EQUATION DU PREMIER DEGRE
III. PROBLEMES DONT LA RESOLUTION SE RAMENE A UNE EQUATION DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE.
III. PROBLEMES DONT LA RESOLUTION CONDUIT A UNE EQUATION DU PREMIER DEGRE A UNE INCONNUE.
Dans la solution arithmétique d'un problème, il n' y a pas une méthode qui s'applique à tous les problèmes. Ainsi, pour résoudre
par exemple un problème se ramenant à une équation du premier degré, on procède comme suit:
- Etape 1: Choix de l'inconnue
- Etape 2: Mise en équation
- Etape 3: Résolution de l'équation
- Etape 4: Conclusion
EXEMPLE
Le triple d'un nombre augmenté de `1` est égal au double de ce nombre diminué de `5`. Quel est ce nombre?
Résolution
Etape 1: Supposons que `x` est ce nombre(qu'on cherche). Son triple vaut `3x`; son double vaut \(2x\).Etape 2: D'après l'énonc du problème, nous avons l'équation suivante: `3x+1=2x-5`(Mise en équation)
Etape 3: `3x+1=2x-5`
`3x-2x=-5-1`
\(x=-6\)
Etape 4: Vérifions avant de conclure;
`(3*-6)+1=?(2*-6)-5`
`-18+1=-12-5`
\(-17=17\)
Ce nombre est \(8\)
Exercices
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les problèmes suivants:
- \(1\) En retranchant \(20\) à un nombre, le résultat est est égal à \(\frac{7}{2}\) fois le nombre. Quel est ce nombre?
-
\(2.\) Le numérateur d'une fraction est égal au dénominateur augmenté de `50`. En ajoutant 7 aux deux termes de la fraction,
elle est alors égale à \(3\). Trouver cette fraction.
Résolution
\(1.\) Soit \(x\) ce nombre,
On a : \(x-20=\frac{7}{2}x \\ \frac{2x-40-7x}{2} \)
\(2x-40=7x \\ 2x-7x=40 \\-5x=40 \\ x=\frac{40}{-5} \\x=-8 \)
\(-8-20=\frac{7}{2}\times -8 \\ -28=\frac{-52}{2} \\ -28=-28 \)
Donc ce nombre est \(-8\)
\(2.\) Soit \(\frac{a}{b}\) la fraction. Or \(a=b+50\)
D'où la fraction : \(\frac{b+50}{b}\). Ici, nous avons tout simplement remplacé \(a\) par sa valeur correspondante.
Nous avons alors l'équation : \(\frac{b+50+7}{b+7}=3\)
Car d'après la question, en ajoutant \(7\) aux deux termes (qui sont le numérateur et le dénominateur), la fraction est alors égale à \(3\).
Nous n'avons donc rien inventé.
Sachant que le produit des moyens est égal au produit des extrêmes, nous obtenons :
\(b+50+7=3(b+7)\)
\(b+50+7=3b+21\)
\(b-3b=-57+21 \\ -2b=-36\)
\(b=\frac{-36}{-2}=18\)
La fraction est \(\frac{18+50}{18}=\frac{68}{18}\)
Exemple 12
Exemple 12
Après avoir perdu 20% de sa valeur, un objet vaut 64u.m.Quel était le prix initial ?
-Choix de l’inconnue
Soit x le prix initial
- Mise en équation
Quand on perd, c’est la diminution, on aura donc :
\(x-20\% \ de\; x=64\)
\(\Leftrightarrow x-\frac{20}{100} \times x=64\)
\(\Leftrightarrow x-0,2x=64\)
- Résolution
\(x-0,2x=64 \)
\(\Leftrightarrow (1-0,2)x=64\)
\(\Leftrightarrow 0,8x=64\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{64}{0,8}\)
\(\Leftrightarrow x=80\)
Donc la valeur initiale était de 80 u.m
Exemple 13
Si je gagne 30$, j’aurai le double de ce que j’aurai si je perdais 30%. Combien ai-je ?
- Choix de l’inconnue
Soit x ce que je possède
- Mise en équation
Si je gagne 30$, cela veut dire si on m’ajoute 30$ à ce que je possède : \(x+30\)
Si je perds 30% : \(x-30\% \ de\ x\).
On peut avoir l’équation :
\(x+30=2\times (x-30\% \; de\; x)\)
$\(x+30=2\times (x-30\% \; de\; x)\)
\(\Leftrightarrow x+30=2(x-\frac{30}{100}\times x)\)
\(\Leftrightarrow x+30=2(x-0,3x)\)
\(\Leftrightarrow x+30=2\times 0,7x\)
\(\Leftrightarrow x+30=1,4x\)
\(\Leftrightarrow 1,4x-x=30\)
\(\Leftrightarrow 0,4x=30\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{30}{0,4}\)
\(\Leftrightarrow x=75\)
Donc j’ai 75$
Exemple 13
Exemple 13
Avant sa mort, Mr MASAKALA lègue son avoir de \(9000\$\) à ses deux enfants. Sachant que la part de l'aîné dépasse le double de celle du cadet de \(3000\$\), trouver la part d'un chacun.
Résolution
Posons
\(x :\) la part de l'aîné
\(y :\) la part du cadet.
Avec ces deux inconnues, nous pouvons former le système suivant :
\(
\left\{
\begin{aligned}
x = 2y+3000\\
x+y=9000\\
\end{aligned}
\right.
\)
Comment résoudre ce système ?
Nous avons déjà étudié la résolution d'un système d'équations ? Oui !
Pour ce système, je choisis la méthode substitution.
\(
\left\{
\begin{aligned}
x = 2y+3000\ & (1)\
x+y=9000 & (2)\\
\end{aligned}
\right.
\)
En faisant \((1)\) dans \((2)\), nous aurons :
\(2y+3000+y=9000\)
\(3y=6000\)
\(y=\frac{6000}{3}\)
Finalement \(y=2000\ (3)\)
Faisons \((3)\) dans \((1)\). Nous obtenons :
\(x=2\times 2000+3000\)
\(x=4000+3000\)
D'où \(x=7000\)
Donc la part de l'aîné est : \(7000\$\) et celle du cadet est : \(3000\$\)
Exercices
-
La longueur et la largeur d'une parcelle de \(32m\) de périmètre et de \(240m^2\) valent respectivement ?
- \(15m\ et \ 18m\)
- \(20m\ et\ 15m\)
- \(25m\ et \ 11m\)
- \(20m\ et \ 12m\)
-
Les \(\frac{3}{5}\) d'un morceau du gâteau de votre anniversaire valent \(1800 FC\). Que vaut un morceau ?
- \(3000FC\)
- \(9000FC\)
- \(1500FC\)
- \(180FC\)
- \(600FC\)