rudless.

Mes sincères salutations!!!!!! Soyez la bienvenue...
Nous allons aborder la problématique de la résolution du système de deux équations du pemier degré à deux inconnues.
A la fin de ce cours; vous serez capable de résoudre n'importe quel système de deux équations à deux inconnues de A à Z.
Alors sans plus tarder, on commence

DEFINITION

Une équation du premier degré à deux inconnues \(x\ et\ y\) est une équation de la forme \(ax+by=c\) où \(a, b\ et \ c\) sont des nombres
donnés.

EXEMPLES

1. \(3x+5y=1\)
2. \(2y+4x+7=0\)
3. \(y=2x-3\)

Une équation du premier degré à deux inconnues a une infinité de solutions. La solution est un couple de valeurs(α et ß) pour
lesquelles l'égalité \(ax+by=c\) est réalisée. Pour trouver ces valeurs, on attribue à x une valeur quelconque et on trouve la valeur de y.

EXEMPLE

`2x-3y+5=0`
Pour `x=0`: 2.`0-3y+5=0`
`-3y=-5`
`y=-5/-3`
`y=5/3`
`S=(0,5/3)`
Pour `x=1`: 2.`1-3y+5=0`
`2-3y+5=0`
`-3y=-7`
`y=-7/-3`
`y=7/3`
Pour `x=2`: 2.`2-3y+5=0`
`4-3y+5=0`
`-3y=-9`
`y=-9/-3`
`y=3`
`S=(2,3)` Pour `x=88`
2.`88-3y+5=0`
`176-3y+5=0`
`-3y=-181`
y=`181/3`
\(S=(88,\frac{181}{3})\)

Un système de deux équations à deux inconnues est un regroupement de deux équations du premier degré tel que:
\( \left\{ \begin{aligned} ax+by=c & (1)\\ a'x+b'y=c' & (2)\\ \end{aligned} \right. \)

METHODES DE RESOLUTION

Résoudre le système de deux équations à deux inconnues, c'est trouver les valeurs de `x` et `y` qui vérifient à la fois les deux
équations.
Un exemple de nombre est solution d'un système s'il vérifie les deux équations de ce système.

• Cas particuliers

EXEMPLE

Résoudre le système:
`2x=10(1)`
`x-3y=2(2)`
L'équation (1) donne x=5. Portons cette valeur dans l'équation (2). Nous avons do,c substitué à x la valeur 5 dans l'équation(2). Nous avons
alors 5-3y=2 et y=1.
x=5; y=1 `4=2x+1`
`2y+2x=4`
`-2x=-4+1`
`-2x=-3`
`x=-3/-2`
`x=3/2`
`2y+2.3/2=4`
`2y+3=4`
`2y=1`
`y=1/2`
`S={3/2; 1/2}`
• Méthode de substitution ou de remplacement

Résoudre par substitution le système:
\( \left\{ \begin{aligned} 3x+y=1\\ 2x+3y=-4\\ \end{aligned} \right. \)

Procédure

• On exprime l'une des inconnues en fonction de l'autre.
  Dans ce système, on isole y, par exemple. partant de la première équation `y=1-3x`
• On substitue 1-3x dans la deuxième équation, puis on résout l'équation obtenue qui n'a plus qu'une inconnue.
`2x+3y=-4` devient `2x+3(1-3x)=4`
Ce qui donne: `2x+3-9x=-4`
`-7x=-4-3`
`-7x=-7`
`x=7/7`
`x=1`

• On détermine la valeur de l'autre inconnue.
  `y=1-3x => y=1-3.1`
  `y=-2`
  On peut alors affirmer si un couple est solution du système; c'est le couple `(x;y)=(1;-2)`
• On vérifie si le couple trouvé est bien une solution du système, puis on conclut.
  si `(x;y)=(1;-2)`, alors 3x+y=3.1+(-2)=3-2=1
  et `2x+3y=2.1+3.(-2)=2-6=-4`
  Puisque ces valeurs vérifient le système, on peut alors affirmer que le couple `(1;-2)`
  est la seule solution de ce système.

REMARQUES

Nota 1)Cette méthode est recommandée lorqu'on peut isoler facilement une des inconnues dans une des équations; cest-à-dire lorsque le coefficient
d'une des inconnues est 1 ou -1

2) Elle peut être néanmoins utilisée dans les autres cas; il faut alors faire intervenir des fractions.

Méthode de combinaison

soit le système:
\( \left\{ \begin{aligned} 4x+3y=2 & (1)\\ 6x+7y=13 & (2)`\ \end{aligned} \right. \)

Pour résoudre ce système par la méthode combinaison, on procède comme suit:

• On récupère les coefficients d'une de deux inconnues; par exemple ceux de x et on détermine un de leur multiple commun non nul. Les
  coefficients de x dans (1) et (2) sont respectivement 4 et 6. On cherche u multiple commun à 4 et 6. Nous choisissons 12.
• On multiplie chaque membre de l'équation (1) par 3 et chaque membre de l'équation (2) par 2. On obtient me système:
  \( \left\{ \begin{aligned} 12x+9y=6\\ 12x+14y=26`\ \end{aligned} \right. \)
• On soustrait mes égalités membres à membres et on résout l'équation obtenue.
  `12x+9y=6`
  `12x+14y=26`
  
  `(12x+9y)-(12x+14y)=6-26`
  12x+9y-12x-14y=-20
  `9y-14y=-20`
  `-5y=-20`
  `y=-20/-5`
  `y=4`
  
• On détermine la valeur de l'autre inconnue.
  
  Si `y=4`, alors `4x+3y=2` devient:
  `4x+3.4=2`
  `4x+12=2`
  `4x=-10`
  `x=-10/4`
  `x=-5/2`
• On vérifie si le couple trouvé est solution du système de départ, puis on conclut.
  Si `(x;y)=(-5/2;4)`, alors
  `4x+3y=4.(-5/2)+3.4`
  `=-20/2+12`
  `=-10+12`
  =2
  et `6x+7y=6.(-5/2)+7.4`
  `=-30/2+28`
  `=-15+28`
  =13
  En conclusion, ce système possède une unique solution : \((\frac{-5}{2};4)\).

REMARQUES

• Dans la substitution et dans la combinaison, le principe est d'éliminer une de deux inconnues pour se trouver dans un contexte
  à une seule inconnue.
• Pour la méthode de combinaison, on peut aussi rendre opposés les coefficients d'une des inconnues puis ajouter membte à membre à la
  troisième étape.

Méthode de comparaison

Règles de résolution

1. On résout chaque équation par rapport à la même inconnue, pat exemple `x`; 2. On égale les deux valeurs obtenues pour `x`; on obtient ainsi une équation en y que l'on résout, d'où la valeur de `y`; 3. On remplace `y` par la valeur obtenue dans une des expressions de `x`, d'où la valeur de `x`.

Exemple

Soit le système :
\( \left\{ \begin{aligned} x+2y=1 & (1)\\ x-y=7 & (2)`\ \end{aligned} \right. \)

*On peut écrire :

`x=1-2y`(1)
`x=7+y(2)`

**Egalons les valeurs de `x`
`1-2y=7+y`
`-2y-y=7-1`
`-3y=6`
`y=6/-3`=`-2`
***En vertu du principe d'équivalence, le système donné est équivalent à :
\(x=7+y\)
\(y=-2\)
D'où \(x=7-2\)
\(x=5\)
La solution du système est \(x=5\); \(y=-2\)
\(S=\{5;-2\}\)

Méthode de Cramer

Soit à résoudre le système :
\( \left\{ \begin{aligned} ax+by=c & (1)\\ dx+ey=f & (2)\\ \end{aligned} \right. \)

On calcule :

1.Le déterminant principal:
\( D=\begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix}\)\(=ae-db\)
2.Le déterminant secondaire associé à \(x\):
\( Dx=\begin{vmatrix} c & b \\ f & e \end{vmatrix}\)\(=ce-fb\)
3.Le déterminant secondaire associé à \(y\):
\( Dy=\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix}\)\(=af-dc\)
Alors \(x=\frac{Dx}{D}\) et \(y=\frac{Dy}{D}\)

REMARQUE

\(\blacklozenge\) Si \(D=0, Dx=0, Dy=0,\) le système est dit indéterminé et \(\mathbb{R}\).
\(\blacklozenge\) Si \(D\ne 0\), le système admet la solution unique qui sera \((0,0)\)
\(\blacklozenge\) Si \(D=0, Dx\ne 0, Dy\ne 0\), le système est dit impossible et la solution sera \(S=\varnothing\)

EXEMPLE

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) le système suivant par la méthode de Cramer : \( \left\{ \begin{array}{r c l} 3x+2y &=& 19(1)\\ 5x-8y &=& 9(2) \end{array} \right. \) 1.Le déterminant principal:
\( D=\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & -8\end{vmatrix}\)\(=3.-8-2.5=-24-10=-34\)

2.Le déterminant secondaire associé à \(x\):
\( Dx=\begin{vmatrix} 19 & 2 \\ 9 & -8 \end{vmatrix}\)\(=-152-18=-170\)

3.Le déterminant secondaire associé à \(y\):
\( Dy=\begin{vmatrix} 3 & 19 \\ 5 & 9 \end{vmatrix}\)\(=27-95=-68\)

`x=(Dx)/D`=-`170/-34`=5
et `y=(Dy)/D`=\(\frac{-68}{-34}=2\)
\(S=\{2,5\}\)