Echelonnement
L'échelonnement d'une matrice
L'échelonnement d'une matrice est une technique utilisée en algèbre linéaire pour simplifier et analyser les systèmes d'équations linéaires. L'échelonnement permet de représenter une matrice sous une forme dite "échelonnée", où les coefficients non nuls forment une structure en escalier.
Ce cours vous guidera à travers les étapes de l'échelonnement d'une matrice en utilisant la méthode d'élimination de Gauss et vous présentera des exemples résolus pour mieux comprendre les concepts.
L'échelonnement d'une matrice est une technique fondamentale en algèbre linéaire pour résoudre efficacement les systèmes d'équations linéaires.
En maîtrisant la méthode d'élimination de Gauss, vous serez en mesure de transformer une matrice en une forme échelonnée, facilitant ainsi l'analyse et la résolution des problèmes linéaires. N'oubliez pas de pratiquer les exemples résolus pour renforcer votre compréhension de cette méthode.
I. Méthode d'échelonnement de Gauss
Introduction à la méthode d'élimination de Gauss
- Mise en forme de la matrice
- Échelonnement de la matrice
- Réduction des pivots
- Obtention de la forme échelonnée
II. Exercices résolus
Exemple \(1\)
Soit la matrice suivante : \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ \end{pmatrix} \)
Étape 1 : Mise en forme de la matrice
La matrice est déjà bien formée.
Étape 2 : Échelonnement de la matrice
Nous pouvons choisir \(1\) comme pivot et diviser la première ligne par \(1\) :
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
\end{pmatrix}
\)
Maintenant, nous souhaitons annuler le coefficient \(4\) dans la deuxième ligne. Pour cela, nous multiplions la première ligne par \(-4\) et l'ajoutons à la deuxième ligne : \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6\\ \end{pmatrix} \)
Étape 3 : Réduction des pivots
Nous divisons la deuxième ligne par \(-3\) pour obtenir un pivot de valeur \(1\) :
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2\\
\end{pmatrix}
\)
Étape 4 : Obtention de la forme échelonnée
La matrice est maintenant échelonnée :
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2\\
\end{pmatrix}
\)
Exemple \(2\)
Soit la matrice suivante : \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\ 1 & 3 & 5\\ \end{pmatrix} \)
Étape 1 : Mise en forme de la matrice
La matrice est déjà bien formée.
Étape 2 : Échelonnement de la matrice
Nous pouvons choisir \(2\) comme pivot et diviser la première ligne par \(2\) :
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 5\\
\end{pmatrix}
\)
Maintenant, nous souhaitons annuler le coefficient \(1\) dans la deuxième ligne. Pour cela, nous multiplions la première ligne par \(-1\) et l'ajoutons à la deuxième ligne : \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ \end{pmatrix} \)
Étape 3 : Réduction des pivots
Nous n'avons pas besoin de réduire davantage les pivots car les coefficients non nuls de la deuxième ligne sont déjà \(1\).
Étape 4 : Obtention de la forme échelonnée
La matrice est maintenant échelonnée :
\(
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
0 & 1 & 2\\
\end{pmatrix}
\)
Exemple \(3\)
Soit la matrice suivante : \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2\\ 3 & 3 & 3\\ \end{pmatrix} \)
Étape 1 : Mise en forme de la matrice
La matrice est déjà bien formée.
Étape 2 : Échelonnement de la matrice
Nous pouvons choisir \(1\) comme pivot et diviser la première ligne par \(1\) :
\(
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
2 & 2 & 2\\
3 & 3 & 3\\
\end{pmatrix}
\)
Maintenant, nous souhaitons annuler le coefficient \(2\) dans la deuxième ligne. Pour cela, nous multiplions la première ligne par \(-2\) et l'ajoutons à la deuxième ligne. De plus, nous multiplions la première ligne par \(-3\) et l'ajoutons à la troisième ligne : \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} \)
Étape 3 : Réduction des pivots
La deuxième et la troisième ligne ne contiennent que des zéros, donc il n'y a pas de pivot à réduire.
Étape 4 : Obtention de la forme échelonnée
La matrice est maintenant échelonnée :
\(
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
\end{pmatrix}
\)