rudless.

Bienvenue dans cette nouvelle partie où nous allons démontrer que \(\cos'(x)=-\sin(x)\); cest-à-dire la dérivée de \(cosinus\) est égale à \(sinus\).
Elle est très simple et facile à comprendre, cette démonstration.

Lire cette démonstration, suppose que vous avez déjà une certaine connaissance sur les notions des dérivées

Sans plus tarder, on y va !

Première méthode

\(\cos'(x)=-\sin(x)\)
On sait que \(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x} \)
\(\Rightarrow \cos x= \cot x.\sin x \)
\(\Rightarrow \cos' x=(\cot x.\sin x)' \)
\(\Rightarrow \cos' x=(\cot x.\sin x)' = \cot' x.\sin x+\cot x/\sin' x \)
\(=\frac{-1}{\sin^2x}.\sin x+\cot x.\cos X \)
\(=\frac{-1}{\sin x} x+\cot x.\cos X \)
On sait déjà que
\(\cot x=\frac{\cos x}{\sin x} \)

Remplaçons \(\cot x\) par sa nouvelle valeur :
\(\frac{-1}{\sin^2x}.\frac{\cos x}{\sin x}.\cos x \)
\(\frac{-1}{\sin x}+\frac{\cos^2x}{\sin x} \)
Trouvons le dénominateur commun. Bah, c'est sans doute \(\sin x\)
\(\frac{-1+\cos^2x}{\sin x}\ (1) \)
Déjà on sait aussi que \(\cos^2x+\sin^2x=1\)
\(\Rightarrow \sin^2x=1-\cos^2x \)

Mais ce n'est pas ce que nous voulons obtenir car \(\sin^2x=1-\cos^2x \neq -1+\cos^2 x \).
Que faire alors ?

Bon, on peut introduire le signe \(-\) dans les deux membres de l'expression \(\sin^2x=1-\cos^2x \)
Ce qui nous donne \(-\sin^2x=-(1-\cos^2x) \)
\(\Rightarrow -\sin^2x=-1+\cos^2x\ (2)\)
Maintenant on a ce qu'on cherchait. Alors on peut tout simplement faire \(2\) dans \(1\).
\(\Rightarrow \frac{-\sin^2 x}{\sin x} = -\sin x\)

Deuxième méthode

\(\cos^2 x+\sin^2 x\)
\(\Rightarrow\cos^2 x=1-\sin^2 x \)
\(\Rightarrow\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}\)
\(\Rightarrow\cos' x=(\sqrt{1-\sin^2 x})'\)
\((\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\)
\((\sqrt{1-\sin^2x})'=\frac{(1-\sin^2 x)'}{2\sqrt{1-\sin^2x}}\)
\(=\frac{0-2\sin x.(\sin x)'}{2\sqrt{1-\sin^2x}}\)
\(=\frac{-2\sin x.(\sin x)'}{2\sqrt{1-\sin^2x}}\)
\(=\frac{-\sin x.(\sin x)'}{\sqrt{1-\sin^2x}}\)

On sait que \(\cos^2x=1-\sin^2x\)
Remplaçons cette valeur dans \(=\frac{-\sin x.(\sin x)'}{\sqrt{1-\sin^2x}}\)
On obtient :
\(\frac{-\sin x.\cos x}{\sqrt{\cos^2x}}\)
\(\Rightarrow\frac{-\sin x.\cos x}{{\cos x}}\)
\(-\sin x\)

Voilà. Vous savez maintenant pourquoi \(\cos'(x) =-\sin(x)\).

Merci de m'avoir suivi jusqu'à la fin de cette partie. Si vous avez des suggestions ou un point de vue différent du mien, je vous invite à venir discuter avec nous dans notre Forum ou dans notre Salle de Débat.
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