1.DEFINITION

Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs lettres appelées inconnues et qui n'est vérifiée que pour certaines valeurs
de ces inconnues.
Ces valeurs sont appelées solutions ou racines de l'équation.

Une équation du premier degré à une inconnue dans \(\mathbb{R}\) est une équation qui, après transformation est de la forme \(ax+b=0\) avec
\(a \in \mathbb{R}^{*}, b \in \mathbb{R}\).
*Une équation est constituée de deux membres séparées par le signe d'égalité.
Exemple:

• \(3x-6=0\)
• \(x-1=4\)
• \(\frac{4}{7x}+4=17\)

Le terme qui ne contient pas d'inconnues est appelé terme indépendant.

Je ne souhaite pas répéter cette partie concernant les équations du premier degré. Ainsi, pour plus de détails et voir le cours complet sur les équations du premier degré, veuillez cliquer ici si vous n'avez encore lu cette partie.

Revenons à notre mouton si la première partie est déjà connue.

I.2. EQUATION DU SECOND DEGRÉ

1.DEFINITION

C'est une équation de la forme \(ax^2+bx+c=0\).\((a in \mathbb{R^{*}},\quad b, c in \mathbb{R});\quad x\) est l'inconnue.
L'expression \(ax^2+bx+c=0\) est un trinôme du second degré en \(x\)

2.RESOLUTION

REGLES GENERALES

Soit à résoudre l'équation \(ax^2+bx+c=0\), on calcule le discriminant(réalisant): \(\Delta=b^{2}-4ac\).
ou \(\Delta =\frac({b}{a})^2-\frac{4c}{a} \) (formule simplifiée)

Ces deux formules peuvent faciliter les calculs en focntion des coefficients de l'équation, mais elles donnent toutes la même réponse pour le discriminant.

Voudriez-vous savoir d'où viens la \(\Delta=b^{2}-4ac\)? Si oui, cliquez ici pour en savoir plus et
contempler sa démonstration.

• si `Delta`>0, l'équation admet deux racines réelles distinctes.
  `x = frac(-b +- sqrt(Delta))(2a)`
  Avec:
  `x1=frac(-b+sqrt(Delta))(2*a)` et
  `x2=frac(-b-sqrt(Delta))(2*a)`
  `S={x_1;x_2}`
• si `Delta`=0, l'équation admet une seule racine double qui vaut :
  x1=x2=`-b/(2*a)`
  S={`-b/(2*a)`}
• si `Delta`< 0, l'équation n'a pas de racines réelles.
  `S=Ø`

  EXEMPLE

  Résoudre dans R:

  • `x^2+4x+3=0`
    `a=1, b=4, c=3`
    `Delta=4^2-4.1.3`=`16-12=4>0`
    `x_1=(-4+sqrt(4))/(2.1)`=`(-4+2)/2`=`-2/2=-1`
    `x_1=-1`
    `x_2=(-4-sqrt(4))/(2.1)`=`(-4-2)/2`=`-6/2=-3`
    `x_2=-3`
    `S={-3,-1}`
  • `3x^2-6x+3=0`
    `a=3, b=-6, c=3`
    `Delta=(-6)^2-4.3.3`=`36-36=0`
    `x_1=x_2`=`-b/(2*a)`=`-(-6)/2.3`=`6/6=1`
    `S={1}`
  • -`2x^2+x-5=0`
    `a=-2, b=1, c=-5`
    `Delta=1^2-4.(-2).(-5)`=`1-40=-39<0`
    `S=Ø`

  3.PROPRIETES DES RACINES D'UNE EQUATION DU SECOND DEGRE

  Si l'équation `ax^2+bx+c=0` admet deux racines réelles `x_1` et `x_2`:

  • la somme S des racines vaut: `x_1+x_2=-b/a`
  • le produit P des racines vaut P=`x_1*x_2=c/a`
  Ainsi, l'équation peut s'écrire `x^2-Sx+P=0`

  4.NOMBRE ET SIGNE DES RACINES

  Pour déterminer le nombre et signe des racines d'une équation du second degré à une inconnue, on calcule :

  • le produit P des racines P=`c/a`
  • la somme \(s\) des racines \(S=\frac{-b}{a}\)
  • le discriminant \(\Delta=b^2-4ac\)
  Alors:
  \(\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline Si & \mathrm{l'\acute{e}quation \ admet:}\\ \hline P< 0 & \mathrm{deux racines \ r\acute{e}elles \\ des \ signes \ contraires}\\ \hline P< 0 \ \mathrm{et} \ S=0& \mathrm{deux \ racines \ r\acute{e}elles \ oppos\acute{e}es }\\ \hline P=0& \mathrm{deux \ racines \ r\acute{e}elles \ dont \ l'une \\ est \ nulle \ et \ l'autre \ \acute{e}gale \ \grave{a} \ S}\\ \hline P>0& \mathrm{deux \ racines \ r\acute{e}elles \ ayant \\ m\hat{e}me \ signe \ si \ elles \ existent}\\ \hline P>0, \Delta >0, S>0& \mathrm{deux \ racines \ r\acute{e}elles \ positives}\\ \hline P>0, \Delta =0, S>0& \mathrm{une \ racine \ r\acute{e}elle \ positive}\\ \hline P>0, \Delta >0, S< 0& \mathrm{deux \ racines \ r\acute{e}elles \ n\acute{e}gatives}\\ \hline P>0, \Delta =0, S< 0& \mathrm{une \ racine \ r\acute{e}elle \ n\acute{e}gative}\\ \hline \Delta < 0 & \mathrm{pas \ de \ racines \ r\acute{e}elles}\\ \hline \end{array}\)

  EQUATIONS REDUCTIBLES AU SECOND DEGRÉ

  Une équation réductible ai second degré est une équation d'un degré supérieur à 2 mais dont la résolution peut se ramener à celle d'une équation du second degré. Il s'agit entre autres de: équations bicarrées, équations réciproques

  ---

  
  

  II. LES INEQUATIONS DANS \(\mathbb{R}\)

  II.1. INEQUATIONS DU PEMIER DEGRE

  1.DEFINITION

  Une inéquation du premier degré est une inégalité ayant l'une de formes suivantes: `ax+b>=0`, `ax+b>o`,`ax+b<0`, `ax+b>=0`

  RESOLUTION

  Résoudre une inéquation, c'est prouver entre quelles limites doivent varier les inconnues pour que l'inéquation soit
  satisfaite.
  NB: Lorqu'on multiplie ou on divise les deux membres d'une inéquation:
  

  • Par un même nombre positif, on obtient une inéquation équivalente
  • Par un même nombre négatif, on obtient une inéquation équivalente à Condition de changer le sens de l'inéquation.

  QUELQUES ASTUCES

  • Quand le sens de l'inégalité est de la forme `>=` ou `>`, on prend la partie positive; au cas contraire, on
    prend la partie négative
  • Quand le sens de l'inégalité est de la forme `<` ou `>`, les intervalles seront ouverts; au cas contraire, les intervalles
    seront fermés.

  EXEMPLE

  `4x-8<0`
  `4x<8`
  `x<8/4`
  `x<2`
  Trouvons les intervalles vérifiant cette inéquation.
  
  

  `x`	`-oo`	`2`	`+oo`
  `(4x<8)`	`-`	`0`	`+`

  
  
  ` S={x in RR:x<2}`
  =`]-oo,2[`
  
  

  ---

  II.2. INEQUATIONS DU SECOND DEGRE A UNE INCONNUE DANS `RR`

  • Définition

  Ce sonr les équations de la forme \(a^2+bx+c<=0\) ou \(a^2+bx+c< 0\); avec `a in RR^`*,`b` et `c``in RR`.

  Exemples

  • \(3x^2-5x+8<=0\)
  • \(x^2-3x+2>=0\)
  • Résolution

  On étudie le signe du trinôme \(a^2+bx+c\) et on en déduit l'ensemble `S` des valeurs de `x` qui confèrent à ce trinôme le signe exigé par l'inégalité

  N.B: Le trinôme \(a^2+bx+c\) est du signe de `a` pour les valeurs de `x` situées de part et d'autre des racines et du signe contraire de `a` pour les valeurs de `x` comprises entre les deux racines.
  S'il n'y a pas de racines, il y a partout le signe de `a`.

  Exemples

  Résoudre dans `RR`:
  1)`x^2-8x+7>0`
  `Delta=(-8)^2-4.1.7``=64-28``=36>0`
  `x_1=(-(-8)+sqrt(36))/(2times1)`
  `=(8+6)/2``=14/2=7`
  `x_2=(-(-8)-sqrt(36))/(2times1)`
  `=(8-6)/2``=2/2=1`
  

  `x`	`-infty`	`1`		`7`	`+infty`
  `f(x)`	`+`	`0`	`-`	`0`	`+`

  
  
  `S=]-infty, 1[bigcup]7,+infty[`
  
  2)`-x^2+2x+3<=0`
  `Delta=2^2-4.(-1).3``=4+12``=16>0`
  `x_1=(-2+sqrt(16))/(2times-1)`
  `=(-2+4)/2``=2/(-2)=-1`
  `x_2=(-2-sqrt(16))/(2times-1)`
  `=(-2-4)/2``=(-6)/(-2)=3`
  

  `x`	`-infty`	`-1`		`3`	`+infty`
  `f(x)`	`-`	`0`	`+`	`0`	`-`

  
  
  \(S=]-infty, -1]bigcup[3,+infty[\)

  Exercices d'auto-évaluation

  Résoudre dans `RR`:
  1) \(x^2-3x-10\leq 0\)
  2) \(3x^2+2x+5>0\)
  3) \(-4x^2+12x-9\geq 0\)
  4) \(-x^2-x+20< 0\)
  5) \(2x^2+x+3< 0\)
  

  
  
  

  II.2. INEQUATIONS RÉDUCTIBLES AU SECOND DEGRE

  Inéquations-produits et inéquations fractionnaires

  a)Inéquations-produits
  

  On étudie les signes du produit ou du quotient et on en déduit l'ensemble `S` des valeurs de `x` qui confèrent au produit ou au quotient le signe exigé par l'inégalité.

  Exemples

  Résoudre dans `RR`:
  1)`(x^2-5x+6)(-x^2+x+20)<0`
  `x^2-5x+6=0`
  `Delta=(-5)^2-4.1.6`=`25-24=1>0`
  `x_1=(-(-5)+sqrt(1))/(2times1)`=`6/2=3`
  `x_2=(-(-5)-sqrt(1))/(2times1)`=`4/2=2`
  
  `-x^2-x+20`
  `Delta=(-1)^2-4.(-1).20`=`1+80=81>0`
  `x_1=(-(-1)+sqrt(81))/(2times-1)`=`10/(-2)=-5`
  `x_2=(-(-1)-sqrt(81))/(2times-1)`=`(-8)/(-2)=4`
  
  

  `x`	`-infty`		`-5`		`2`		`3`		`4`	`+infty`
  `x^2+5x+6`	`+`	`+`		`+`	0	`-`	`0`	`+`		`+`
  `-x^2-x+20`	`-`	`-`	`0`	`+`		`+`		`+`	`0`	`-`
  `f(x)`	`-`	`-`	`0`	`+`	`0`	`-`	`0`	`+`	`0`	`-`

  
  
  `S=]-infty,-5[bigcup]2,3[bigcup]4,+infty[`
  
  
  2) `(x^2-5x+4)/(x^2-7x+6)>=0`