EXPRESSION LITTERALE
EXPRESSION LITTERALE
\(1.\) DEFINITION
Une expression littérale est l'indication d'une suite d'opération à effectuer sur des nombres et des lettres.
Une expression littérale ou algébrique est une expression dans laquelle figure une ou plusieurs lettres représentant des nombres.
\(3b+2a\) est une expression algébrique en \(a\) et en \(b\).On écrit par Exemple : \(E(a,b)=3a+2b\)
La valeur numérique d'une expression littérale est le nombre obtenue en remplacant les lettres qui y figurent par des nombre particuliers et un effectuant des opération indiquées
Exemple
Pour \(a=2\) et \(b=5\)
\(E(a,b)=2a^2-b^2+7\)
\(=2.2^2-5^2+7\)
\(=8-25+7\)
\(=10\)
\(2.\) CACUL D'UNE VALEUR NUMERIQUE
si l'expression renferme des parenthèses dans lequelles il y'a des parenthèses ou des crochets,accolades... on commence par effectuer des calculs dans les parenthèses les plus intérieures
Exemple
Pour \(a=2; \ b=-1; \quad c=4\),
\(b+{a[a-(b+c)]}^2+(a-c)^2= -1+{2[2-(-1+4)]}^2+(2-4)^2= -1+{2[2-(3)]}^2+(-2)^2\)
\(= -1+{2[2-3]}^2+4\)
\(-1+{2[-1]}^2+4= -1+{-2}^2+4\)
\(-1+{-2}^2+4\)
\(-1+4+4\)
\(-1+8=7\)
\(3.\) LES MONOMES
a) DEFINITION
Un monôme est un produit dont les facteurs sont des lettres et des nombres relatifs.
Exemple
- \(a\times (-3)\times b\times c\times z\times t\times 4\)
- \(-4\times b a^2 z^{20}\)
- \(-3\times c^2\times a^2\)
Dans un monôme le nombre est appelé partie numérique ou coefficient ou monôme. La lettre ou le produit des lettres d'un monôme est appelée partie littérale
Degré d'un monôme
1° Le degré d'un monôme par rapport à une lettre est l'exposant de cette lettre dans le monôme.
Exemple
\(-6 a^2bc^4\)
- Le monôme est de degré \(2\) ou de \(2^{\grave{e}me}\) degré par rapport à \(a\)
- Le monôme est du degré \(1\) ou du \(1^{er}\) degré par rapport à \(b\)
- Il est du degré \(4\) ou du \(4^{\grave{e}me}\) degré par rapport à \(c\)
2° Le degré d'un monôme par rapport à plusieurs lettres est la sommme des exposants de ces lettres dans le monôme.
Exemple
\(-6a^2bc^4\)
Ce monôme est de degré \(7\) ou de \(7^{\grave{e}me}\)degré par rapport à \(a, b \ et \ c\)
3° Le degré d'un monôme constant est \(0\) si le monôme est non nul; il est non défini si le monôme est nul.
Exemple
\(4\) est du degré \(0\)
\(0\) est de degré non défini
\(0=0x^0=0x^1=0x^2=0x^3\ldots 0x^n\)
c) MONOMES SEMBLABLES
Plusieurs monômes sont dist semblables losrqu'ils ont la même partie littérale
Exemple
\(1. \ 3a; 4a \ et \ \frac{7}{8}a\) sont des monômes semblables
\(2. \ 41ac^2d^4 \ et \ ac^2d^4\) sont semblables.
Mais \(13ab^7 \ e \ 13ab\) ne sont pas semblables car \(ab^7\ne ab\); \(-16x^7 \ et \ 16x\) ne sont pas semblables car \(x^7\ne x\)
d) REGLES POUR ADDITIONNER LES MONOMES SEMBLABLES
En vertu de la règle de la multiplication d'une somme algébrique que nous pouvons écrire : \(3a-2a+4a=a(3-2+4)\).
D'où \(3a-2A+4a=5a\)?
On dira alors que le facteur commun \(a\) aux trois monômes a été mis en évidence.
De même \(4a^2bc^2+3a^2bc^2-a^2c^2=a^2bc^2(4+3-1)=6a^2bc^2\)
Pour additionner les monômes semblables, on conserve la partie littérale et on additionne les coefficients.
REMARQUE
1° La partie en numérique se place toujours devant la partie littérale dans un monôme.
2° Tout rationnel est un monôme constant car sa valeur numérique ne change pas.
Exemple
\(3\) est un monôme constant car\(3=3x^0=3(t.z)^0= 3(t^{20}.z^4.x^6)^0\)
\(4. \) LES POLYNOMES
\(1.\) DEFINITION
Un polynôme est une somme algébrique dont les termes sont des monômes.
Exemple
\(4a^2b-3ab+9a^2+2b+2ab\) est polynôme.
Les monômes sont \(4a^2b; -3ab;9a^2; 2b \ et \ 2ab\)
\(2.\) ECRITURE REDUITE D'UN POLYNOME
L'écriture réduite d'un polynôme est l'expression dans laquelle tous les termes du polynôme sont des degré différent. Elle est obtenue en effectuant
les opérations sur les monômes semblables ou de même degré.
Exemple
Ecriture réduite de :
- \(11+4-x^3+x+2x+b+2b+2x^3\) est \(15+x^3+3x+3b\)
- \(5x^3-11x+\frac{1}{2}x^2+4x^3+8x^2+10-4\) est \(5x^3-4x^3+\frac{1}{2}x^2+8x^2-11x+10-4 = x^3+\frac{17}{2}x^2-11X+6\)
\(3.\) DEGRE D'UN POLYNOME
On appelle degré d'un polynôme non nul, le degré de son terme de degré plus élévé dans son écriture réduite.
Exemple
\(K=x^5-2x^2+14\) est du \(5^{\grave{e}}me\)degré ou de degré \(5\).
\(J=0\)est de degré non défini.
\(M=107\) est de degré \(0\)
ECRITURE REDUITE ORDONNEE D'UN POLYNOME
Un polynôme est mis sous son écriture ordonnée réduite lorsque les termes de son écriture réduite sont rangés suivant les degrés croissants ou décroissants.
Exemple
\(4x^5+4x+x^3+2x^3+x^4-1\)
\(4x^5+4x+3x^3+x^4-1\)
\(4x^5+x^4+3x^3+0x^2+4x-1x^0\) grandeur décroissante
\(-1+4x+0x^2+3x^3+x^4+4x^5\)grandeur croissante
REMARQUEs
-
Un polynôme est incomplet quand il manque certains termes de degré inférieur à celui du polynôme.
Exemple
\(4x^4+2x+2\) est incomplet. Il peut être complété de la manière suivante : \(4x^4+0x^3+0x^2+2x+2\)
- Un polynôme réduit à :
- un terme estv appelé monôme
- deux termes est appelé binôme
- trois termes est appelé trinôme
- quatre termes est appelé quatrinôme
\(5.\) EGALITE DES POLYNOMES
Deux polynômes sont égaux ssi, dans leur écriture réduite, tous les coefficients des termes de même degré sont égaux.
Exemple
\(G=4x^3+16x^2+11\)
\(F=4x^3+16x^2+11\)
\(6.\) POLYNOMES HOMOGENES
Un polynôme est homogène par rapport aux lettres \(x,y,z,\ldots\) si tous ses termes sont du même degré par rapport à ces lettres.
Exemple
\(x^3y-5x^2y^2-4y^4\) est un polynôme homogène de degré \(4\) en \(x\) et \(y\) car tous ses termes sont du même degré ra rapport à ces deux lettres.
\(7.\) OPERATIONS SUR LES POLYNOMES
\(A.\)ADDITION ET SOUSTRACTION
Ici, on supprime les parenthèses et on réduit les termes semblables.
Exemple
-
\((2x^3-3x^2+5)-(x^2+5-1)+(3x^2-2x+3)\)
\(=2x^3-3x^2+5-x^2+5-1+3x^2-2x+3\)
\(=2x^3-x^2-2x+4\) -
\(F=-2x^3+x^2-4\) et \(G=2x^3+5x^2-x+1\)
Déterminons \(F+G\)
\( \begin{array}{c c c c l r} -2x^3+x^2+0x-4\\ \quad 2x^3+5x^2-x+1\\ \hline \quad \quad \quad \quad 6x^2-x-3\\ \end{array}\)
\(B.\) MULTIPLICATION
Pour multiplier un polynôme par un autre, on multiplie chaque terme du second avec chaque terme du premier polynôme et on réduit les termes semblables.
Exemple
-
\((x^2-3x+5)(2x-3)\)
\(=2x^3-3x^2-6x^2+9x+10x-15\)
\(=2x^3-9x^2+19x-15\) -
\(F=x^4+2x^2+6x-3\) et \(G=-4x+2\)
\(F\times G=?\)
\( \begin{array}{c c c c l r} x^4+0x^3+2x^2+6x-3\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad -4x+2\\ \hline -4x^5-0x^4-8x^3-24x^2+12x\\ \quad \quad \quad \quad +2x^4+0x^3+4x^2+12x-6\\ \hline \quad -4x^5+24x^4-0x^3-20x^2+24x-6\ \end{array}\)
Disposition pratique
\( \begin{array}{c c c c l r} x^2-3x+5\\ \quad \quad 2x-3\\ \hline 2x^3-6x^2+10x\\ \quad \quad \quad -3x^2+9x-15\\ \hline \quad 2x^3-9x^2+19x-15\\ \end{array}\)
\(C.\) DIVISION D'UN POLYNOME PAR UN POLYNOME
Soit \(f(x)\) et \(g(x)\) deux polynômes.
La division de \(f(x)\) et \(g(x)\) donne un polynôme noté \(q(x)\) appelé quotient de la division et un polynôme noté \(R(x)\) appelé reste de la division, tel que
\(f(x)=[g(x)\times q(x)]+R(x)\)
REGLES
- On ordonne le dividende et le diviseur d'après les puissances croissantes d'une même lettre
- On divise le premier terme du dividende par le premier terme du diviseur et on obtient le premier terme du quotient
- On multiplie le diviseur par le premier terme du quotient et on retranche le résultat du dividende; on obtient ainsi le premier reste partiel
- On multiplie le diviseur par le deuxième terme du quotient et on retranchele résultat du premier reste partiel; on obtient ainsi le deuxième terme partiel. Et ainsi de suite
Exemple
\(1.\) \(4x^4-6x^3+8x^2-5x+6 : 2x^2+1\)
\(
\begin{array}{c|c l r}
4x^4-6x^3+8x^2-5x+6 & 2x^2+1\\
\hline
4x^4 \quad -2x^2 & 2x^2-3x-3\\
\hline
-6x^3+6x^2-5x+6\\
+6x^3 \quad +3x\\
\hline
6x^2-2x+6\\
-6x^2 \quad -3\\
\hline-2x+3\\
\end{array}\)
- On arrête l'opération car le degré \(-2x+3\) est inférieur à celui de \(2x^2+1\)
- La division donne comme quotient \(2x^2-3x+3\) et comme reste \(2x+3\)
Division d'un polynôme en \(x\) par \(x-a\) \((a\in \mathbb{R})\)
Le reste de la division d'un polynôme en \(x\) par \(x-a\) est la valeur numérique de ce polynôme pour \(x=a\)
Exemple
\(x^4-3x^2+7x+15 : x+2=0\) \(x+2=0\iff x=-2\)
\(=(-2)^4-3(-2)^2+7(-2)+15\)
\(16-12-14+15\)
\(31-26=5\)
REGLE DE HORNERE
Elle permet de déterminer le quotient et le reste de la division de \(f(x)\) par \(x-a\)
En reprenant l'exemple précédent :
\(
\begin{array}{c| c c c c| c}
& 1 & 0 & -3 & 7 & 15\\
-2 & & -2 & 4 & -2 & -10\\
\hline
x & 1 & -2 & 1 & 5 & 5\\
\end{array}\)
\(x^3 -2x^2-x+5\)
\(3x+2=0\iff 3x=0-2\iff 3x=-2\iff x=-\frac{2}{3}\)
\(3x^3+4x^2+x-2 : 3x+2\)
\(3x=-2\iff x=-\frac{2}{3}\)
Règle de Hornère
\(
\begin{array}{c| c c c| c}
& 3 & 4 & 1 & -2\\
-\frac{2}{3}& & -2 & -\frac{4}{3} & \frac{2}{9}\\
\hline
& 3 & 2 & _\frac{1}{3} & -\frac{16}{9}\\
\end{array}\)
\(3x^2+2x-\frac{1}{3}\)
\(3(-\frac{2}{3})^3+4(-\frac{2}{3})-\frac{2}{3}-2\)
\(3.(-\frac{8}{9})+4(\frac{4}{9})-\frac{2}{3}-2\)
\(=-\frac{24}{27}+\frac{16}{9}-\frac{2}{3}-2\)
\(=-\frac{24+48-18}{27}\)
\(=-\frac{42+48}{27}\)
\(=\frac{6}{27}\)
\(=\frac{3}{9}\)