rudless.

OPERATIONS SUR LES MATRICES

1.3. Addition de matrices

Soient \(A\) et \(B\) deux matrices ayant la même taille \(n\times p\). Leur somme \(C=A+B\) est la matrice de taille \(n\times p\) définie par \(c_{i,j}= a_{i,j}+ b_{i,j}\) n'est possible que si les deux matrices ont la même taille. Autrement dit, la somme de deux matrices
n'est possible que si les deux matrices ont le même nombre des lignes et colonnes. En d’autres termes, on somme coefficients par coefficients.

Remarque :

On note indifféremment \(a_{i j}\) où \(a_{i j}\) pour les coefficients de la matrice \(A\).

Exemple

• \( \begin{pmatrix} -5&3\\ 2&-4\\ 7&-2\\ \end{pmatrix} \) \(+\) \( \begin{pmatrix} 0&4\\ -5&0\\ 2&2\\ \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} -5+0&3+4\\ 2-5&-4+0\\ 7+2&-2+2\\ \end{pmatrix} \)
  \(= \begin{pmatrix} -5&7\\ -3&-4\\ 9&0\\ \end{pmatrix} \)
• \( \begin{pmatrix} 1&0\\ 2&-3\\ \end{pmatrix} \) \(-\) \( \begin{pmatrix} 5&4\\ 2&-5\\ \end{pmatrix}\) \(=\begin{pmatrix} 1-5&0-4\\ 2-2&-3+5\\ \end{pmatrix} \)
  \(=\begin{pmatrix} -4&-4\\ 0&2\\ \end{pmatrix} \)
  

Si \( A=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 7 \\ \end{pmatrix}\) et \( B=\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 2 & -1 \\ \end{pmatrix}\) alors \(A+B= \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 6 \\ \end{pmatrix}\).

Par contre si \(\prime{B}=\begin{pmatrix} -2 \\ 8 \end{pmatrix}\) alors \(A+\prime{B}\) n'existe pas.

Remarque

L'addition (ou la soustraction) des matrices n'est pas possible que lorsque celles-ci sont du même genre.

Définition 4

(Produit d'une matrice par uns scalaire).

Le produt d'une matrice \(A=(\alpha_{i,j})\) de \(M_{n,p}\mathbb{(K)}\) par un sacalaire \(\alpha \in \mathbb{K}\) est la matrice \((a\times \alpha_{i,j})\)
obtenue en multipliant chaque coefficient de \(A\) par \(\alpha\). Elle est notée \(\alpha.A\) ou simplement \(\alpha A\).

Exemple 3

Si \( A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\) et \(\alpha=2\) alors \(\alpha A=\) \(\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix}\)

Remarques

• La matrice \(-1)A\) est l'oppsée de la matrice \(A\) est notée \(-A\).
• La différence \(A-B\) est définie par \(A+(-B)\).

Exemple 4

Si \( A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 4 & -5 & 2 \\ \end{pmatrix}\) et \( B=\begin{pmatrix} -1 & 4 & 2 \\ 7 & -5 & 3 \\ \end{pmatrix}\) alors \( A-B=\begin{pmatrix} 3 & -5 & -2 \\ -3 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}\)

L’addition et la multiplication par un scalaire se comportent sans surprises :
Proposition 1.
Soient \(A\) \(B\) et \(C\) \(\in\) \(M_{n,p}\mathbb{(K)}\).
Soient \(\alpha\in \mathbb{K}\) et \(\beta\in \mathbb{K}\) deux scalaires.
1. \(A+B = B+A\): la somme est commutative,
2. \(A+(B+C)=(A+B)+C\) : la somme est associative,
3. \(A+0=A\): la matrice nulle est l’élément neutre de l’addition,
4. \((\alpha+\beta)A= \alpha A+\beta A\),
5. \(\alpha(A+B)= \alpha A+\beta B\)

2. Multiplication de matrices

Le produit \(AB\) de deux matrices \(A\) et \(B\) est défini si et seulement si le nombre de colonnes de \(A\) est égal au nombre de lignes de \(B\).
Définition 5(Produit de deux matrices).

Soient \(A=(a_{i,j})\) une matrice \(n\times p\) et \(B =(b_{i,j})\) une matrice \(p\times q\).
Alors le produit \(C=AB\) est une matrice \(n\times q\) dont les coefficients \(c_{i,j}\) sont définis par :
\(c_{i,j}=\sum_{k=1}^{p}a_{i,j}b_{i,j}\)

On peut écrire le coefficient de façon plus développée, à savoir : \(c_{i,j}= a_{i,1}b_{1,j} +a_{i,2}b_{2,j} +\ldots+a_{i,k}b_{k,j} +\ldots+a_{i,p}b{p,j}\)

Méthode

2. MULTIPLICATION DE MATRICES 4

Pour multiplier deux matrices, on considère d’abord la ligne de la matrice \(A\) située à gauche du coefficient que l’on veut calculer (ligne représentée par des × dans \(A\)) et aussi la colonne de la matrice \(B\) située au-dessus du coefficient que l’on veut
calculer (colonne représentée par des × dans \(B\)). On calcule le produit du premier coefficient de la ligne par le premier coefficient
de la colonne \((a_{i,1}\times b_{1,j})\), que l’on ajoute au produit du deuxième coefficient de la ligne par le deuxième coefficient de la colonne \((a_{i,2}\times b_{2,j})\), que l’on ajoute au produit du troisième...

2.2 Exemple

Exemple 5

• \(A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\\ \end{pmatrix}\) et \(B=\begin{pmatrix} 2 & -3\\ 3 & 2\\ \end{pmatrix}\) \(A\times B= \begin{pmatrix} 2.2+0.3 & 2.(-3)+0.2\\ 0.2+2.3 & 0.(-3)+2.2\\ \end{pmatrix}\)
  \(=\begin{pmatrix} 4 & -6\\ 6 & 4\\ \end{pmatrix}\)
• \( \begin{pmatrix} 2 & 4 & -3\\ \end{pmatrix} \) \(\times\)\( \begin{pmatrix} 4 \\ -3\\ 2\\ \end{pmatrix} \) \(= \begin{pmatrix} 2.4+4.(-3)+(-3).2\\ \end{pmatrix} \)
  \(= \begin{pmatrix} -10\\ \end{pmatrix} \)
• \(\begin{pmatrix} 2 & 4 & 5\\ 0 & 2 & 5\\ 3 & 1 & 2\\ \end{pmatrix}\) \(\times\) \(\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ 5 & 7\\ \end{pmatrix}\) \(= \begin{pmatrix} 2.1+4.3+5.5 & 2.(-2)+4.4+5.7\\ 0.1+2.3+5.5 & 0.(-2)+2.4+5.7\\ 3.1+1.3+2.5 & 3.(-2)+1.4+2.7 \end{pmatrix}\)
  \(=\begin{pmatrix} 39 & 47\\ 31 & 43\\ 16 & 12\\ \end{pmatrix}\)

On dispose d’abord le produit correctement (à gauche) : la matrice obtenue est de taille \(2\times 2\).
Puis on calcule chacun des coefficients, en commençant par le premier coefficient \(c_{1,1} =1\times 1 + 2\times(−1) + 3\times1=2\) (au milieu),
puis les autres (à droite).

Un exemple intéressant est le produit d’un vecteur ligne par un vecteur colonne : \( u=\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2} & \ldots a_{n} \end{pmatrix} \)
\( v=\begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2} \\ \ldots\\ b_{n} \end{pmatrix} \)
Alors \(u\times v\) est une matrice de taille \(1\times 1\) dont l’unique
coefficient est \(a_{1}b_{1} +a_{2}b_{2}+ \ldots+a_{n}b_{n}\).
Ce nombre s’appelle le produit scalaire des vecteurs \(u\) et \(v\).
Calculer le coefficient \(c_{i,j}\) dans le produit \(A\times B\) revient donc à calculer le produit scalaire des vecteurs formés par
la i-ème ligne de \(A\) et la j-ème colonne de \(B\).

2.3. Pièges à éviter

Premier piège.

Le produit de matrices n’est pas commutatif en général.

En effet, il se peut que \(AB\) soit défini mais pas \(BA\) , ou que \(AB\) et \(BA\) soient tous deux définis mais pas de la même taille.
Mais même dans le cas où \(AB\) et \(BA\) sont définis et de la même taille, on a en général \(AB\ne BA\).
Néanmoins, il peut exister deux matrices \(A\) et \(B\) telles \(AB=BA\). Dans ce cas, \(A\) et \(B\) sont dites commutables.

Deuxième piège.

\(AB = 0\) n’implique pas \(A = 0\) ou \(B = 0\). Il peut arriver que le produit de deux matrices non nulles soit nul. En d’autres termes, on peut avoir \(A\ne 0\) et \(B\ne 0\) mais \(AB = 0\).

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