\(0\) A LA PUISSANCE \(0\)
\(0^0=?\)
La question de savoir ce que donne zéro à la puissance zéro est délicate et suscite souvent des débats parmi les mathématiciens. La valeur de zéro à la puissance zéro n'est pas clairement définie dans les mathématiques standard.
Dans certains contextes mathématiques, on peut rencontrer des situations où l'expression \(0^0\) est indéterminée.
Par exemple, lorsque l'on étudie les limites en analyse mathématique, certaines limites peuvent prendre la forme de \(0^0\)
et leur valeur dépend du contexte spécifique.
Cependant, dans d'autres contextes mathématiques, on peut donner une valeur à zéro à la puissance zéro pour des raisons pratiques ou de convenance. Dans certains domaines des mathématiques discrètes et de la théorie des ensembles, il est courant de définir \(0^0\) comme égal à \(1\). Cela peut être utile pour établir des relations et des formules cohérentes.
En résumé, la valeur de zéro à la puissance zéro est ambiguë et dépend du contexte mathématique dans lequel vous vous trouvez. Dans les mathématiques standard, elle est généralement indéterminée, mais dans certains domaines spécifiques, elle peut être définie comme égale à \(1\).
De toutes les façons nous accepterons pas naïvement les choses. Nous allons essayer de décortiquer tout cela pour trouver la vérité. Sans Plus tarder, allons-y...
Ons sait que \(\forall x\in \mathbb{R^{*}}, \ x^{m}\times x^{n}=x^{m+n}\)
\(\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}\)
Par conséquent, \(\frac{x}{x}=x^{1-1}=x^0=1\)
D'où, la fameuse théorie qui dit que tout nombre à la puissance \(0=1\).
Cependant, cette condition est vraie que lorsque \(x\) n'est pas nulle. Cest-à-dire
\(\forall x\in \mathbb{R^{*}}, \quad x^0=1\)
Pourquoi \(x\) doit être non nulle?
Considérons la formule \(\frac{x}{x}=x^{1-1=x^0}\)
En remplançant \(x\) par \(0\), on : \(\frac{0}{0}=0^{0}\)
En quelque sorte oui. Or il est vraiment bête d'effectuer la divison \(\frac{0}{0}\) qui
est une forme d'indetermination, chose certaine.
D'où la forme \(0^0\) n'est pas définie.
PREUVE
Supposons que \(0^0\) soit définie par : \(y=x^x\).
Traçons un tableau où nous allons faire varier les valeurs de \(x\) en fonction de \(y\).
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
x & y=x^x\\
\hline
1 & 1\\
\hline
0,9 & 0,9095\\
\hline
0,8 & 0,8365\\
\hline
0,7 & 0,77905\\
\hline
0,6 & 0,73602\\
\hline
0,5 & 0,707106\\
\hline
0,4 & 0,69314\\
\hline
0,3 & 0,6968\\
\hline
0,2 & 0,7247\\
\hline
0,1 & 0,7943\\
\hline
0,01 & 0,9549\\
\hline
0,001 & 0,9931\\
\hline
0,0001 & 0,9990\\
\hline
\downarrow & \downarrow\\
0 & 1\\
\hline
\end{array}
\)
A travers ce tableau qui dit tout nous remarquons que de \(1\to 0,4\) nous avons une portion décroissante car dans la partie \(y=x^x\), nous
partons de \(1 \to 0,69314\).
Et de \(0,3 \to 0,0001\) nous sommes en face d'une portion croissante car nous partons de \(0,6968 \to 0,9990\).
On dirait alors que la fonction \(f(x):x^x\) atteint son minimum au point \(0,4; 0,69314\)
Cela signifie qu'en prenant des valeurs les plus proches de \(0\) et en établissant une relation entre les \(x\) et \(y\), nous voyons que
nos \(x\) ont tendance à s'éloigner de \(0\) tandis que nos \(y\) s'approchent de plus en plus de \(1\). Ce qui fait que \(x^x\) ne puisse pas donner une
valeur exacte et soit alors une indetermination car cette puissance donne deux valeurs \(0 \ et \ 1\), ce qui est absurde.
Par conséquent, \(\underset{x \to 0^{+}}{lim}f(x)=1\) cest-à-dire \(\underset{x \to 0^{+}}{lim}x^x=1\). Sur son graphique même, la fonction
\(f(x)\) atteint et traverse son minimum au point \(0,368\) en allant dépasser de plus près \(0,692\) pour enfin se limiter à \(1\).
Voici une illustration
Merci de m'avoir suivi jusqu'à la fin de cette partie. Si vous avez des suggestions ou un point de vue différent du mien, je vous invite à venir
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