LES GRANDEURS PHYSIQUES
1. DEFINITIONS
Une grandeur physique est tout ce qui est mesurable ou susceptible d'être évalué par rapport à une échelle.
Exemple
Longeur, masse, la surface, le volume, la température, les poids,...2. MESURES D'UNE GRANDEUR PHYSIQUE
Mesurer une grandeur physique c'est:
-
La comparer à une autre de même espèce choisie comme unité. Le rapport de cette grandeur à l'unité est alors sa mesure.
L'unité est une grandeur physique type prise comme terme de comparaison pour mesurer les autres grandeurs physiques de même espèce. -
En mesurant une grandeur, on obtient Souvent une valeur probable (\(G_0\)), valeur expérimentale ou valeur mesurée; La valeur exacte
\(G\) reste Souvent Inconnue.
3. PRECISION D'UNE MESURE
La précision d'une mesure est son degré de rapprochement par rapport à la valeur réelle ou exacte de la grandeur.
4. LES ERREURS (INCERTITUDES)
Les mesures sont presque toujours entachées d'erreurs ou d'incertitudes.
On distingue:
a) Erreurs (ou incertitudes) absolues: \(Ea\)
C'est l'écart qu'on a entre la valeur exacte \(G\) et la valeur probable \(G_0\) de la grandeur.
\( \begin{array}{|c|l|r|} \hline Ea=G-G_0\\ \hline \end{array} \)
L'erreur absolue s'exprime avec la même unité que la grandeur mesurée et peut se produire dans les sens; d'où on l'affecte du signe \(\pm\)
Exemple
En mesurant une (grandeur) longueur, on obtient \(21,3 \ cm\) avec une erreur absolue(exprimée) estimée à\(0,3 \ cm\). Cette longueur s'écrira alors :
\(21,3 \ cm\pm 0,3 \ cm \\ (21,3 \pm 0,3) \ cm\)
N.B: Lorsqu'une mesure a été effectuée plusieurs fois en donnant des valeurs probables différentes, on prendra comme valeur probable
la moyenne arithmétique de différentes valeurs probables mais en prennant soin de ne pas considérer celles qui s'écartent le plus des autres
appelées alors mesures abérantes.
b) Erreurs (ou incertitudes) relatives: \(Er\)
L'erreur relativeest le rapport entre l'erreur absolue et la valeur probable de la grandeur.
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
Er=\frac{Ea}{G_0}\implies Ea=Er.G_0\\
\hline
\end{array}
\implies \)
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
Ea=Er.G_0\\
\hline
\end{array}
\)
L'erreur relative n'a pas d'unité. Souvent on l'exprime en \(\%\). Dans ce cas, on a alors :
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
Er=\frac{Ea.100}{G_0}\\
\hline
\end{array}
\implies \)
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
Ea=\frac{Er \ en \ \% . \ G_0}{100}\\
\hline
\end{array}
\)
Exemple
La longueur d'un crayon est:
\(15,6 \ cm _pm 0,1 \ cm\).
Quelle est l'erreur relative commise sur cette mesure?
Données: \(G_0=15,6 \ cm; \quad Ea=0,1 \ cm\)
Inconnue: Er?
Formule: \(Er=\frac{Ea.100}{G_0}\)
Résolution
\(Er=\frac{0,1.100}{15,6}\\ =\frac{10}{15,6} \\ =0,64 \% \)
N.B: Plus l'erreur relative est petite, plus la mesure est précise.
Exemple
La longueur d'un crayon est : \(12,5 \ cm \pm 0,1 \ cm\).Quelle est l'erreur relative commise sur cette mesure en pourcentage? Données: \(G_0=12,5; Ea=0,1 \ cm\)
Inconnue: \(Er \ en \ \%?\)
Formule : \(Er \ en \ \%=\frac{Ea.100}{G_0}\)
Résolution:
\(Er=\frac{0,1.100}{12,5}=\frac{10}{12,5}=0,8 \%\)
L'erreur relative commise est de \(0,8 \%\)
- Diamètre d'un cylindre : \(50 \ mm \pm 0,1 \ mm\)
- Longeur d'une classe : \(8,75 \ m \pm 0,05 \ m\)
- Largeur d'un livre : \(12,5 \ mm \pm 1 \ mm\)
- Epaisseur d'une feuille : \(0,08 \ mm \pm 0,01 \ mm\)
Exercice
Laquelle des \(4\) mesures ci-après est la petite?c) Calcul des erreurs
1. Erreur absolue
L'erreur absolue commise sur une mesure ou sur une différence est égale à la somme des erreurs absolues commises sur chacun de termes.
Exercice
Quel est le périmètre d'un triangle dont les côtés mesurent respectivement \(3 \ cm \pm 0,1 \ cm; 4 \ cm \pm 0,1 \ cm \ et \ 5 \ cm \pm 0,1 \ cm\)Données : \(C_1=3 \ cm \pm 0,1 \ cm; C_2= 4 \ cm \pm 0,1 \ cm; C_3=5 \ cm \pm 0,1 \ cm\)
Inconnues: \(P=?; P \ brut=?; \ Ea=?\)
Formule:
\(P \ brut=C_1 \ brut+C_2 \ brut+ C_3 \ brut\)
\(Er=Ea_1+Ea_2+Ea_3\)
Résolution
\(P \ brut=3+4+5=12 \ cm\)
\(Er=0,1+0,1+0,1=0,3 \ cm\)
\(P=12 \ cm \pm 0,3 \ cm\)
Le périmètre de ce triangle est \(P=12 \ cm \pm 0,3 \ cm\)
L'erreur absolue commise sur le produit ou le quotient d'une mesure par un nombre est égale au produit ou au quotient de l'erreur
absolue de cette mesure par ce nombre.
Exercice
La longueur d'un mètre est de \(1 \ m \pm 0,1 \ m\). La longueur d'une table vaut \(3\) fois ce mètre.Quelle est alors la longueur de cette table?
Données:
\(l \ du \ m\grave{e}tre=1 \ m \pm 0,1 \ m\)
\(l \ de \ la \ table=3.l \ du \ m\grave{e}tre\)
Inconnues:
\(l \ de \ la \ table=? \ \quad l \ brute \ de \ la \ table=? \ Ea=?\)
Formules :
\(l \ de \ la \ table=l \ brute \ de \ la \ table \pm Ea \)
\(l \ brute \ de \ table=3.l \ brute \ du \ m\grave{e}tre\)
\(Ea=3.Ea \ du \ m\grave{e}tre\)
Résolution
\(l \ brute \ de \ la \ table=3.1 \ m=3 \ m\)
\(Ea=3.0,1 \ m=0,3 \ m\)
\(l \ de \ la \ table= 3 \ m \pm 0,3 \ m\)
La longueur de la table est \(3 \ m \pm 0,3 \ m\)
N.B: Pour l'erreur absolue commise sur un produot ou quotient d'une mesure par un autre sur la puissance de l'extraction d'une racine
d'une mesure, on cherche d'abord l'erreur relative pour déduire ensuite l'erreur absolue.
1. Erreur relative
L'erreur relative commise sur un produit ou quotient d'une mesure par un nombre reste la même.
Exemple
L'erreur relative commise sur la longueur d'une planche de \(2,5 \ m\) est de \(1\%\). Si cette longueur devient double, tripleou réduitede moitié, l'erreur relative sera toujours de \(1\%\).
L'erreur commise sur le produit ou le quotient d'une mesure par une autre mesure est égale à la somme des erreurs commises sur chacune
des mesures.
L'erreur commise sur la puissance \(n^{i\grave{e}me}\) d'une mesure \(M\) est égale à \(n\).l'erreur commise sur cette mesure; cest-à-dire
Erreur relative commise sur \(M^{n}=n.Er \ sur \ M\).
L'erreur relative commise sur la racine \(n^{i\grave{e}me}\) d'une mesure \(M\) est égale à la \(n^{i\grave{e}me}\) partie de l'erreur
relative commise sur \(M\); cest-à-dire Erreur relative commise sur \(\sqrt[n]{M}=\frac{Er \ sur \ M}{n}\)
Exemple
1. Les côtés d'un triangle rectangle ont les mesures ci-après: \(L=(10 \pm 0,2)cm\) et \(l=(4 \pm 0,1)cm\).Quelle est l'erreur relative commise sur le Calcul de son aire?
Données :
\(L=(10 \pm 0,2)cm\) ; \(l=(4 \pm 0,1)cm\)
Ea sur \(L=0,2 \ cm\); Ea sur \(l=0,1 \ cm\)
Inconnues : Er sur \(S=?\)
Formule :
Er sur \(S=Er \ sur \ L+l \ sur \ l\)
\(Er=\frac{Ea\times 100}{G_0}\)
Résolution
Er sur \(L=\frac{0,2.100}{10}=2\%\)
Er sur \(l=\frac{0,1.100}{4}=\frac{10}{4}=2,5\%\)
Er sur \(S=2+2,5=4,5\%\)
2. Trouver l'Ea commise sur le résultat de \(\sqrt[3]{A^{2}}\), sachant que \(A=8000 \pm 6\).
Données :
\(A=8000 \pm 6 \implies G_0 \ de \ A=8000\) et
Ea sur \(A=6\)
Inconnues Ea sur \(\sqrt[3]{A^{2}}=? \ Er=?\)
Formule :
\(Ea=\frac{Er.G_0}{100}\)
Er sur \(A=\frac{Ea.100}{G_0}\)
Er sur \(A^{2}=2.Er \ sur \ A\)
Er sur \(\sqrt[3]{A^{2}}=\frac{Er \ sur \ A^{2}}{3}\)
Résolution
Er sur \(A=\frac{6.100}{8000}=\frac{3}{40}=0,075\%\)
Er sur \(A^{2}=2.0;075=0,15\)
Er sur\(\sqrt[3]{A^{2} }=\frac{0,15}{3}=0,05\%\)
Ea sur \(\sqrt[3]{A^{2}}=\frac{0,05.8000}{100}=4\)
CHIFFRES SIGNIFICATIFS
On appelle chiffres signicatifs d'un nombre, tous les chiffres de ce nombre exceptés les zéros qui précèdent le premier chiffre non nul.
Exemple
- \(524: \ 3\) chiffres signicatifs
- \(5024: \ 4\) chiffres signicatifs
- \(0,0524: \ 3\) chiffres signicatifs
- \(5420: \ 4\) chiffres signicatifs
- \(0,05240: \ 4\) chiffres signicatifs
- \(0,050204: \ 5\) chiffres signicatifs
- \(1,00240: \ 6\) chiffres signicatifs
Ainsi, seuls les zéros du début ne sont pas signicatifs. Les zéros captifs et ceux de la fin sont signicatifs.
Mais si un nombre contient des zéros à la fin et qu'on n'a pas l'exactitude de la mesure, ces zéros ne sont pas signicatifs.
Exemple
Environ 250000 spéctateurs; il n'y a que deux chiffres signicatifs qui sont : \(2 \ et \ 5\)6. SYSTEMES D'UNITE
Un système d'unité de mesure est un ensemble composé d'un nombre restreint des grandeurs des unités spécifiques appelées
grandeurs fondamentales ou de base.
Il en existe plusieurs: \(M.K.S, M.K.S.A, M.T.S, C.G.S \ et \ S.I\)
Actuellement c'est le Système International (\(SI\)) qui est le plus adopté dans le monde scientifique. Il est basé sur le choix de \(8\) unités
de base attribuées aux \(8\) grandeurs fondamentales reconnues :
- mètre (\(m\)) pour la longueur
- Kilogramme (\(Kg\)) pour la masse
- seconde (\(s\)) pour le temps
- Ampère (\(A\)) pour l'intensité du courant électrique
- Kelvin (\(K\)) pour la température
- Candela (\(Cd\)) pour l'intensité lumineuse
- mole (\(mol\)) pour la quantité de matière
- Coulomb (\(C\)) pour la charge électrique
7. LES GRANDEURS PHYSIQUES FONDAMENTALES
Les grandeurs physiques fondamentales sont celles qui ne dépendent pas d'autres grandeurs physiques. Le Système International en
reconnaît \(8\) actuellement.
TABLEAU DES GRANDEURS PHYSIQUES FONDAMENTALES
\( \begin{array}{|c|C|C|C|l|r|} \hline Grandeur & Symbole & Unité & symbole\\ \hline longueur & l,e,s & m\grave{e}tre & m\\ \hline masse & m & Kilogramme & Kg\\ \hline temps & t & seconde & s \\ \hline intensité \ du \ courant & I & Amp\grave{e}re & A \\ \hline température & T & Kelvin & K \\ \hline intensité \ lumineuse & I & Candela & Cd \\ \hline quantité \ de \ mati\grave{e}re & I & mole & mol \\ \hline charge \acute{e}lectrique & q & Coulomb & C\\ \hline \end{array} \)
N.B: On utilisera aussi souvenet des multiples ou sous-multiples de l'unité qui sont des puissances de \(10\) et désignés par
des préfixes qui précèdent le nom de l'unité.
Tableau des préfixes utilisés
\( \begin{array}{|c|c|c|c|l|r|} \hline & Préfixe & symbole & valeur \\ \hline & Tera & T & 10^{12}\\ & Giga & G & 10^{9}\\ multiples & Mega & M & 10^{6}\\ & Kilo & K 1 10^{3}\\ & hecto & h & 10^{2}\\ & deca & da & 10\\ \hline Unité & & & 1(10^{0})\\ \hline & deci & d & 10^{-1}\\ & centi & c & 10^{-2}\\ & milli & m & 10^{-3}\\ sous-multiples & micro & \mu & 10^{-6}\\ & nano & n & 10^{-9}\\ & pico & p & 10^{-12}\\ & fento & f & 10^{-15}\\ & atto & a & 10^{-18}\\ \hline \end{array} \)Exemple
Téramètre(Tm): \(1Tm=10^{12}m\)Kilojoule (Kj): \(1Kj=10^{3}J\)
nanoseconde (ns): \(1ns=10^{-9}s\)
microcoulomb (\(\mu c\)) : \(1\mu c=10^{-6}C\)
8. LES GRANDEURS PHYSIQUES DERIVEES
Elles sont issues des grandeurs physiques fondamentales auxquelles elles sont liées par des relations mathématiques ou formules.
Exemple
Surface, volume, vitesse, pression,....
Les unités \(SI\) sont déduites de celles des grandeurs fondamentales par des formules physiques appelées
Equations aux dimensions de la forme:
\([u]=[L]^{\alpha}.[T]^{\beta}.[M]^{\gamma} \ldots\) où \(L,T,M, \ldots\)sont des grandeurs fondamentales et \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\)
sont des entiers relatifs.
Exemples
1. Volume
\(V=L.l.h\)
\([V]=[L].[L].[L]=[L]^{3}\)
2. Vitesse
\(v=\frac{e}{t}\)
\([V]=\frac{[L]}{[T]}=[L].[T]^{-1}\)
D'où l'unité de la vitesse \(m.s^{-1} \ ou \quad m/s\)
3. Puissance
\(P=\frac{W}{t} \ \quad W=travail\)
\(W=F.e\)
\(F=m.a\)
\(a=\frac{v}{t}\)
\(v=\frac{e}{t}\)
\(\implies a=\frac{\frac{e}{t}}{t}=\frac{e}{t}\times \frac{1}{t}=\frac{e}{t^{2}}\)
\(\implies F= \frac{m.e}{t^{2}}\)
\(\implies W=\frac{m.e}{t^{2}}.e=\frac{m.e^{2}}{t^{2}}\)
\(\implies P=\frac{\frac{m.e^{2}}{t^{2}}}{t}=\frac{m.e^{2}}{t^{2}}.\frac{1}{t}=\frac{m.e^{2}}{t^{3}}\)
\([P]=\frac{[M].[L]^{2}}{[T]^{3}}=[M].[L]^{2}.[T]^{-1}\)