rudless.

Il est assez surprenant de constater que \(0!\) (factorielle de zéro) est égal à \(1\). Cependant, cette égalité peut être démontrée à l'aide des propriétés de la factorielle et des principes mathématiques sous-jacents.

Voici une démonstration :

• Définition de la factorielle :

  
  La factorielle d'un nombre entier \(n\), notée n!, est le produit de tous les nombres entiers positifs inférieurs ou égaux à \(n\).

  Par exemple, \(5! = 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 120\).

• Propriété qui définit \(0!\) :

  Selon cette propriété, la factorielle de zéro est égale au produit de tous les nombres entiers positifs inférieurs ou égaux à zéro. Cependant, il n'existe aucun nombre entier positif inférieur ou égal à zéro. Donc, il n'y a aucun facteur à inclure dans ce produit, ce qui nous amène à une expression vide.

• Par convention, une expression vide est considérée comme équivalente à la valeur \(1\). C'est une convention mathématique qui a été établie pour assurer la cohérence des calculs mathématiques.

En appliquant ces concepts, on peut constater que \(0! = 1\).

Il est important de noter que cette égalité peut sembler contre-intuitive au premier abord et peut être difficile à comprendre sans les outils mathématiques appropriés. Cependant, elle repose sur des principes mathématiques fondamentaux et est universellement acceptée dans les domaines mathématiques et scientifiques.

Démonstration mathématique

On sait que :
\(n! = n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1\)

\((n-1)! =(n-1)\times (n-2)\times \dots 2\times 1 \)

Par exemple :
\(6! =6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=720\)

\(\frac{n!}{n}=\frac{n\times (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1}{n} \\ = (n-1)\times (n-2)\times \ldots \times 2\times 1 \)

Or \((n-1)! =(n-1)\times (n-2)\times \dots 2\times 1 \)
Donc \(\frac{n!}{n}=(n-1)!\)

Exemple

Pour \(n=4\), nous avons :
\(\frac{4!}{4}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{4}\\ =(4-1)! =3! =3\times 2\times 1\\ =6 \)

Pour \(n=3\), nous avons :
\(\frac{3!}{3}=2! \\=2\times 1=2\)

Pour \(n=2\), nous avons :
\(\frac{2!}{2}=1! =1\)

Pour \(n=1\), nous avons :
\(\frac{1!}{1}=0!\)

On sait que \(1! =1\times 1=1\)

Puisque \(\frac{1!}{1}=0!\) et \(\frac{1!}{1}=1\), donc
\(0! =1\).

Voilà. Vous savez maintenant pourquoi \(0! =1\).

Merci de m'avoir suivi jusqu'à la fin de cette partie. Si vous avez des suggestions ou un point de vue différent du mien, je vous invite à venir discuter avec nous dans notre Forum ou dans notre Salle de Débat.
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