LA MECANIQUE CLASSIQUE
O. NOTIONS
La mécanique est la partie de la physiques qui étudie les forces et les mouvements.
Elle se subdivise en :
- Statique: étude des forces
- Cinématique: étude des mouvements
- Dynamique: étude combinée des forces et des mouvements
I. LES MOUVEMENTS RECTILIGNES
I.1. Introduction
Un corps est en mouvements si les distances qui le séparent du repère choisi changent. Dans le cas contraire, il est au repos.
Un corps en mouvements est un mobile.
La ligne ou le chemin suivi par sa trajectoire est l'espace parcouru par le mobile. Il a pour symbole \(e\) et pour unité
\(SI\) le mètre (\(m\)).
L'espace parcouru par un mobile dans l'unité de temps est sa vitesse (v). Elle s'exprime dans le \(SI\)
\(m/s\) (mètre par seconde). Souvent elle s'exprime aussi en \(km/h\) (Kilomètre par heure).
CONVERSION DE VITESSE
\( \begin{array}{|c|l|r|} \hline v \ en \ m/s= \frac{v \ en \ km/h}{3,6}\\ \hline \end{array} \)Exemple
\(72 km/h=? \quad \ m/s\)
\(72 km/h=\frac{72}{3,6}= 20 m/s\)
Exemple
\(15 m/s=? \quad \ km/h\)
\(15 m/s= 15\times 3,6=54 km/h\)
Selon la forme de la trajectoire, on a:
- mouvement rectiligne: la trajectoire est une droite
- mouvement curviline: la trajectoire est une courbe
I.1. Le mouvement rectiligne
Un mouvement est rectiligne si la trajectoire est une droite.
Lors d'un mouvement rectiligne, si le mobilen'est pas soumis à l'action d'une force, le mouvement est rectiligne uniforme.
Si par contre le mobile est soumis ç l'action d'une force, le mouvement rectiligne est varié. Si cette force est constante en
intensité et en direction, le mouvement est rectiligne uniformémént varié.
a) Le mouvement rectiligne uniforme (M.R.U)
Le mouvement d'un mobile est rectiligne uniforme si le mobile, soumis à une trajectoire droite, parcourt des espaces égaux et des
temps égaux.
Caractéristique: la vitesse du mobile est constante; \(v=c^{te}\)
\(e=v.t \implies v=\frac{e}{t} \ et \ t=\frac{e}{v}\)
\(v \ en \ m/s; \ t \ en \ s \ et \ e \ en \ m\)
N.B: Lors de la résolution d'exercices, il est recommandé, sauf indication contraire, de convertir les données en unités \(SI\).
Exemple
La vitesse moyenne d'un piéton sur une route droite est de \(5,4 km/h\). Quelle est la distance parcourue par ce piéton après deux
heures de marche?
Résolution
Données: \(v=5,4km/h=\frac{5,4}{3,6}=1,5 m/s\)
\(t= 2h=2\times 3600=7200 s\)
Inconnue: \(e=?\)
Formule : \(e=v.t\)
\(e=1,5.7200=10800 m=10,8 km\)
La distance parcourue par ce piéton après deux heures de marche est de \(10,8 km\)
a) Le mouvement rectiligne uniformémént varié (M.R.U.V)
Le mobile est soumis à une trajectoire droite et sa vitesse varie d'une quantité constante.
La vitesse qu'a le mobile à chaque instant est sa vitesse instantanée \(v_t\). La variation de la vitesse instantanée dans
l'unité de temps est l'accélération \(\alpha \ ou \ \gamma\) du mobile.
Si la vitesse augmente, l'accélération est positive et le mouvement est rectiligne uniformémént accéléré (M.R.U.A); si elle diminue,
l'accélération est négative et le mouvement est rectiligne uniformémént décéléré ou retardé (M.R.U.R)
Mouvement rectiligne uniformémént accéléré (M.R.U.A)
Caractéristique: \(a\) est positive et constante2 types:
- M.R.U.A partant du repos
- M.R.U.A avec vitesse initiale
1) M.R.U.A partant du repos
Le mobile part du repos \(v=0 \ et \ t=0\) avec une accélération \(a\) maintenue pendant un temps \(t\).
Au bout du temps sera \(v_t\) et il aura parcouru \(e_t\).
Formule de base
\( \begin{array}{|c|l|r|} \hline v_t=a.t\\ \hline \end{array} \) et \( \begin{array}{|c|l|r|} \hline et=\frac{a.t^{2}}{2}=\frac{v_t.t}{2}\\ \hline \end{array} \)\( a \ en \ m/s^{2}; t \ en \ s; v_t \ en \ m/s \ et \ e_t \ en \ m\)
Exercice
Au bout de la piste d'envole un avion fait marcher ses moterus à pleine force mais il est encore bloqué par ses freins. A un moment donné,
le pilote libère les freins, l'avion se lance en avant sur la piste et \(30 s\) plus tard quitte le sol avec une vitesse de \(324km/h\).
Quelle est son accélération et quelle longueur de la piste a-t-il parcourue?
Résolution
Données: \(t=30s, vt=324km/h=\frac{324}{3,6}=90m/s\);M.R.U.A partant du repos
Inconnues:
a) \(a=?\) b) \(e_t=?\)
Formules:
a) \(v_t=a.t \implies a=\frac{v_t}{t}\)
b) \(e_t=\frac{a.t^{2}}{2}\)
a) \(a=\frac{90}{30}=3 m/s^{2}\)
b) \(e_t=\frac{3.30^{2}}{2}=\frac{2700}{2}=1350m\)
Son accélération est de \(3m/s^{2}\) et il aura parcouru \(1350m\).
2) M.R.U.A avec vitesse initiale
Le mobile a déjà une vitesse \(v_0\) appelée vitesse initiale au moment où il commence à accélérer.
Ce moment est le temps \(t=0\). Il s'émeut alors pendant un temps \(t\) avec une accélération \(a\). Au bout du temps \(t\), sa
vitesse sera \(v_t\) et il aura parcouru un espace \(e_t\).
Formule de base
\( \begin{array}{|c|l|r|} \hline v_t=v_0+a.t\\ \hline \end{array} \) et \( \begin{array}{|c|l|r|} \hline et=v_0.t+\frac{a.t^{2}}{2}\\ \hline \end{array} \)\( a \ en \ m/s^{2}; t \ en \ s; v_t \ en \ m/s \ et \ e_t \ en \ m\)
Exercice
Une voiture roule à \(54 \ km/h\). Elle accélère uniformémént pendant \(8\) secondes et sa vitesse passe à \(72 \ km/h\).
Quel est l'espace parcouru par la voiture pendant les \(8\) secondes?
Données: \(v_0=54 \ km/h=\frac{54}{3,6}=15 \ m/s\);
\(v_t=72 \ km/h=\frac{72}{3,6}=20 \ m/s\);
\(t=8 \ s\); M.R.U.A avec \(v_0\)
Inconnues : \(e_t=? \ \ \ a=?\)
Formules:
\(e_t=v_0.t+\frac{a.t^{2}}{2}\)
\(v_t=v_0+a.t\implies a.t=v_t-v_0 \\ \implies a=\frac{v_t-v_0}{t}\)
\(a=\frac{20.15}{8}=\frac{5}{8}m/s^{2}\)
\(e_t=15.8+\frac{\frac{5}{8}.8^{2}}{2}\)
\(=120+\frac{5.8}{2}\)
\(=120+20=140 \ m\)
Mouvement rectiligne uniformémént retardé ou décéléré (M.R.U.R)
Le mobile a déjà une certaine vitesse initiale \(v_0\) au moment où il décélère. Il se déplace pendant un temps \(t\) au bout duquel il aura
une vitesse \(v_t\) et il aura parcouru un espace \(e_t\).
Formule de base
\( \begin{array}{|c|l|r|} \hline v_t=v_0-a.t\\ \hline \end{array} \) et \( \begin{array}{|c|l|r|} \hline et=v_0.t-\frac{a.t^{2}}{2}\\ \hline \end{array} \)
Exemple
Une automobile roulant à une vitesse de \(108 \ km/h\) ralentit en un moment donné en freinant. La décélération produite est de \(3 \ m/s^{2}\).
Quelle est encore sa vitesse après \(8\) seconde de freinage et quelle distance a-t-elle parcourue pendant ce temps?
Données :
\(v_0=108 \ km/h=\frac{108}{3,6}=30 \ m/s\)
\(a=3 \ m/s^{2}; t=8 \ s\); M.R.U.R
Inconnues :
a) \(v_t=?\)
b) \(e_t=?\)
Formules :
a) \(v_t=v_0-a.t\)
b) \(e_t=v_0.t-\frac{a.t^{2}}{2}\)
Résolution :
a) \(v_t=30-3.8=30-24=6 \ m/s\)
b) \(e_t=30.8-\frac{3.8^{2}}{2}=240-96=144\)
Sa vitesse sera \(6 \ m/s\) et il aura parcouru \(144 \ m\).
Succession de plusieurs mouvements
Il n'y a pas de formules de base. On traite chaque mouvement séparement avec des formules qui lui sont propres.
Exemple
Un vélo-moteur part du repos avec une accélération de \(1 \ m/s^{2}\). Après \(5 \ s \), il cesse d'accélérer et continue avec la vitesse
acquise pendant \(25 \ s \). A ce moment la route devenant très belle, il accélère de nouveau pendant \(5 \ s \) et atteint ainsi la vitesse
de \(54 \ km/h\). Avec la vitesse ainsi acquise, il continue pendant \(30\) secondes et finalement en freinant pendant \(10 \ s \), la
machine s'arrête.
Chercher la distance totale parcourue par le vélo-moteur.
Données :
1. mouvement : MRUA partant du repos
\(a=1 \ m/s^{2}; t=5 \ s\)
2. mouvement : MRU
\(t=25 \ s; v=v_t \ du \ 1^{er}\)
3. mouvement : MRURA avec \(v_0; t=5 \ s; v_t=54 \ km/h=\frac{54}{3,6}=15 \ m/s\)
4. mouvement : MRU
\(v=15 \ m/s; t=30 \ s\)
5. mouvement : MRUR;
\(t=10 \ s; v_0=15 \ m/s; v_t=0\)
Inconnue : \(e_t \ total=?\)
Formule :
\(e_{total}=somme \ de \ diff\acute{e}rents \ espaces \ parcourus\)
Résolution
Premier mouvement:
\(e=\frac{a.t^{2}}{2}\)
\(e_t=\frac{1.5^{2}}{2}=\frac{25}{2}=12,5 \ m\)
Deuxième mouvement:
\(e=v.t \ v=?\)
\(v=v_t\) à la fin du premier mouvement\(=a.t\)
\(v=1.5=5 \ m/s\)
\(e=5.25=125 \ m\)
Troisième mouvement :
\(e=v_0+\frac{a.t^{2}}{2} \ \ v_0=? \ a=?\)
\(v_0=v\) du premier mouvement \(=5 \ m\)
\(v_t=v_0+a.t \implies a=\frac{v_t-v_0}{t}\)
\(a=\frac{15-5}{5}=\frac{10}{5}=2 \ m/s^{2}\)
\(e=5.5+\frac{2.5^{2}}{2}=25+25=50 \ m\)
Quatrième mouvement :
\(e=v.t\)
\(e=15.30=450 \ m\)
Cinquième mouvement :
\(e_t=v_0.t-\frac{a.t^{2}}{2} \ a=?\)
\(a=\frac{v_0-v_t}{t} \ \ v_t=0\)
\(a=\frac{15-0}{10}=\frac{15}{10}=1,5 \ m/s^{2}\)
\(e_t=\frac{15.10-1,5.10^{2}}{2}=150-75=75 \ m\)
\(e_{total}=12,5+125+50+450+75=712,5 \ m\)
La distance totale parcourue est de \(712,5 \ m\).
II. RAPPEL SUR LES LOIS DE NEWTON
\(1^{\grave{e}re} \ loi:\) Principe de l'inertie
" Un corps ne peut de lui-même modifier son état de mouvement rectiligne uniforme "
ou "A force nulle, accélération nulle "
\(F=0 \implies a=0\)
\(2^{\grave{e}me} \ loi\) Principe de la force constante
"Une force constante communique à un mobile un mouvement rectiligne uniformémént accéléré "
Ou bien "A force constante, accélération constante "
(Force constante en intensité et en direction)
\(3^{e} \ loi\) : Principe de l'action et de la réaction
" Toute action qu'un corps \(A\) exerce sur un corps \(B\) fait nâitre une réaction égale et opposée du corps \(B\) sur le corps \(A\) "
Ou bien " a toute action, réaction égale et opposée "
De ce trois lois, découle la relation fondamentale de la mécanique ou relation de Newton:
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
F=m.a\\
\hline
\end{array}
\)
\(F : force \ en \ newton (N); m : masse \ en \ kg; a : acc\acute{e}l\acute{e}ration \ en \ m/s^{2}\)
III. LOI DE L'ATTRACTION UNIVERSELLE DE NEWTON
" Deux points matériels quelconques exercent l'un sur l'autre une force d'attraction dirigée suivant la droite qui le joind,
proportionnelle à leur masse et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. "
D'où l'expression mathématique:
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
F=k.\frac{m.m'}{d^{2}}\\
\hline
\end{array}
\)
\(m \ et \ m': masses \ en \ kg\)
\(d : distance \ en \ m\)
\(F: force \ d'attraction \ en \ N\)
\(k : constante \ de \ la \ gravit\acute{e} \ qui \ vaut \ 67.10^{-12} \ dans \ S.I\)
Ainsi, suite à la loi de la gravitation universelle, les corps matériels se trouvant dans le voisinage d'un astre ou d'une planète sont
attirés vers ceux-ci par une force de pésanteur.
IV. LE POIDS D'UN CORPS
Le poids \(G\)d'un corps se trouvant dans le voisinage d'un astre d'une planète, est la force de pésanteur exercée sur le corps c’est-à-dire
la force avec laquelle l'astre ou la planète attire ce corps vers son centre.
Cette force d'attraction communique au corps une accélération pratiquement constante à la surface de l'astre qui fait tomber le corps vers
le centre de l'astre ou de la planète.
Cette accélération est représentée par \(g\).
Le poids \(G\) d'un corps au voisinage d'un astre ou d'une planète vaut :
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
G=m.g\\
\hline
\end{array}
\)
\(G : poids \ en \ N\)
\( m : masse \ du \ corps \ en \ kg\)
\(g : acc\acute{e}l\acute{e}ration \ de \ la \ p\acute{e}santeur \ en \ m/s^{2}\)
N.B: Au voisinage de la terre \(g\simeq 9,8\ m/s^{2}\)
Variabilité du poids d'un corps
- Le poids d'un corps varie d'un astre ou planète à l'autre (le poids est \(6\) fois plus grande sur la terre que sur la lune)
- Le poids varie proportionnellement avec la masse
- Le poids varie à raison inverse, de la distance qui le corps de l'astre ou de la planète
Variabilité du poids d'un corps au voisinage de la terre
-
Le poids d'un corps sur la Terre augmente avec la latitude; c’est-à-dire au fur et à mesure qu'on s'éloigne de l'équateur,
le poids augmente - Le poids d'un corps sur la Terre diminue avec l'altitude; c’est-à-dire au fur et à mesure qu'on s'élève dans l'espace, le poids diminue
Ainsi, le poids n'est pas une Caractéristique d'un corps car il varied'un endroit à l'autre. On le mesure à l'aide d'un dynamomètre.
V. CHUTE LIBRE
C'est le mouvement d'un corps lâché sans vitesse initiale à la surface de la Terre, sous la seule action de la pésanteur.
La trajectoire est une droite. C'est donc un mouvement rectiligne uniformémént accéléré (MRUA) sans vitesse initiale \(v_0\)
d'accélération \(g=9,8 \ m/s^{2}\).
Ainsi, soumis uniquement à l'action de la pésanteur, tous les corps tombent de la même façcon.
Formule de base
\( \begin{array}{|c|l|r|} \hline h=\frac{g.t^{2}}{2}\\ \hline \end{array} \) et \( \begin{array}{|c|l|r|} \hline v_t=g.t\\ \hline \end{array} \)\(h : hauteur \ de \ chute\)
Exercice
Calculer la hauteur de la cheminée de l'usine de Lubumbashi, sachant qu'une pierre lâchée de son sommet en chute libre met
\(5\) secondes pour atteindre le sol.
Données :
\(t=5 \ s\); chute libre
Inconnue : \(h=?\)
Formule : \(h=\frac{g.t^{2}}{2}\)
Résolution
\(h=\frac{9,8.5^{2}}{2}=\frac{9,8.25}{2}=4,9.25=122,5 \ m\)
La longueur de cette cheminée est de \(122,5 \ m\).
VI. CHUTE AVEC VITESSE INITIALE
On lance vers le bas un mobile. C'est un mouvement rectiligne uniformémént accéléré avec vitesse initiale \(v_0\).
Formule de base
\( \begin{array}{|c|l|r|} \hline h=v_0.t+\frac{g.t^{2}}{2}\\ \hline \end{array} \) et \( \begin{array}{|c|l|r|} \hline v_t=v_0+g.t\\ \hline \end{array} \)\(h : hauteur \ de \ chute\)
Exercice
Une pierre soumise initialement à une vitesse de \(2 \ m/s\) arrive au sol après \(5\) secondes de chute.
Quelle est la hauteur parcourue?
Données :
\(t=5 \ s; v_0=2 \ m/s\); chute libre
Inconnue : \(h=?\)
formule : \(h=v_0.t+\frac{g.t^{2}}{2}\)
Résolution
\(h=2.5+\frac{9,8.5^{2}}{2}=10+122,5=132,5 \ m\)
La hauteur parcourue est de \(132,5 \ m\).
VII. CORPS LANCE VERTICALEMENT VERS LE HAUT
C'est un mouvement à deux phases : phase ascendante (la montée) et phase descendante (descente).
a) Phase ascendante
C'est un mouvement rectiligne uniformémént retardé avec une accélération retardatrice \(=g\).
Formule de base
\( \begin{array}{|c|l|r|} \hline h=v_0.t-\frac{g.t^{2}}{2}\\ \hline \end{array} \) et \( \begin{array}{|c|l|r|} \hline v_t=v_0-g.t\\ \hline \end{array} \)La hauteur maximale atteinte par le mobile :
\( \begin{array}{|c|l|r|} \hline h=\frac{v_0^{2}}{2.g}\\ \hline \end{array} \implies \) \( \begin{array}{|c|l|r|} \hline v_0=\sqrt{2.g.h}\\ \hline \end{array} \)
Le temps mis par le mobile lorsque la hauteur maximale est atteinte vaut:
\( \begin{array}{|c|l|r|} \hline t=\frac{v_0}{g}\\ \hline \end{array} \)
La vitesse à ce moment est nulle.
b) Phase descendante
C'est une chute libre
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
h=\frac{g.t^{2}}{2}\\
\hline
\end{array}
\) et
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
v_t=g.t\\
\hline
\end{array}
\)
A son arrivée au sol : \(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\\
\hline
\end{array}
\) et
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
v_t=\sqrt{2.g.h}\\
\hline
\end{array}
\)
N.B:
- A la même altitude, le mobile passe en montant et en descendant avec des vitesses égales
- La durée de la montée est égale à la durée de la descente
Exemple
On lance une balle de plomb de bas en haut avec une vitesse initiale de \(29,4 \ m/s\).
a) Calculer la hauteur maximale atteinte par la balle.
b) Après combien de temps la balle reviendra-t-elle à son point de départ?
Données :
\(v_0=29,4 \ m/s; corps \ lanc\acute{e} \ verticalement \ vers \ le \ haut\)
Inconnue : a) \(h=? \) b) \(t_{total}=?\)
Formules :
a) \(h=\frac{v_0^{2}}{2g}\)
b) \(t_{total}=t_{mont\acute{e}e}+t_{descente}\)
\(t_{mont\acute{e}e}=\frac{v_0}{g}\)
\(t_{descente}=t_{mont\acute{e}e}\)
Résolution
a) \(h=\frac{29,4^{2}}{2.9,8}=\frac{864,36}{19,6}=44,1 \ m\)
La hauteur atteinte est de \(44,1 \ m\).
b) \(t_{mont\acute{e}e}=\frac{29,4}{9,8}=3 \ s\)
\(t_{descente}=3 \ s\)
\(t_{total}=3 \ s+ 3 \ s=6 \ s\)
La balle reviendra à son point de départ après \(6 \ s\)
exercices
1) Il s'écoulé \(6 \ s\) entre le départ et l'arrivée au sol d'une pierre lancé verticalement en l'air. Si \(g=10 \ m/s^{2}\), la vitesse
initiale de lancement vaut?
2) On lance verticalement deux mobiles de bas vers le haut. Le \(1^{er}\) est lancé avec une vitesse de \(4 \ m/s\). Le second a été lancé
\(2 \ s \) après le premier.
a) Si les deux regagnet simultanement le sol, le second a été lancé avec une vitesse initiale de : ?
b) Au moment du lancement du second mobile, le premier a déjà parcouru : ?
VIII. FORCE NESSECAIRE A LA DEFORMATION D'UN CORPS
Une force appliquée sur un corps élastique produit une déformation de ce dernier qui s'allonge.
L'allongement \(\Delta l\) est:
D'où la relation de \(Hooke\):
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
\Delta=e.\frac{F.l_0}{s}\\
\hline
\end{array}
\)
Au lieu du coefficient d'élasticité \(e\), n prend habituellement son inverse appelé module de Young ou module d'élasticité
\(E=\frac{1}{e}\implies e=\frac{1}{E}\)
La relation de Hooke devient alors :
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
\Delta=\frac{1}{E}.\frac{F.l_0}{s}\\
\hline
\end{array}
\)
\(F \ en \ newton (N)\)
\(l_0 \ en \ m\grave{e}tre \ (m)\)
\(s \ en \ m\grave{e}-carr\acute{e}(m^{2})\)
\(E \ en \ newton \ par \ m\grave{e}tre-carr\acute{e} \ (N/m^{2})\)
Exemple
Un fil métallique de \(10 \ m\) de longueur et de \(5 \ \mu m^{2}\) de section est soumis à une force de traction de \(24 \ kgf\). Le fil s'allonge
de \(3 \ mm\). Quel est la valeur du module de Young pour ce métal?
Données: \(l_0=10 \ m; s= \mu m^{2}=5.10^{-6}m^{2};\)
\(F=24 \ kgf=24.9,8=235,2 \ N\);
\(\Delta= 3 \ mm=3.10^{-3} \ m\)
Inconnue : \(E=?\)
Formule : \(E=\frac{F.l_0}{\Delta.s}\)
Résolution
\(E=\frac{235,2.2.10}{3.10^{-3}.5.10^{-6}}=\frac{2352}{15.10^{-9}}=\frac{2352.10^{9}}{15}=156,8.10^{9} \ N/m^{2}\)
La valeur du module de Young est de \(156,8.10^{9} \ N/m^{2}\)
VIII. COMPOSITION ET DECOMPOSITION DE DEUX FORCES
1. Composition de deux forces
a) Notion et résultante
La résultante \(Fr\) de plusieurs forces agissant simultanément sur un même corps est la force qui, à elle seule, produit les mêmes effets que ces
diverses forces ensemble. Ces dernières sont appelées forces composantes.
La recherche de la résultante de plusieurs forces est la composition de ces forces.
b) Composition de deux forces parallèles
Deux forces parallèles sont deux forces dont les lignes d'action ont même direction.
Il y a ici \(4\) cas possibles :
- Les deux forces parallèles ont même sens et même point d'application
- Les deux forces ont même sens, mais des points d'applications différents
- Les deux forces ont meme pont d'application mais de sens contraires
- Les deux forces ont des sens contraires et des points d'applications différents
La résultante est une force de même direction, même sens, même point d'application et d'intensité égale à la somme des intensités
de ces forces.
La résultante est une force parallèle à ces deux forces, d'intensité égale à la somme des intensités de ces deux forces, de même sens
que ces deux forces et appliquée en un point \(0\) siuté sur le segment \(AB\) reliant le point d'application de ces deux forces telle
que \(F_1.OA=F_2.OB\).
La résultante est une force de même direction, même point, même sens que la plus grande force et d'intensité égale à la différence des intensités
de ces deux forces.
La résultante est une force parallèle à ces deux forces, de même sens que la plus grande force, d'intensité égale à la différence des intensités de
ces deux forces; et appliquée en un point \(0\) situé sur le prolongement du segment \(AB\) reliant les points d'application de ces deux forces du côté
de la plus grande telle que \(F_1.OA=F_2.OB\).
N.B : Deux forces de même direction, des mêmes points d'applications, mêmes intensités mais de sens contraires sont opposées, leur résult ante est nulle.
Exemple
Deux forces \(F_1\) et \(F_2\) respectivement de \(3 \ kgf\) et \(7 \ kgf\) ont leurs points d'applications \(A\) et \(B\) à \(40 \ cm\) l'un de l'autre.
Les deux forces sont parallèles mais des sens contraires. On demande de situer le point d'application de la résultante.
Données: \(F_1=3 \ kgf; F_2=7 \ kgf; AB=40 \ cm;\)
Deux forces parallèles de sens contraires
Inconnue: Situer le point d'application de \(Fr\)
Formule: \(F_1.OA=F_2.OB\)
\(F_1.OA=F_2.OB\)
\(OB=OA-OB\)
\(F_1.OA=F_2.(OA-OB)\)
\(3.OA=7.(OA-4O)\)
\(3 \ OA=7OA-280\)
\(3 \ OA-7 \ OA=-280\)
\(-4 \ OA=-280\)
\(OA=\frac{-280}{-4}\)
\(OA=70 \ cm\)
\(OB=70-40=30 \ cm\)
Le point d'application de \(Fr\) est situé sur le prolongement du segment \(AB\) du côté de \(F_2\) à \(70 \ cm\) de \(F_1\) ou
\(30 \ cm\) de \(F_2\).
c) Composition de deux forces concourantes
Ce sont deux forces dont les lignes d'action se coupent en un point(Sécante).
Si les deux forces concourantes ont même point d'application, la résultante a même point d'application et est donnée en direction,
sens et intensité par la diagonale du parallélogramme de force.
L'intensité de la résultante vaut:
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
Fr=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1.F_2\cos\alpha}\\
\hline
\end{array}
\)
\( \begin{array}{|c|l|r|} \hline Fr=\sqrt{F_1^2+F_2^2} \ car \ \cos\alpha=0(\alpha=90{°})\\ \hline \end{array} \)
Exemple
Calculer l'intensité de la résultante de deux forces \(F_1 \ et \ F_2\) faisant entre elles un angle de \(60°\) et dont les intensités respectives sont
\(6 \ kgf \ et \ 10 \ kgf\).
Données: \(\alpha=60°; F_1=6 \ kgf; F_2=10 \ kgf;\)
Deux forces concourantes ayant même point d'application
Inconnue : \(Fr=?\)
Formule : \( Fr=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1.F_2\cos\alpha}\)
Résolution
\( Fr=\sqrt{6^2+10^2+2.6.10\cos 60°}\)
\(\sqrt{36+100+2.6.10.\frac{1}{2}}\)
\(\sqrt{36+100+60}=\sqrt{196=14 \ kgf}\)
L'intensité de la résultante est de \(14 \ kgf\).
2. Moment de force
Le moment \(M\) d'une force \(F\) par rapport à un axe \(0\) est son aptitude à produire un mouvement de rotation autour de cet axe.
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
M=F.d\\
\hline
\end{array}
\)
\(F : force \ en \ N\)
\(d : distance \ de \ l'axe \ \grave{a} \ la \ force \ en \ m\)
\(M : moment \ de \ la \ force \ en \ m\grave{e}tre.Newton (m.N)\)
N.B:
- Deux forces ayant le même moment pra rapport à un même axe sont des forces équipllentes
- Le moment d'une force exercée sur un coprs par rapport à un axe fait tourner le corps autour de l'axe
3. Couple de force
Un couple de forces est un ensemble de deux forces parallèles de mêmes intensités mais de sens contraires.
Un corps soumis à un couple de forces tourne autour d'un axe situé au milieu du segment joignant leur point d'application.
Exempel
C'est un couple de forces qui actionne le volant d'une automobile, le guidon d'une bysclette, le tourne-vis, le robinet,...4. Décomposition d'une force
On peut décomposer une force unique en plusieurs composantes.
Ici, nous examinons uniquement le cas de décomposition d'une force en deux forces concourantes de direction donnée.
Soit une force \(F\) à décomposer en deux composantes \(F_1 \ et \ F_2\) de directions \(d_1 \ et \ d_2\).
A l'extremité de\(F\), on mène successivement un parallèle à \(d_1\) et à \(d_2\). On obtient ainsi un parallèlogramme dont \(F\) est la diagonale.
Les côtés issus du point d'application \(0\) de \(F\) sont les deux composantes \(F_1 \ et\ F_2\).
Exercice
Une force \(F\) de \(20 \ N\) est décomposée en deux forces concourantes \(F_1\ \ et \ F_2\). La composante
\(F_1\) fait avec la force \(F\) un angle de \(60°\) et la composante \(F_2\) fait avec \(F\) un angle de \(30°\).
Quelle est l'intensité de la composante \(F_1 ?\)
Données:
\(F=20 \ N; \alpha:60°; \alpha: 30°\)
Inconnue: \(F_1=?\)
Formule:
Rappel de trigo:
Dans un triangle rectangle, la mesure d'un côté de l'angle droit est égale au produit de l'hypothénus
par le le sinus de l'angle opposé ou par le cosinus de l'angle adjacent à ce côté
\(F_1=F.\cos \ 60° \ ou \ F_1=F.\sin \ 30°\)
Résolution
\(F_1=20.\cos \ 60°=20.\frac{1}{2}=10 \ N\)L'intensité de \(F_1\) est de \(10 \ N\).
5. Composante active d'une force
Une force qui agit sur un corps peut avoir un effet statique(déformer le corsp) ou un effet dynamique(modifier l'état de
repos de ce corps).
Une force qui n'a qu'un efffet statique est appeleé une force inactive; tanis que celle qui a une effet dynamique est une force active.
Souvent si une force se décompose en deux composante, l'une est active et l'autre inactive.
Appplication : Plan incliné
Un plan incliné est toute surface plane qui n'est pas horizontale.
Exemple
Planche utilisée pour faire déplacer les charges sur un véhicule ou un navire,...
Le poids \(G\) du coprs situé sur le plan incliné se décompose en deux composantes dont la force \(F\) qui fait dégringoler le corps sur le
plan incliné (force active); et la force \(A\) qui maintient le corps contre le plan incliné(force inactive).
Seule la force \(F\) produit le travailet elle vaut :
\(
\begin{array}{|c|l|r|}
\hline
F=\frac{G.h}{l}\\
\hline
\end{array}
\)
\(G: poids \ en \ N\)
\(h: hauteur \ en \ m\)
\(l: longueur \ en \ m\)
\(F: force \ en \ N\)
Exemple
Un manoeuvre fait monter une brique de \(57 \ kgf\) le long d'un plan incliné de \(16 \ m\) de long et de \(7 \ m\) de haut.
Pour \(g=9,8 \ m/s^2\), le travail effectué par ce manoeuvre vaut?
Données: \(57 \ kgf=57.9,8=558,6 \ N\);
\(l=16 \ m; h=7 \ m\)
Inconnue: \(W=?; F=?\)
Formules: \(W=F.e; F=\frac{G.h}{l}\)
Résolution
\(F=\frac{558,6.7}{16}=244,4 \ N\)\(W=244,4.16=3910 \ J\)