EQUATION DU QUATRIEME DEGRE
DEFINITION
Les équations du quatrième degré sont des équations polynomiales ayant une variable élevée à la quatrième puissance. L'étude des équations du quatrième degré a également contribué à la découverte de nouveaux concepts en algèbre, tels que les groupes et les corps. Les équations du quatrième degré sont donc un sujet important en mathématiques qui permet de mieux comprendre les propriétés et les applications des polynômes.
Les équations du quatrième degré sont des équations polynomiales qui ont la forme générale suivante :
\(ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\), où \(a, b, c, d\ et\ e\) sont des constantes réelles ou complexes et \(x\) est l'inconnue.
METHODE DE RESOLUTION
Les formules pour résoudre ces équations ne sont pas aussi simples que pour les équations du premier, du deuxième ou même du troisième degré. Pour résoudre une équation du quatrième degré, il faut généralement utiliser des méthodes telles que la méthode de Ferrari ou la méthode de Descartes-Éuler.
Les méthodes les plus courantes pour résoudre ces équations sont la méthode de Ferrari et la méthode de Lagrange.
Méthode de Ferrari
La méthode de Ferrari consiste en plusieurs étapes, qui sont les suivantes :
- Diviser l'équation par a pour obtenir une équation du quatrième degré sous la forme :
\(x^4+px^3+qx^2+rx+s=0\), où \(p=\frac{b}{a}, q=\frac{c}{a}, r=\frac{d}{a} \ et \ s=\frac{e}{a}\). - Calculer la quantité auxiliaire :
\(\Delta = p^2-3q\) -
Calculer les quantités auxiliaires :
\(u = \frac{(-2\Delta ^3+r^2\Delta-q^3)}{27}\)
\(v = \frac{(\Delta ^2-(\frac{4}{3})q)^2}{16}\) -
Si \(v > 0\), alors l'équation a deux racines réelles distinctes et deux racines complexes conjuguées, et les racines sont données par
les formules suivantes :
\(x_1 = \frac{-r}{4} + [\sqrt[3]{(\frac{\Delta}{2} + \sqrt{v})} + \sqrt[3]{(\frac{\Delta}{2} - \sqrt{v})}]\)
\(x_2 = \frac{-r}{4} - [\sqrt[3]{(\frac{\Delta}{2} + \sqrt{v})} + \sqrt[3]{(\frac{\Delta}{2} - \sqrt{v})}]\)
\(x_3 = \frac{-r}{4} + i[\sqrt[3]{(\sqrt{v} - \frac{\Delta}{2})} - \sqrt[3]{(\frac{\Delta}{2} - \sqrt{v})}]\)
\(x_4 = \frac{-r}{4} - i[\sqrt[3]{(\sqrt{v} - \frac{\Delta}{2})} - \sqrt[3]{(\frac{\Delta}{2} - \sqrt{v})}]\)
-
Si \(v \leq 0\), alors l'équation a quatre racines réelles, et les racines sont données par les formules suivantes :
\(x = \frac{-p}{4} \pm \sqrt{[\sqrt{(\frac{\Delta}{2} - \sqrt{v})} \pm \sqrt{u + \sqrt{(v-\frac{\Delta ^2}{4})}}]}\)
\(x = \frac{-p}{4} \pm \sqrt{[\sqrt{(\frac{\Delta}{2} - \sqrt{v})} \pm \sqrt{u - \sqrt{(v-\frac{\Delta ^2}{4})}}]}\)
Méthode de Lagrange
La méthode de Lagrange est une méthode plus compliquée que la méthode de Ferrari, mais elle peut également être
utilisée pour résoudre les équations du quatrième degré.
Elle est basée sur la résolution de deux équations cubiques, qui sont calculées à partir des coefficients de l'équation initiale.
Exemple :
Résoudre l'équation : \(x^4-2x^3+3x^2+4x-10\)
En posant \(x = X + \frac{1}{2}\), on se ramène à \(x^4+\frac{3X^2}{2}+6X-\frac{119}{16}=0\)
On a donc ici A = 3/2, B = 6 et C = -119/16. L'équation résolvante est
alors :
\(u^3-Au^2-4Cu+4AC-B^2=0\).
Soit : \( 8u^3-12u^2+238u-645 = 0 \)
Selon la méthode de Cardan, on divise par 8, on pose \(u = t + \frac{1}{2}\), ce qui nous ramène à :
\(t^3+ 29t - 66 = 0.\)
On remarque, sans utiliser la formule de
Cardan
que \(t = 2\) est une solution évidente. Par suite u = 5/2 annule
notre discriminant et nous avons \(u - A = 1\), d'où \(z = 3\). Remplaçons \(u\ et\ z\)
par leurs valeurs dans l'équation bicarrée exhibée \( (X^2+\frac{u}{2})^2=(u-A)(X-z)^2 \)
:
elle devient :
\((X^2+\frac{5}{4})^2=(X-3)^2 \)
D'où deux équations du second degré \(X^2- X + \frac{17}{4} = 0\) (sans solutions) et \(X^2 + X - 7/4 = 0\) fournissant :
\(x=\frac{-1}{2}\pm \sqrt{2}\)
Or \(x = X + \frac{1}{2}\) : deux solutions de
l'équation sont donc \(x = \sqrt{2}\) et \(x = -\sqrt{2}\)
et l'équation est
alors divisible par \( x^2-2 \). On obtient :
\( (x^2-x+1)(x^2-2) \)
Le premier facteur est du second degré, son discriminant est négatif. (e) ne possède que les deux solutions \(x = \pm \sqrt{2}\)
L'équation initiale a donc été résolue algébriquement. Cela est satisfaisant pour l'esprit. Mais sur le plan pratique, une bonne résolution par la méthode des tangentes de Newton, en ayant préalablement séparé les racines, est plus rapide et sans doute aussi efficace...