RADICAUX D'INDICE DEUX
RADICAUX D'INDICE DEUX
DEFINITION
Soit \(a\) un réel strictement positif, c'est-à-dire \(a\in \mathbb{R}^{+}\), on appelle racine carrée arythétique de \(a\), le réel \(x\) dont le carré est égal
à \(a\).
On note : \(\sqrt{a}\). Et se lit racine carrée de \(a\) ou racine de \(a\).
\(\sqrt{a}\) est radical où \(\sqrt{}\) est le signe radical est \(a\) est le radicand.
Par définition, \(\sqrt{a}= x\iff x^2=a\)
Exemple
\(\sqrt{100}=10\) car \(10^{2}=100\)
\(\sqrt{144}=12\) car \(12^{2}=144\)
Conséquences
- \(\sqrt{a}\in\mathbb{R}_{0}^{+}, \quad \sqrt{a}>0 \quad et \quad (\sqrt{a})^2>0\)
- Pour tout réel \(a\) strictement positif, il existe \(2\) réels opposés dont le carré vaut \(a\). Il s'agit de : \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\)
- Le nombre réel \(0\) n'a qu'une seule racine carrée qui est \(0\)
- Les nombres réels négatifs n'ont pas de racines carrées dans \(\mathbb{R}\)
- \(\forall a\in \mathbb{R}, \sqrt{a^2}=\lvert a \rvert\), c'est-à-dire la valeur absolue de \(a\).
Exemple
Les deux réels dont le carré vaut \(4\) sont \(2 \quad -2\)
On peut écrire \(\sqrt{4}=\pm 2\)
\(\sqrt{0}=0\)
\(\sqrt{a^2}=\lvert a \rvert=\left\{ \begin{array}{r c l} a & si & a\geq 0\\ -a & si & a\leq 0 \end{array} \right. \)
PROPRIETES
\(P1\) : La racine carrée d'un produit de deux réels positifs est égale au produit des racines carrées de ces nombres
\(\forall a,b\in\mathbb{R}^{+}, \quad \sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}\)
Exemple
\(\sqrt{4\times 9}=\sqrt{4}\times\sqrt{9}=2\times 3=6\)
N.B : On ne peut écrire \(\sqrt{-4\times -9}=\sqrt{-4}\times\sqrt{-9}\) car la condition " être des nombres positifs " n'est pas remplie.
\(P2\) : La racine carrée d'un quotient qui est de deux réels positifs est égale au quotient de ces réels.
\(\forall a\in\mathbb{R}^{+}, \quad \forall b\in\mathbb{R}_{0}^{+}, \quad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
Exemple
- \(\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}\)
-
\(\sqrt{\frac{1}{b}}=\frac{1}{\sqrt{b}}\)
\(\sqrt{\frac{1}{125b^4}}=\frac{1}{\sqrt{125}.\sqrt{b^4}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{25.5}.\sqrt{b^4}}=\frac{1}{5.b^2.\sqrt{5}}\)
\(P3\) : Si deux nombres sont ordonnés, leurs racines carrées sont ordonnées dans le même ordre et réciproquement.
\(a\leq b\iff \sqrt{a}\leq\sqrt{b}\)
Exemple
\(4\leq 16\iff \sqrt{4}\leq\sqrt{16}\iff 2\leq 4\)
\(\blacklozenge \quad \forall a,b\in \mathbb{R}_{0}^{+} : \quad \sqrt{a+b} \ne \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Exemple
\(
\left.
\begin{array}{r c l}
\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\
\sqrt{9}+\sqrt{9}=3+4=7
\end{array}
\right\}
\implies \sqrt{9+16}\ne \sqrt{9}+\sqrt{16}\)
QUELQUES APPLICATIONS
- \(\sqrt{a^n}=(\sqrt{a})^n\)
- \(\sqrt{a^n}= \left\{ \begin{array}{r c l} a^{\frac{n}{2}} & si & n & est & pair\\ a^{\frac{n-1}{2}} & si & n & est & impair\\ \end{array} \right.\)
- \(a^n\sqrt{b}=\sqrt{a^{2n}.b}\)
Exemple
\(\sqrt{9^3}=(\sqrt{9})^3=3^3=27\)
Exemple
\(\sqrt{3}^{16}=3^{\frac{16}{2}}=3^8\)
\(\sqrt{2^7}=2^\frac{7-1}{2}\sqrt{2}=2^3\sqrt{2}=8\sqrt{2}\)
Exemple
\(2^3\sqrt{3}=\sqrt{2^{2.3}}.3=\sqrt{2^6}.3=\sqrt{64.3}=\sqrt{192}\)
\(5\sqrt{2}=\sqrt{5^2.2}=\sqrt{25.2}=\sqrt{50}\)
OPERATIONS SUR LES RADICAUX
\(1.\) Simplification des radicaux
Simplifier un radical d'indice deux revient à faire sortir du signe radical les facteurs carrés parfaits.
Rappelons qu'un facteur carré parfait est celui dont la racine carrée donne un entier naturel.
Revenant sur la Simplification, disonq que cela se fait en appliquant les propriétés vues ci-dessus après avoir décomposé le radical.
Exemple
\(\sqrt{75}=\sqrt{25.3}=\sqrt{25}\times \sqrt{3}=5\sqrt{3}\)
\(\sqrt{4a^2b}=\sqrt{2^2a^2b}=2a\sqrt{b}\)
\(\sqrt{a^{4m}}=a^{\frac{4m}{2}}=a^{2m}\)
\(\sqrt{t^{7x}16.9}=t^{\frac{7x-1}{2}}\sqrt{t4^2.3^2}=t^{3x}.4.3\sqrt{t}=12t^{3x}\sqrt{t}\)
Remarques
Après multiplication, un radical se met sous la forme \(a\sqrt{b}\). Le réel \(a\) s'appelle coefficient du radical.
Deux radicaux sont dits semblables lorsque après simplification, ils ont les mêmes radicands.
\(2.\) ADDITION ET SOUSTRACTION DES RADICAUX SEMBLABLES
Pour additionner ou soustraire des radicaux semblables, on additionne ou on soustrait les coefficients en maintenant le radical.
Exemple
\(1.\) \(7\sqrt{2}-5\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(7-5+3)\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)
\(2.\) \(\sqrt{98}+\sqrt{18}-\sqrt{100.2}=\sqrt{7^2.2}+\sqrt{3^2.2}-\sqrt{10^2.2}=7\sqrt{2}=3\sqrt{2}-10\sqrt{2}\\(7+3-10)\sqrt{2}=0\sqrt{2}=0\)
\(3.\) MULTIPLICATION ET DIVISION DES RADICAUX
Pour multiplier ou diviser des radicaux d'inidice \(2\), on applique les propriétés d'un produit ou d'un quotient des réels positifs.
Exemple
\(1.\) \(\sqrt{3}.\sqrt{6}=\sqrt{18}=\sqrt{9.2}=\sqrt{3^2.2}=3\sqrt{2}\)
\(2.\) \(\sqrt{\frac{ab^2}{ab}}=\frac{\sqrt{a}\sqrt{b^2}}{\sqrt{a}\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{b}\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\sqrt{b}\)
\(3.\) \(\frac{25\sqrt{30}}{5\sqrt{6}}=\frac{25\sqrt{6.5}}{5\sqrt{6}}=\frac{25\sqrt{6}\sqrt{5}}{5\sqrt{6}}=5\sqrt{5}\)
On multiplie ou on divise les coefficients entre eux et les radicands entre eux.
\(\blacklozenge\) FRACTIONS IRRATIONNELLES
Une fraction irrationnelle est une fraction dont un des termes contient un signe ou renferme un signe radical.
Il est souvent recommandé de transformer une fraction dont le dénominateur est irrationnel en une autre fraction dont le dénominateur est rationnel.
Rendre rationnel le dénominateur d'une fraction
- Le dénominateur est de la forme : \(\sqrt{a}\) ou \(a\sqrt{a} \quad (a>0)\)
- Le dénominateur est de la forme \(\sqrt{a}\pm \sqrt{b}\) en particulier \(a\pm \sqrt{b}\) avec \(a>0 \quad et \ b>0\) où le dénominateur est un binôme.
- Le dénominateur est un radical double : \(\sqrt{a}+\sqrt{b}; \ avec \ a+\sqrt{b}>0\)
Pour rendre rationnel le dénominateur d'une fraction de cette forme :
\(1.\) On multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par \(\sqrt{a}\)
\(2.\) On effectue l'expression obtenue tout en sachant que \(\sqrt{a}.\sqrt{a}=a\)
Exemple
\(1.\) \(\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2.\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}}=\frac{2.\sqrt{5}}{5}\)\(2.\) \(\frac{1}{6\sqrt{3}}=\frac{1}.\sqrt{3}{6\sqrt{3}\sqrt{3}}=\frac{1\sqrt{3}}{6.3}=\frac{\sqrt{3}}{18}\)
\(3.\) \(\frac{1-\sqrt{8}}{2\sqrt{2}}=\frac{(1-\sqrt{8})(\sqrt{2})}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{8}}{2.2}=\frac{\sqrt{2}-4}{4}\)
\(4.\) \(\frac{2-\sqrt{4}}{2\sqrt{2}}=\frac{(2-\sqrt{4})(\sqrt{2})}{2\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{8}}{2.2}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{8}}{4}\)
Pour rendre rationnel le dénominateur d'une fraction de cette forme :
\(1.\) On multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par l'expression conjuguée \(\sqrt{a}\pm \sqrt{b}\) (en particulier \(a\pm \sqrt{b}\))
\(2.\) On effectue l'expression obtenue,sachant que (\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\))(\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=a-b\)) (en particulier (\(a+\sqrt{b}\))(\(a-\sqrt{b}=a^2-b\)))
Exemple
\(1.\) \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{15}}{\sqrt{4}-\sqrt{25}}\)
\(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{15}}{2-5}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{15}}{-3}=\frac{-(\sqrt{6}+\sqrt{15})}{3}\)
\(2.\) \(\frac{1+\sqrt{7}}{1-\sqrt{7}}=\frac{(1+\sqrt{7})(1+\sqrt{7})}{(1-\sqrt{7})(1+\sqrt{7})}=\frac{1+\sqrt{7}+\sqrt{7}+7}{1-7}\)
\(\frac{8+2\sqrt{7}}{-6}=\frac{4+\sqrt{7}}{-3}=-\frac{4+\sqrt{7}}{3}\)
\(3.\) \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{15}+\sqrt{3}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}[(\sqrt{2}-\sqrt{5})+\sqrt{3}]}{[(\sqrt{2}-\sqrt{5})+\sqrt{3}][(\sqrt{2}-\sqrt{5}-\sqrt{3})]}\)
\(=\frac{2-\sqrt{10}-\sqrt{6}}{4-2\sqrt{10}}\)
\(=\frac{(2-\sqrt{10}-\sqrt{6})(4+2\sqrt{10})}{(4-2\sqrt{10})(4+2\sqrt{10})}\)
\(=\frac{8+4\sqrt{10}-4\sqrt{10}-20-4\sqrt{6}.2\sqrt{60}}{16+8\sqrt{10}-8\sqrt{10}-40}\)
\(\frac{12-4\sqrt{6}-2\sqrt{2^2.3.5}}{16-40}\)
\(\frac{12-4\sqrt{6}-4\sqrt{15}}{-24}\)
\(\frac{12+4\sqrt{6}+4\sqrt{15}}{24}\)
\(\frac{3+\sqrt{6}+\sqrt{15}}{6}\)
Pour rendre rationnel le dénominateur d'une fraction de cette forme :
\(1.\) On multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par le conjugué : \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\) si \(\sqrt{b}< a\)
\(\sqrt{b-a}\) si \(\sqrt{b}>a\)
\(2.\) On effectue l'expression obtenue sachant que \(\sqrt{a}+\sqrt{b}.\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{a^2-b}\) si \(\sqrt{b}>a\) ou
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}.\sqrt{b}-\sqrt{a}=\sqrt{b-a^2}\) si \(\sqrt{b}>a\)