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EQUATION DU PREMIER DEGRE

1.DEFINITION

Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs lettres appelées inconnues et qui n'est vérifiée que pour certaines valeurs
de ces inconnues.
Ces valeurs sont appelées solutions ou racines de l'équation.

Une équation du premier degré à une inconnue dans $\mathbb{R}$ est une équation qui, après transformation est de la forme $ax+b=0$ avec
$a \in \mathbb{R}^{*}, b \in \mathbb{R}$ ou encore $a\ et\ b\in \mathbb{C}$.
*Une équation est constituée de deux membres séparées par le signe d'égalité.
Exemple:

$3x-6=0$
$x-1=4$
$\frac{4}{7x}+4=17$

Le terme qui ne contient pas d'inconnues est appelé terme indépendant.

Clairaut, en 1743, parlait déjà d'équation du 1er degré; d'Alembert, en 1752, dans son Encyclopédie, parle d'équation linéaire (du latin linea = ligne droite) pour signifier que l'inconnue n'apparait qu'au premier degré: pas d'exposant entier ou fractionnaire.

L'équation $ax + by + c =0$ est une équation linéaire à 2 variables $x$ et $y$. En termes de fonction, on distingue aujourd'hui les appellations $f(x) = ax$ : fonction linéaire et $f(x) = ax+b$: fonction affine (terme moderne, du latin affinis = voisin, allié), dont les représentations graphiques sont des droites (des lignes).

Discussion

Si $b = 0$, l'équation se réduit à $ax=0$
C'est un cas trivial paradoxalement mal résolu parfois dans les écoles où l'on rencontre trop souvent la réponse $x=- a$, confusion classique avec l'équation $x+a = 0$.

Si a est non nul, l'unique solution de l'équation $ax=0$ est $x=0$

car il s'agit là d'un produit nul $a\times x=0$ et $a$ étant non nul, $x$ l'est nécessairement.

Si $a = 0$, l'équation se réduit à $b = 0$ : c'est un cas trivial qui conduit à aucune solution ou bien une infinité

Si $b\ne 0$ l'équation $ax+b=0_) est équivalente à \(ax=-b$ et la solution est : $x=\frac{-b}{a}$

I..1.2 Equation à une inconnue

Une équation est dite à une inconnue si elle ne comporte qu’une seule inconnue (variable).
Exemple : $2x+3=4x+6 ; \: x^{2}=+5x+6=0 \: ; x^{3}+25x^{2}+30=0$ sont des équations à une variable.
Contre-exemple :$2x+3x=4$ n’est pas une équation à une inconnue.

I.1.3 Equation du premier degré

Une équation est dite du premier degré si le degré supérieur (l’exposant le plus élevé) de son (ses) inconnue(s) est 1.
Exemple : $x+4x=5+2x; \: x+2y=3$ sont des équations du premier degré.
Contre-exemple :$x^{2}-6x+3=0$ n’est pas une équation du premier degré.

I.1.4 Equation du premier degré à une inconnue

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation contenant une seule inconnue et dont le degré supérieur de cette inconnue est 1.
La forme générale est : $ax+b=0$. Avec $a\neq 0 \ et \ b \in \mathbb{R}$
Exemple : $5x+4=0 \ et\ 2x+4=6x+3$ sont des équations du premier degré à une inconnue.
Contre-exemple : $x^{2}+5x+6=0$ n’est pas une équation du premier degré.

II.2 Résolution

Résoudre dans R l'équation `ax+b=0`, c'est tout simplement déterminer les valeurs réelles de `x` pour que l'égalité soit vraie.

REGLES

On regroupe tous les termes avec l'inconnue dans un membre et les autres termes à part;
On transforme l'équation petit à petit jusqu'à arriver à une expression telle que `x=a`
Chaque fois qu'un terme change de membre, il change aussi de signe.

Exemple

`2x-4=0`
`2x=4`
`x=4/2`
`x=2`

Vérification

`4x+10=2x-12`
`4x-2x=-10-12`
`2x=-22`
`x=-22/2`
`x=-11`

Vérification
`4*(-11)+10=2*(-11)-12`
`-44+10=-22-12`
`-34=34`
`34-34=0`
Au finish Solution`={-11}`

QUELQUES PRINCIPES D'EQUIVALENCES

En ajoutant un même nombre aux deux membres d'une égalité, on obtient une nouvelle égalité
En divisant une égalité par un même nombre, on obtient une nouvelle égalité.

EXEMPLES

`2x-4=0`
`2x-4+4=0+4`
`(2x)/2`=`4/2`
`x=2`
`8-x=4`
`-x=8-4`
`x=4`
ou `8-x-8=4-8`
`-x=-4`
`x=4`

Exemple 1

Résoudre les équations suivantes :
a)$5x+3=3x-5$
Comme il n’y a pas de parenthèses, on passe directement à la deuxième étape : ramenons tous les termes au premier membre de l’égalité (c’est-à-dire avant le signe =).
Sans oublier que si un terme change de membre, il change aussi de signe
$5x+3-3x+5=0 \quad \quad (3x \; et\; -5 $ ont changé de membre, leurs signes changent aussi)
Groupons les termes semblables (les termes en $x$ entre eux et les termes sans $x$ entre eux) :
$(5x-3x) +(3+5)=0$
$\Leftrightarrow 2x+8=0$ (Selon la forme générale, a =2 et b=8)
-Renvoyons le terme indépendant (8) au second membre :
$\Leftrightarrow 2x=-8$
$\Leftrightarrow x=\frac{-8}{2}$
$S=\{4\}$
b)

$(3x+3)-4=2x-2(2x-2)$
$\Leftrightarrow 4×3x+4×3-4=2x-2×2x-2×(-2)$
$\Leftrightarrow 12x+12-4=2x-4x+4$
$\Leftrightarrow 12x+12-4-2x+4x-4=0$
$\Leftrightarrow (12x-2x+4x)+(12-4-4)=0$
$\Leftrightarrow14x+4=0$
$\Leftrightarrow 14x=-4$
$\Leftrightarrow x= \frac {-4}{14}$
$\Leftrightarrow x=\frac {-2}{7}$
$S=\{\frac {-2}{7}\}$

$\frac{(2x+3)}{4}+\frac{x-5}{3}-\frac{x}{2}=2$
Dans ce cas, trouvons d’abord le dénominateur commun, dans notre cas, c’est 12.
Voici ce qu’on va faire : pour chaque terme, on divise le dénominateur par le dénominateur du terme, multiplié par le numérateur.
$ \frac{3(2x+3)}{12}+\frac{4(x-5)}{12}-\frac{ 6\times x}{12}=\frac {12 \times 2}{12}$
$\Leftrightarrow \frac{ 3(2x+3)+4(x-5)- 6\times x}{12}= \frac {12 \times 2}{12}$
$\Leftrightarrow \frac{6x+9+4x-20-6x}{12}= \frac { 24}{12}$
Comme les deux membres ont le même dénominateur, on peut simplifier les deux dénominateurs pour ne rester qu’avec les numérateurs.
$\Leftrightarrow 6x+9+4x-20-6x=24$
$\Leftrightarrow 6x+9+4x-20-6x-24=0$
$\Leftrightarrow (6x+4x-6x)+(9-20-24)=0$
$\Leftrightarrow 4x-35=0$
$\Leftrightarrow 4x=35$
$\Leftrightarrow x=\frac{35}{4}$
$S=\{\frac{35}{4}\}$

I.2.2 2e méthode :

Ramener les termes en x au premier membre et les termes indépendants au second membre
Grouper les termes pour avoir $$ax=b\)
Calculer $ x=\frac{b}{a}$

Exemple 2

Résoudre : $3(2x-3)+4=x-4(2x-1)$
$\Leftrightarrow 6x-9+4=x-8x+4$
$\Leftrightarrow 6x-x+8x=4+9-4$
$\Leftrightarrow 13x=9$
$\Leftrightarrow x=\frac{9}{13}$
$ S=\frac{9}{13}$

Exemple 3

Résoudre : $5x-4x-2(x-3)-52=-3(x-5)+52$
$\Leftrightarrow 5x-4x-2x+6-52=-3x+15+52$
On groupe les termes semblables de chaque membre
$\Leftrightarrow (5x-4x-2x)+(6-52)=-3x+(15+52)$
$\Leftrightarrow -x-46=-3x+67$
$\Leftrightarrow -x+3x=67+46$
$\Leftrightarrow 2x=113$
$\Leftrightarrow x=\frac{113}{2}$
$S=\{\frac{113}{2}\}$

I.3 Equations particulières

Si lors de la résolution, on trouve : $O.x=b$ avec $ b\ \neq 0$, alors l’équation est impossible et $ S=\varnothing$
Et si on trouve $0.x=0$, alors l’équation est indéterminée et $S=\mathbb {R}$.

Exemple 4

Résoudre les équations ci-après :

a) $2x+3=2(x-4)+3$
$\Leftrightarrow 2x+3=2x-8+3$
$\Leftrightarrow 2x-2x=-8+3-3$
$\Leftrightarrow 0x=-8$
L’équation est impossible, $S=\varnothing$

b) $5-3(x-4)=-3x+17$
$\Leftrightarrow 5-3x+12=-3x+17$
$\Leftrightarrow -3x+3x=17-5-12$
$\Leftrightarrow 0x=0$
L’équation est indéterminée, $S=\mathbb {R}$

Remarque

Deux équations sont dites équivalentes si et seulement si elles admettent la même solution. Exemple : $2x+4=0 \ et \ x+2=0$ sont équivalentes car elles ont la meme solution $\{2\}$.

EQUATIONS PARTICULIERES

Dans la résolution de certaines équations du premier degré, on peut arriver aux cas suivants:

`a=0` et `b!=0`
L'équation s'écrit: `0x+b=0` ou `0x=-b`
Dans ce cas, l'équation est dite impossible et Solution=`{0}`

EXEMPLE

`5x-3=2+5x`
`5x-5x=3+2`
`0x=5`
Cette équation est impossible. `S=Ø`
`a=0` et `b=0`
L'équation devient: `0x+0=0`
Dans ce cas, l'équation est dite indeterminée et `S=RR`

EXEMPLE
`3x+2x-x+6=4x+6`
`3x+2x-x-4x=-6+6`
`5x-5xx=0`
`0x=0`
Elle est une équation indeterminée; `S`=`RR`

Il est claire que la résolution d'une équation du premier dgré n'est rien d'autre que l'abscisse du point d'intersection
de la fonction `f(x):ax+b` et de l'axe des abscisses