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MATRICE

DETERMINANT D'UNE MATRICE

Définition

Soit \(A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,j} & \dots & a_{1,p}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,j} & \dots & a_{2,p}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{i,1} & a_{i,2} & \ldots & a_{i,j} & \dots & a_{i,p}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \ldots & a_{n,j} & \dots & a_{n,p} \end{pmatrix} \) une matrice carrée d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbb{R}\).

On appelle déterminant de \(A\) d'ordre \(n\), le réel \((A)\) ou \(\vdots A\) et présenté sous la forme:
\(\lvert A \rvert = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,j} & \dots & a_{1,p}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,j} & \dots & a_{2,p}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{i,1} & a_{i,2} & \ldots & a_{i,j} & \dots & a_{i,p}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \ldots & a_{n,j} & \dots & a_{n,p} \end{pmatrix} \)

Remarques

  • \(A\) une matrice d'ordre \(n\) est associe un déterminant de même ordre.
  • Un déterminant est formé des lignes et des colonnes appelées rangées.

Calcul du déterminant d'une matrice

a) Déterminant d'ordre \(2\)
\(\lvert A \rvert = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{pmatrix} \) \(=a_{11}\times a_{22}-a_{21}\times a_{12}\)

Exemple \( \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 5\\ \end{pmatrix} \) \(=2.5 -4.3\)
\(=-2\)

b) Déterminant d'ordre \(3\)

\(\lvert A \rvert = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{pmatrix} \)

Règle de Sarrus

On écrit à la droite du déterminant les deux premières colonnes ou en bas les deux premières lignes

\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}\) \( \begin{matrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32}\\ \end{matrix} \)
ou
\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ \end{vmatrix}\)

  • On effectue la somme \(S_{1}\) des produits des éléments des diagonales descendantes
    \(S_{1}=a_{11}.a_{22}.a_{33}+a_{12}.a_{23}.a_{31}+a_{13}.a_{21}.a_{32}\)
  • On effectue la somme \(S_{2}\) des produits des éléments des diagonales ascendantes
    \(S_{2}=a_{31}.a{22}.a_{13}+a{32}.a_{23}.a_{11}+a_{33}.a_{21}.a_{12}\)
  • \(\lvert A \rvert =S_{1}-S_{2}\)

Exemple

  • \( A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ -2 & -3 & 1\\ \end{pmatrix} \)
    \(\lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ -2 & -3 & 1\\ \end{vmatrix}\) \( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ -2 & -3 \\ \end{matrix} \)
    \(=[(1.1.1)+(2.2.(-2))+(3.0.(-3))]-[((-2).1.3)+((-3).2.1)+(1.0.2)]\)
    \(=(1-8-0)-(-6-6+0)\)
    \(=-7+12\)
    \(=5\)
  • \(B= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ -2 & -3 & 1\\ \end{pmatrix} \)

    \(\lvert B \rvert = \underset{\begin{matrix} 3 & 4 & 2\\ 1 & 2 &-1\\ \end{matrix}} {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ -2 & -3 & 1\\ \end{pmatrix}} \)
    \(=[(3.2.5)+(1.0.2)+(1.4.(-1))]-[(1.2.2)+(3.0.(-1))+(1.4.5)]\)
    \(=(30+0-4)-(4+0+20)\)
    \(=2\)

Remarques

La règle de Sarrus n'est applicable qu'aux déterminants d'ordre \(3\).



c) Mineurs et cofacteurs d'un déterminant

1.Défins

Soit \(A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\\ \end{pmatrix} \) un déterminant d'ordre \(n\);

  1. On appelle mineur d'élément \(a_{ij}\) du déterminant \(\lvert A \rvert\), le déterminant \(A_{ij}\) d'ordre \(n-1\) obtenu en supprimant
    la \(i^{e}\) ligne et la \(j^{e}\) colonne de \(\lvert A \rvert\).

    Exemples

    • \( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{pmatrix} \)
      \( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\\ \end{pmatrix} \)

      Le mineur de \(a_{12}\) est \(\lvert A_{12} \rvert=a_{21}\)
    • \( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{pmatrix} \)
      \( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{pmatrix} \)

      Le mineur de \(a_{22}\) est \(\lvert A_{22} \rvert= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33}\\ \end{pmatrix}\)
  2. On appelle cofacteur associé à un élément \(a_{ij}\) du déterminant \(\lvert A_{22} \rvert\) le réel défini par:
    \(C_{ij}=(-1)^{i+j}. \lvert A_{ij} \rvert\)

    3. Exemple

    \( \begin{pmatrix} 2 & 5 & 1\\ -6 & 2 & -4\\ 0 & 8 & 6\\ \end{pmatrix} \)

    Le cofacteur de \((a_{23})\) est:
    \(C_{23}=(-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 5\\ 0 & 8\\ \end{vmatrix}\)
    \(=(-1)^{5}(16-0)\)
    \(=-16\)
    Le cofacteur de \(0\) est:
    \(C_{31}=(-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 5 & 1\\ 2 & -4\\ \end{vmatrix}\)
    \(=(-1)^{4}(-20-2\)
    \(=-22\)

2.Calcul d'un déterminant suivant les éléments d'une rangée

Soit \(A\) un déterminant d'ordre \(n\).
La valeur d'un déterminant est égale à la somme des produits des termes d'une rangée par leurs cofacteurs respectifs.

Exemples

  • \(\lvert A \rvert = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} \)
    En développant suivant les éléments de la première ligne on a:
    \(\lvert A \rvert = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}\)
    \(=a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \)
    \(-a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}\)
    \(+a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)
    \(=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{31}a_{23})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22})\)
    \(=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{32}a_{23}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{12}a_{31}a_{23}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{31}a_{22}\)

Remarques

  • La règle des cofacteurs permet de calucler tout déterminant d'ordre \(n\);
  • La valeur d'un déterminant ne dépend pas de la rangée par rapport à laquelle on le développe;
  • Si u déterminant possède une rangée dont tous les termes sont nuls alors sa valeur est nulle.

MATRICES PARTICULIERES

a) Comatrice d'une matrice carrée

Soit \(A\) une matrice carée d'ordre \(n\).
On appelle Comatrice de \(A\) notée \(com(A)\), la matrice des cofacteurs de \(A\).

Exemple

\(A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\ 4 & 3 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ \end{pmatrix} \)

\(Com(A)= \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} 3 & 1\\3 & 2\\ \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 4 & 1\\2 & 2\\ \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 4 & 3\\2 & 3\\ \end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix} -1 & 0\\3 & 2\\ \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 2 & 0\\2 & 2\\ \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & -1\\2 & 3\\ \end{vmatrix}\\ +\begin{vmatrix} -1 & 0\\3 & 1\\ \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & 0\\4 & 1\\ \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 2 & -1\\4 & 3\\ \end{vmatrix}\\ \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 6-3 & -(8-2) & (12-6)\\ 2 & 4 & -(6+2)\\ -1 & -2 & (6+4)\\ \end{pmatrix} \)

b) Adjointe d'une matrice carrée

Soit \(A\) une matrice d'ordre \(n\).
On appelle matrice adjointe de \(A\), notéé \(Adj(A)\), la transposée de la Comatrice de \(A\).
\(Adj(A)=^{t}com(A)\)

Exemple

\(A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0\\ 4 & 3 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ \end{pmatrix} \)
\(com(A)= \begin{pmatrix} 3 & -6 & 6\\ 2 & 4 & -8\\ -1 & 2 & 10\\ \end{pmatrix} \)
\(adj(A)= \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1\\ -6 & 2 & -2\\ 6 & -8 & 10\\ \end{pmatrix} \)



c) Matrices régulières et singulières

Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre \(n\).
La matrice \(A\) est dite régulière si son déterminant n'est pas nul; dans le cas contraire elle dite singulière.

Exemples

\( \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 1\\ \end{pmatrix} \) matrice régulière
\( \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 6\\ \end{pmatrix} \) matrice singulière

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