rudless.

INTRODUCTION

Les matrices sont des tableaux de nombres. La résolution d’un certain nombre de problèmes d’algèbre linéaire se ramène à des manipulations sur les matrices.
Ceci est vrai en particulier pour la résolution des systèmes linéaires.

Ici, \(\mathbb{K}\) désigne un corps. On peut penser à \(\mathbb{Q}\) ,\(\mathbb{R}\) ou ,\(\mathbb{C}\).

1.Définition

• Une matrice \(A\) est un tableau rectangulaire d’éléments de \(\mathbb{K}\).
• Elle est dite de taille \(n\times p\) si le tableau possède \(n\) lignes et \(p\) colonnes.
• Les nombres du tableau sont appelés les coefficients de \(A\).
• Le coefficient situé à la \(i^{i\grave{e}me}\) ligne et à la \(j^{i\grave{e}me}\) colonne est noté \(a_{i,j}\).

Un tel tableau est représenté de la manière suivante :

\(A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \ldots & a_{1,j} & \dots & a_{1,p}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \ldots & a_{2,j} & \dots & a_{2,p}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{i,1} & a_{i,2} & \ldots & a_{i,j} & \dots & a_{i,p}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \ldots & a_{n,j} & \dots & a_{n,p} \end{pmatrix} \)
ou \(A=(a_{i,j}){1\leqslant i\leqslant n\\1\leqslant j\leqslant p}\) ou encore \((a_{i,j})\)

Exemple 1.

\( A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 0 & 3 & 7 \\ \end{pmatrix}\)

est une matrice \(2\times 3\) avec, par exemple, \(a_{1,1}= 1\) et \(a_{2,3}= 7\). Encore quelques définitions : Définition 2.

• Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux.
• L’ensemble des matrices à \(n\) lignes et \(p\) colonnes à coefficients dans \(\mathbb{K}\) est noté \(M_{n,p}\mathbb{(K)}\). Les éléments de \(M_{n,p}\mathbb{(R)}\) sont appelées matrices réelles.

1.2. Matrices particulières

Voici quelques types de matrices intéressantes :

• Si \(n=p\) (même nombre de lignes que de colonnes), la matrice est dite matrice carrée. On note \(M_{n}\mathbb{(K)}\)au lieu de \(M_{n,n}\mathbb{(K)}\).
  \(A= \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \dots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \dots & a_{n,n}\\ \end{pmatrix} \)
  Les éléments \(a_{1,1}, a_{2,2},\ldots, a_{n,n}\) forment la diagonale principale de la matrice.
• Une matrice qui n’a qu’une seule ligne \((n = 1)\) est appelée matrice ligne ou vecteur ligne. On la note:
  \( A=\begin{pmatrix} a_{1,1}& a_{2,1}& \vdots& a_{n,1} \end{pmatrix}\)
• De même, une matrice qui n’a qu’une seule colonne \((p= 1)\) est appeléematrice colonne ou vecteur colonne. On la note:
  \( A=\begin{pmatrix} a_{1,1}\\ a_{2,1}\\ \vdots\\ a_{n,1} \\ \end{pmatrix}\)
• •La matrice (de taille \(n\times p)\) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée la matrice nulle et est notée \(0_{n,p}\) ou plus simplement \(0\). Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre \(0\) pour les réels.