple et contre-exemples

• La fonction \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:x\mapsto f(x)=2x+4\) est injective.
  En effet, \(\forall x,y\in \mathbb{R}, [f(x)=f(y)]\implies (2x+4=2y+4)\)
  \(\implies (x=y)\)
• La fonction \(f\) définie par \(f(x)=x^{2}-1\) n'est pas injective dans \(\mathbb{R}\).
  Car \((-3\ne 3)\implies [f(-3)=8=f(3)]\)

b)(Surjective)\(\iff [(\forall y\in \mathbb{R}, \exists x\in D_{f}: y=f(x))]\)

On reconnaît une fonction Surjective dans son domaine de définition (ou une partie de celui-ci) par le fait que toute droite parallèle à l'axe
\(OX\) rencontre ce graphique en au moins un point.

Exemple

• La fonction \(f\) définie par \(f(x)=2x+4\) est Surjective dans \(\mathbb{R}\).
  En effet, \(\forall y\in \mathbb{R}, \exists x=(\frac{y-4}{2})\in \mathbb{R}:\)
  \(f(x)=f(\frac{y-4}{2})\)
  \(2(\frac{y-4}{2})+4\)
  \(=y\)
• La fonctin \(f\) définie par \(f(x)=x^{2}+1\) n'est pas Surjective dans \(\mathbb{R}\).
  Car pour \(f(x)=0\), il n'existe pas un réel tel que \(x^{2}+1=0\).

c) \(f\) est bijective si et seulement si elle est à la fois injective et Surjective.