II. EQUATIONS REDUCTIBLES AU PREMIER DEGRE

II. EQUATIONS REDUCTIBLES AU PREMIER DEGRE

II.1 EQUATIONS PRODUITS \(A.B.C…=0\)

EQUATIONS CONTENANT DES PARENTHESES, CROCHETS OU ACCOLADES

Pour résoudre ces genres d'équations, on supprime les parenthèes, accolades ou crochets avnt d'opérer.

EXEMPLE

EQUATIONS CONTENANT LE DENOMINATEUR

• On cherche le ppcm si c'est possible pour réduire les termes au même dénominateur
• On le supprime

EXEMPLE

EQUATIONS REDUCTIBLES AU PREMIER DEGRE

Ce sont des équations d'un degré supérieur à un mais dont la résolution peut se ramener à celle d'un équation du premier degré.
Il s'agit en entre autres de:

• EQUATION DE LA FORME:`A.B.C...=0`
  On l'appelle également équation-produit.
  

  Pour résoudre une telle équation, on procède comme suit:

  • On regroupe tous les termes dans un même membre;
  • On décompose en facteurs(si c'est possible, ce qui donne un produit des facteurs du premier degré;
  • On résout l'équation.

  EXEMPLE

  • `x^3-9x=0`
    `x(x^2-9)=0`
    `x=0`
    `x^2-9=0`
    `(x-3)(x+3)=0`
    `x-3=0`
    `x=3`
    `x+3=0`
    `x=-3`
    `S={-3,0,3}`
  • `x^2-5x+6=0`
    `(x-2)(x-3)=0`
    `x-2=0`
    `x=2`
    `x-3=0`
    `x=3`
    `S={2,3}`

  ZEROS ET SIGNE D'UN PRODUIT DES FACTEURS

  A titre d'exemple

  
  

  Soit `f(x)=(x-2)(2x-8)(3x-27)`
  On démande d'étudier les signes de cette fonction.
  Pour résoudre cette équation, on étudie séparement le signe
  de chaque facteur qui est de la forme `ax+b=0`
  Trouvons d'abord les racines de cette équation.
  `x-2=0`
  `x=2`
  `2x-8=0`
  `2x=8`
  `x=8/2`
  `x=4`
  `3x-27=0`
  `3x=27`
  `x=27/3`
  `x=9`
  Traçons le tableau de variation
  \(\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x& -\infty && 2 && 4 && 9 && +\infty\\ \hline (x-2)&&-&0&+&&+&+&+\\ \hline (2x-8)&&-&&-&0&+&+&+\\ \hline (3x-27)&&-&&-&-&-&0&+\\ \hline &&-&0&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\)

  REMARQUE

  Soit l'équation \(x^{2}=0 (a \in \mathbb{R})\)

  • Si \(a\) est supérieur à \(0\), \(x^{2}=a \iff x^{2}=0\)
    \(\iff [x-\sqrt{a};x+\sqrt{a}=0]\)
    \(\iff x=\sqrt{a} \text{ou} \ x=-\sqrt{a}\)
    \(S=\{\sqrt{a}, -\sqrt{a}\}\)
  • Si \(a < 0\), \(x^2=a\) n'a pas de solution et \(S=\varnothing \)
  • L'équation \(x^{2}=0\) admet une solution unique; \(S=\{0\}\)

• EQUATION DE LA FORME \(frac{(A.B.C)}{(D.E)}\)
  

  EQUATION FRACTIONNAIRE OU EQUATION-QUOTIENT

  \(A,B,C,D,E\) sont des binômes du premier degré en \(x\)

  Les équations fractionnaires sont celles dont un dénominateur contient une inconnue.

  RESOLUTION

  • Toute valeur qui annule le dénominateur est écartéé(Condition préalable:C.P)
  • On résout l'équation
  • On retient les valeurs de l'iconnue qui vérifient la C.P posée.

  EXEMPLE

  Résoudre dans `RR` l'équation \(\frac{2x+8}{x+3}-1=0\)
  \(C.P= x\ne 3\)
  =`(2x+8-1(x+3))/(x+3)=0`
  =`2x+8-x-3=0`
  =`2x-x=3-8`
  `x=-5`
  \(S=\{-5\}\)

  Exercices

  Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes:
  

  • `((x-1)(5x+25))/(9x+1)=0`
  • `30/(x+5)``-15/3+``(5+4x)/(x+5)=0`
  • `(x-1)/x``-1/(x+1)`=`(2x-1)/(x(x+1))`
  • `(x^2-5x+6)/(x^2-4)`=0

  ---

REMARQUE

On peut parfois résoudre des équations analogues à la précédente en aplliquant les propriétés de proportion.
Soit la proportion \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\); On a:

• `a/b`=`c/d`=`(a+c)/(b+d)`
• `a/b`=`c/d`=`(a-c)/(b-d)`

EXEMPLE

`(5+x)/(7+x)=(4-x)/(5-x)`
C.P`=x!=-7`; `x!=5`
`(5+x)(5-x)=(7+x)(4-x)`
`25-5x+5x-x^2=28-7x+4x-x^2`
`25-x^2=28-3x-x^2`
`-x^2+3x+x^2=28-25`
`3x=3`
`x=3/3`
`x=1`
`S={1}`

II.1 EQUATIONS PRODUITS \(A.B.C…=0\)

Soit à résoudre l’équation \(A.B.C=0\) )où A, B et C sont des facteurs du premier degré, on utilise la propriété suivante : \(A.B.C…=0 \ \Leftrightarrow \ (A=0) \; ou \; (B=0)ou (C=0)…\)

Exemple 5

Exemple 5

Résoudre \((2x-3)(4x-1)(x-4)(-2x+8)=0\)
\(\Leftrightarrow 2x-3=0 \; ou \; 4x-1=0 \; ou \; x-4=0 \; ou\; -2x+8=0\)
\(\Leftrightarrow 2x=3 \ ou\ 4x=1 \ ou\ x=4 \ ou\ -2x=-8\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{2} \ ou x=\frac{1}{4}\ ou x=4 \ ou -x=\frac{-8}{-2}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{3}{2} \ ou\ x=\frac{1}{4} \ ou\ x=4 \ ou \ x=4\)
\(S=\{\frac{3}{2}, \ \frac{1}{4} \ , 4 \}\)

Remarque

Remarque

Même les équations de degré supérieur à 1 peuvent être ramenées sous cette forme par décomposition ou factorisation.

Exemple 6

Exemple 6

Résoudre \(x^2-5x+6=0\)


Décomposons le trinôme donné. Il y a plusieurs méthodes pour le faire, mais voici celle que nous allons utiliser : Soit \(P(x)=x^2-5x+6\)

• Trouver les diviseurs du terme indépendant

Dans notre cas, le terme indépendant c’est 6 et ses diviseurs sont : \( \pm 1,\ ; \pm2\ ; \pm 3 \ et \ \pm 6\)
Remplacer les diviseurs dans le polynôme et retenir celui qui annule le polynôme, c’est-à-dire, soit \(x_{0}\), tel que \(x_{0}\) est diviseur du terme indépendant, calculer \(P(x_{0})\) et retenir celui pour lequel \(P(x_{0})=0\).

Pour notre exemple : Pour -1 ∶ \(P(-1)=(-1)^2-5(-1)+6=12\neq0\) à rejeter
Pour 1 ∶ \(P(1)=(1)^2-5(1)+6=2\neq 0\) à rejeter
Pour 2 ∶ \(P(2)=(2)^2-5(2)+6=0\) à considérer
Inutile de tester les autres diviseurs car on a déjà trouvé un qui vérifie :

• Effectuer la division de \(P(x) \: par \; x-x_{0},\: x_{0}\) étant le diviseur qui a vérifié la condition prétendante.
Le polynôme sera égal au produit du diviseur et du quotient :


\(x^2-5x+6 \Leftrightarrow(x-2)(x-3)\)
\(\Rightarrow x^2-5x+6=0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0\)
\(\Leftrightarrow x-2=0 \ ou \ x-3=0\)
\(\Leftrightarrow x=2 \ ou\ x=3\)
\(S=\{2;3\}\)

Exemple 7

Exemple 7

Résoudre : \(x^3-6x^2+3x+10=0\)
Décomposons \(x^3-6x^2+3x+10\)
Les diviseurs de 10 sont : \(\pm1\ ;\ \pm2 \ ;\ \pm5 \ et \ \pm10\)
Parmi ces diviseurs, -1 annule le polynôme
Effectuons la division de \(x^3-6x^2+3x+10 \ par\ x+1\)


\(x^3-6x^2+3x+10\Leftrightarrow (x+1)(x^2-7x+10)\)
On constate qu’après décomposition, il y a un facteur, qui n’est pas du premier degré, nous devons le décomposer à son tour.
\(x^2-7x+10\)
Parmi les diviseurs de 10, il y a 2 qui annule le trinôme, effectuons la division de \(x^2-7x+10 \ par\ x-2\)


\(x^3-6x^2+3x+10 \Leftrightarrow (x+1)(x^2-7x+10)\)
\(Or\ x^2-7x+10 \Leftrightarrow (x-2)(x-5)\)
\(\Leftrightarrow x^3-6x^2+3x +10\Leftrightarrow(x+1)(x-2)(x-5)\)
\(\Leftrightarrow x+1=0 \ ou\ x-2=0 ou x=5\)
\(\Leftrightarrow x=-1 \ ou \ x=2 \ ou\ x=5\)
\(S=\{-1\ ;\ 2\ ;\ 5\}\)

II.2. EQUATIONS FRACTIONNAIRES

II.2. EQUATIONS FRACTIONNAIRES

Une équation du premier degré est dite fractionnaire si un dénominateur au moins contient une inconnue.

Résolution

Résolution

Pour résoudre une équation fractionnaire, on procède comme suit :

• Poser les conditions préalables sur les dénominateurs
• Résoudre l’équation
• Retenir que les valeurs de l’inconnue qui vérifient la condition préalable

Exemple 8

Exemple 8

Exemple 9

Exemple 9

II.3 EQUATIONS CONTENANT DES VALEURS ABSOLUES

II.3 EQUATIONS CONTENANT DES VALEURS ABSOLUES

Exemple 10

Exemple 10

Exemple 11

Exemple 11

On va examiner les trois cas en remplaçant à chaque fois l’expression entre signe valeur absolue par sa valeur correspondante dans l’intervalle considéré.