MATRICE
RANG D'UNE MATRICE
Définition
On appelle rang d'une matrice, l'ordre du plus grand déterminant non nul extrait de cette matrice.
Exemple
Soit la matrice \(A= \begin{pmatrix} 2 & -4 & 3 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 1 & -4 & 2\\ 0 & 1 & -1 & 3 & 1\\ 4 & -7 & 4 & -4 & 5\\ \end{pmatrix} \)En supprimant chaque fois une colonne, on peut extraire \(5\) déterminants d'ordre \(4:\)
\(D_{1}=
\begin{pmatrix}
2 & -4 & 3 & 1\\
1 & -2 & 1 & -4\\
0 & 1 & -1 & 3\\
4 & -7 & 4 & -4\\
\end{pmatrix}
\)
\(D_{2}=
\begin{pmatrix}
2 & -4 & 3 & 0\\
1 & -2 & 1 & 2\\
0 & 1 & -1 & 1\\
4 & -7 & 4 & 5\\
\end{pmatrix}
\)
\(D_{3}=
\begin{pmatrix}
2 & -4 & 1 & 0\\
1 & -2 & -4 & 2\\
0 & 1 & 3 & 1\\
4 & -7 & -4 & 5\\
\end{pmatrix}
\)
\(D_{4}=
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 & 0\\
1 & 1 & -4 & 2\\
0 & -1 & 3 & 1\\
4 & 4 & -4 & 5\\
\end{pmatrix}
\)
\(D_{5}=
\begin{pmatrix}
-4 & 3 & 1 & 0\\
-2 & 1 & -4 & 2\\
1 & -1 & 3 & 1\\
-7 & 4 & -4 & 5\\
\end{pmatrix}
\)
\(D_{3}{'}= \begin{pmatrix} 2 & -4 & 3\\ 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ \end{pmatrix} \)
Le rang de la matrice \(A\) est donc \(3\).
On écrit \((A)=3\)
En particulier:
Le rang d'une matrice \(A\) d'ordre \(2\) est:
- \(2\) si et seulement si \(det(A)\ne 0\);
- \(1\) si et seulement si \(det(A)= 0\) et un mineur au moins est non nul;
- \(0\) si et seulement si la matrice est nulle;
- \(3\) si et seulement si \(det(A)\ne 0\);
- \(2\) si et seulement si \(det(A)= 0\) et un des mineurs d'ordre \(2\) au moins est non nul;
- \(1\) si et seulement si \(det(A)= 0\), tous les mineurs d'ordre \(2\) sont nuls et au moins un terme est non nul;