ENSEMBLE \(\mathbb{R}\)
ENSEMBLE \(\mathbb{Q}\) DES REELS
\(\mathbb{R}\) est l'ensemble des réels rationnels et irrationnels.
Les nombres irrationnels réels sont les nombres dont la partie décimale est périodique et illimitéé.
Exemple
\(\frac{1}{9}=0,1111111111111111111\)
\(\frac{10}{7}=1,428571428571\)
C'est puisqu'il y a répétition d'un chifre ou d'un groupe de chiffres qu'ont les écritures déciamales sont périodiques. Ce chiffre ou groupement
des chiffres répétés est une période. Cette dernière est indiquée en surmontant de chifres le groupement de chiffres d'un trait.
Exemple
\(0,1111111111\ldots\) s'écrit \(0,\bar{1} \ ou \ 0,1\bar{1} \ ou \ 0,11\bar{1}\)
\(1,428571428571\) s'écrit \(1,42857142857\bar{1}\) ou \(1,428571428571\bar{4}\ldots\)
Les nombres irrationnels sont ceux dont la partie déciamale est illimitéé non périodique.
Exemple
\(\sqrt{2}=1,41421356237\)
\(\pi:\frac{22}{7}=3,14159265358979323\)
SOUS ENSEMBLES DE \(\mathbb{R}\)
Puisque \(\mathbb{R}\) contient \(\mathbb{Q}\) (l'ensemble des rationnels), il contient aussi \(\mathbb{Z},\mathbb{N}, \mathbb{D}\)
Donc : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}\)
- L'ensemble des réels positifs \(\mathbb{R}^{+}\)
- L'ensemble des réels négatifs \(\mathbb{R}^{-}\)
- L'ensemble des réels strictemeent positifs \(\mathbb{R}_{0}^{+}, \ \mathbb{R}_{+}^{*} \)
- L'ensemble des réels strictemeent négatifs \(\mathbb{R}_{0}^{-}, \ \mathbb{R}_{-}^{*} \)
- L'ensemble des réels non nuls \(\mathbb{R}^{*}, \ \mathbb{R}_{0}\)
\(\blacklozenge\) \(\mathbb{R}^{+}\cap\mathbb{R}=\{0\}\)
\(\blacklozenge\) \(\mathbb{R}^{+}\cup\mathbb{R}^{-}=\mathbb{R}\)
\(\blacklozenge\) \(\mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}\backslash\{0\}\)
OPERATIONS DANS \(\mathbb{R}\)
\(\blacklozenge\) Addition dans \(\mathbb{R}\)
Définition
L'addition dans \(\mathbb{R}\) est l'application
\(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)
\((a,b)\to a+b\)
PROPRIETES
Nous trouvons les mêmes propriétés que l'addition dans \(\mathbb{Z}\) et \(\mathbb{Q}\).
Elle est interne et partout définie. Elle est commutative, associative et admet \(0\) comme élément neutre et elle est symétrisable.
\((\mathbb{R, +})\) est un groupe commutatif
\(\blacklozenge\) Soustraction dans \(\mathbb{R}\)
Soustraire \(y \ de \ x\) revient à ajouter à \(x\) l'opposé de \(y\).
On note \(x-y=x+(-y)\)
Remarque
Outrela stabilité, la soustraction dans \(\mathbb{R}\) n'admet aucune autre propriété.
\(\blacklozenge\) Multplication dans \(\mathbb{R}\)
La multplication dans \(\mathbb{R}\) est l'application
\(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)
\((a,b)\to a.b\)
Exemple : \(\frac{1}{2}.\sqrt{7}=\frac{\sqrt{7}}{2}\)
PROPRIETES
La multplication est interne et partout définie,commutative,associative et admet \(1\) comme élément neutre; elle est distributive par rapport à
l'addition et symétrisable dans \(\mathbb{R}^{*}\); \(0\) est l'élément absorbant.
\(\blacklozenge\) Division dans \(\mathbb{R}\)
\(\mathbb{R}^{*}\) est stable pour la division.
ORDRE DANS \(\mathbb{R}\)
Comme dans \(\mathbb{Q}\), la relation " \(\leq\) " est une relation d'ordre total; cest-à-dire qu'elle est :
- Réflexive
- Antisymétrique
- Transitive
Soient deux réels \(a\ et\ b\), \(a\leq b\) ssi \(b-a\in\mathbb{R}^{+}\).
La relation " \(\leq\) " définie dans \(\mathbb{R}\) est un ordre.
- REFLEXIVITE
- ANTISYMETRIQUE
- TRANSITIVITE
Preuve
\(\forall a\in \mathbb{R} : a-a=0\in\mathbb{R}\)
\(a\leq a\) est la relation " \(\leq\) " et est réflexive.
Preuve
Soient \(a\ et \ b\) des réels,
\((a\leq b)\iff (b-a\in\mathbb{R}^{+})\)
\((b\leq a)\iff (a-b\in\mathbb{R}^{+})\)
Il est claire que \(a-b\) est l'opposé de \(b-a\). Or le seul réel positif dont l'opposé est positif est \(0\).
Ainsi \((a-b-c)\iff (a=b)\) est la relation " \(\leq\) " est antisymétrique.
Preuve
\((a\leq b)-(b-a\in\mathbb{R}^{+}) \ et \ (b\leq c) \iff (c-b\in\mathbb{R}^{+})\).
La somme de deux réels positifs étant positifs, on a \( [(b-a)+(c-b)\in\mathbb{R}^{+}]\)
\(\implies (b-a)+c-b\in\mathbb{R}^{+} \)
\(\implies (c-a)\in\mathbb{R}^{+} \)
\(\implies a\leq c \).
Donc la relation " \(\leq\) " est transitive. De plus, tous les réels sont deux à deux comparables; \(\mathbb{R}\) est totalement ordonné.
PUISSANCE DANS \(\mathbb{R}\)
Soit \(a\in\mathbb{R}, \ n\in\mathbb{N} : n>1 \); cest-à-dire Soit \(a\) un réel et \(n\) un entier supérieur à \(1\). On a :
\(a^n=\underbrace{a\times a\times a\times a\ldots \times a}_{n\ \mathrm{fois}} \) et \(a^{-n}=\frac{1}{a^n} \)
Exemple : \(7^4=\underbrace{7\times 7\times 7\times 7}_{4\ \mathrm{fois}}\) et \(7^{-4}=\frac{1}{7^4}\)
PROPRIETES
\(\forall a,b\in\mathbb{R}, \ \forall m,n\in\mathbb{Z} \),
- \(a^m.a^n=a^{n+m}\)
- \((a^n)^m=a^{n\times m}\)
- \((a,b)^m=a^m.b^m\)
- \((\frac{a}{b})^m=\frac{a^m}{b^m} \) si \(b\ne 0\)
- \(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \)
REMARQUE
\((\frac{a}{b})^{-m}=(\frac{b}{a})^m=\frac{b^m}{a^m} \)
cas particuliers
- Si \(a\ne 0\) alors \(a^0=1\)
- \(\forall a\in\mathbb{R}, a^1=a\)
- \(0^0\) n'est pas défini
Pour savoir en plus, veuillez cliquer ici Démo \(0^0\)
DENSITE DANS \(\mathbb{R}\)
L'ensemble \(\mathbb{R}\) peut être représenté par une droite appelée droite numérique ou droite réelle
En général, entre deux réels \(a\ et \ b\), aussi proches qu'ils soient, il existe toujours une infinité de réels.
On dit alors que l'ensemble \(\mathbb{R}\) est dense.
\(\mathbb{R}=]-\infty, +\infty[ \)
Les symboles \(-\infty\ \ et \ +\infty\) qui se lisent respectivement moins l'infini et plus l'infini ne sont pas de réels. Ils indiquent
que la droite est illimitéé dans les deux sens à partir de \(0\).
VALEUR ABSOLUE DANS \(\mathbb{R}\)
La valeur absolue d'un réel \(a\) noté \(|a|\) est le réel positif défini par :
\(|a|=\left\{
\begin{array}{l r}
a & si & a \geq 0\\
0 & si & a=0\\
-a & si & a\leq O
\end{array} \right.\)
Exemple :
\(1.\) \(|-3|=-3(-3)=3\)
\(2.\) \(|10,6|=10,6\)
\(\lvert\frac{5}{9}-1\rvert=\frac{5-9}{9}=\lvert\frac{-4}{9}\rvert=\frac{4}{9} \)
Conséquences
- \(\forall a\in\mathbb{R}, |a|\geq 0\)
- \(\forall a\in\mathbb{R}, |a|=|-a|\)
- \(\forall a\in\mathbb{R}, |a|\leq|b|\iff a=b \ ou \ a=-b \)
- \(\forall a\in\mathbb{R}, a\leq|a| \ et \ -a\leq\|a| \)
La valeur absolue d'un réel quelconque est toujours positive.
Deux réels opposés ont la même valeur absolue.
Exemple : \(|7|=|-7|\)
Deux réels ayant la même valeur absolue sont égaux ou opposés.
Tout réel est inférieur ou égal à sa valeur absolue; il en est de même pour son opposé.
DISTCANCE OU METRIQUE DANS \(\mathbb{R}\)
La distance dans un ensemble ou métrique dans \(E\) est une correspondance.
\(d: E\times E\to \mathbb{R}^{+} \)
\((x,y)\mapsto d(x,y)\) définie par
\(\forall (x,y)\in E^{2} : d(x,y)=0 \iff x=y\)
\(\forall (x,y)\in E^{2} : d(x,y)= d(y,x)\)
\(\forall (x,y,z)\in E^{3} : d(x,y)+d(y,z)\geq (x,z) \) Inégalité triangulaire
N.B : \(a \ et \ b \) étant des réels, la valeur absolue de \(a-b\) est aussi appelée distance entre \(a\ et \ b\). Cette distance est toujours donnée
en valeur absolue.
On la note \(d(a,b)=(a,b) \)
Exemple : \(d(4,7)=|4-7| \\ =|-3| \\ = 3\)
PROPRIETES DE LA VALEUR ABSOLUE
\(P1\) la valeur absolue de la somme de deux nombres réels est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de ces deux nombres.
\(\forall a,b\in\mathbb{R} : |a+b|\leq |a|+|b| \)
Exemple :
\(|8+1|\leq |8|+|1|\implies 9\leq 9 \)
\(|(-3)+5|\leq |-3|+|5|\implies 2\leq 8 \)
\(P2\) La valeur absolue de la différence de deux nombres réels est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues de ces nombres.
\(\forall a,b\in\mathbb{R} : |a-b|\leq |a|+|b| \)
Exemple :
- \(|10-4|\leq |10|+|4| \\ |6|\leq 10+4 \\ 6\leq 14 \)
- \(\lvert \frac{5}{2}-1\rvert \leq \lvert\frac{5}{2}+|1| \ \\ \lvert \frac{5-2}{2}\rvert \leq \frac{5}{2}+1 \\ \lvert{3}{2}\rvert{7}{2} \\ \frac{3}{2}\leq \frac{7}{2} \)
\(P3\) La valeur absolue du produit de deux réels est égale au produit des valeurs absolues de ces nombres.
\(|a.b|=|a|.|b| \)
Exemple :
- \( |(-5).4|=|-5|.|4| \\ |-20|=5.4 \\ 20=20 \)
- \(\lvert \frac{1}{3}.7 \rvert = \lvert \frac{1}{3}\rvert.|7| \\ \lvert \frac{7}{3}\rvert=\frac{1}{3}.7 \\ \frac{7}{3}=\frac{7}{3} \)
\(P4\) La valeur absolue de la \(n^{i\grave{e}me}\) puissance d'un nombre est égale à la \(n^{i\grave{e}me}\) puissance de la valeur absolue de ce nombre.
\(|a^n|=|a|^n \)
Exemple :
- \(|3^2|=|3|^2 \\ 9=9 \)
- \(|-3^2|=|-3|^2 \\ |9|=3^2 \\ 9=9 \)
- \(\lvert (-\frac{5}{2})^2 \rvert= \lvert -\frac{5}{2} \rvert^{2} \\ = \frac{25}{4} \)
\(P5\) La valeur absolue du quotient de deux nombres réels est égale au quotient des valeurs absolues de ces deux nombres.
\(\forall a\in\mathbb{R}, \forall b\in\mathbb{R}^{*} : \lvert \frac{a}{b} \rvert=\frac{|a|}{|b|} \)
Exemple :
- \(\lvert \frac{-15}{7} \rvert=\frac{|-15|}{|7|} \\ \frac{15}{7}=\frac{15}{7} \)
- \(\lvert \frac{3}{4} \rvert=\frac{|3|}{|4|} \\ \frac{3}{4}=\frac{3}{4} \)
APPROXIMATION DES RESULTATS DES OPERATIONS
Considérons la somme :
\(\sqrt{2}+3=1,41213562\ldots +3 \\ \simeq 1+3=4 \) est une valeur approchée par défaut à l'unité près, \(\simeq 2+3=5 \) est une valeur approchéepar excès
à l'unité près.
Son encadrement
\(4<\sqrt{2}+3< 5 \)
\(\simeq 1,4+3=4,4 \) est une valeur approchée par défaut au \(10^{e}\) près.
\(\simeq 1,5+3=4,5 \) est une valeur approchée par excès au \(10^{e}\) près.
Son encadrement
\(1,4<\sqrt{2}+3< 4,5 \\ 1,41+3 \\ \simeq 4,41 \) : valeur approchée par défaut au \(100^e\) près
\(\simeq 4,42 \)valeurs approchée par excès au \(100^e\) près
\( 4,41<\sqrt{2}+3< 4,42 \)
\( x= \)valeur approchée par défaut
\(y\ =\)valeurs approchée par excès
\(y-x\) est appelé amplitude de l'intervalle \([x,y]\) et indique la précision de l'approximation.
Plus l'amplitude est petite, plus la précision est grande.
Exemple : Pour
- \(\sqrt{2}+3\),
Amplitude \(=2-1=1\\ 1,5-1,4=0,1 \\ 4,42-4,41=0,01 \)
\(1,4142\ldots +3 \) -
\(1+3<\sqrt{2}+3< 2+3 \)
Amplitude : \(2-1=1\\ 5-4=1\) -
\(1,4+3\sqrt{2}+3< 1,5+3 \)
Amplitude : \(1,5-1,4=0,1 \\ 4,5-4,4=0,1 \) -
\(1,41+3<\sqrt{2}+3< 1,42+3 \)
Amplitude : \(1,42-1,41=0,01 \\ 4,42-4,41=0,01 \)
Le rééel le plus précis est donc \(0,01=\frac{1}{100}=10^{-2}\)
- Aller à l'unité supérieure si le chiffre à traiter est supérieur ou égal à \(5\).
- Supprimer le chiffre à traiter est inférieur ou égal à \(5\)
- \(1,6\simeq 2\)
- \(3,5\simeq 4\)
- \(4,17\simeq 4\)
- \(1,4\simeq 1\)
- \(2,2\simeq 2\)
-
\([a,b] = \{x\in\mathbb{R}/a\leq x\leq b\} \) : intervalle fermé d'extremité \(a\ et \ b\)
Exemple : \([2,4] : \{x\in\mathbb{R}/2\leq x\leq 4\} \)
-
\(]a,b] = \{x\in\mathbb{R}/a< x\leq b\} \) : intervalle sémi-ouvert à gauche ou sémi-fermé à droite d'extremité \(a,\ et \ b\)
Exemple : \(]2,4] : \{x\in\mathbb{R}/2< x\leq 4\} \)
-
\([a,b[ = \{x\in\mathbb{R}/a\leq x< b\} \) : intervalle sémi-fermé à gauche ou sémi-ouvert à droite d'extremité \(a,\ et \ b\)
Exemple : \([2,4[ : \{x\in\mathbb{R}/2\leq x< 4\} \)
- \(]a,b[ = \{x\in\mathbb{R}/a< x< b\} \) : intervalle ouvert d'extremité \(a \ et \ b\)
- \([a,a]=\{x\in\mathbb{R}/a\leq x\leq a\} \)
- \(]a,a[=\{x\in\mathbb{R}/a< x< a\}=\varnothing \)
- \(]-\infty,a]= \{x\in\mathbb{R}/x\leq a\} \) : section minorante de \(a\) fermé.
- \(]-\infty,a[= \{x\in\mathbb{R}/x< a\} \) : section minorante de \(a\) ouvert.
- \([a,+\infty[= \{x\in\mathbb{R}/a\leq x\} \) :section majorante de \(a\) fermé.
- \(]a,+\infty[= \{x\in\mathbb{R}/a< x\} \) :section majorante de \(a\) ouvert.
- \(-\infty\not\in\mathbb{R}\)
- \(+\infty\not\in\mathbb{R}\)
- \(]-\infty,+\infty[=\mathbb{R}\)
- \( ]-\infty,3]\cup ]1,+\infty[= ]-\infty,+\infty[=\mathbb{R} \)
- \( ]-6,-2[\cup [-8,3[=[-8,3[ \)
- \( \mathbb{R}^{+}\cup \mathbb{R}^{-}=\mathbb{R} \)
- \( \mathbb{R}\cup \mathbb{R}^{-}=\mathbb{R} \)
- \([1,7]\backslash ]3,7]= [1,3] \)
- \([1,9]\ ]4,9[= [1,4]\cup [9,9] \)
- \(\mathbb{R}\backslash \mathbb{R}_{+}^{*}=\mathbb{R}^{-} \)
- \(\mathbb{R}^{+}\backslash \mathbb{R}^{-}= \mathbb{R}_{+}^{+} \)
- \(\mathbb{R}^{+}\Delta \mathbb{R}^{-}=\mathbb{R}^{+}\cup \mathbb{R}^{-}\backslash \mathbb{R}^{+}\cap \mathbb{R}^{-}\\ \mathbb{R}\backslash [0,0] \ ou \ \{0\} \\ \mathbb{R}^{*} \)
- \([1,9]\Delta ]4,11[ \\ =[1,4[\cup ]9,11[ \)
-
\(x\leq 0\) se lit : \(x\) positif
\(x\geq 0\) se lit : \(x\) négatif
\(x> 0\) se lit : \(x\) strictement positif
\(x< 0\) se lit : \(x\) strictement négatif
-
\(\mathbb{R}^{+}=\{x\in\mathbb{R}/x\geq 0\} \)
\(\mathbb{R}_{0}^{+}=\{x\in\mathbb{R}/x> 0\} \)
\(\mathbb{R}^{-}=\{x\in\mathbb{R}/x\leq0\} \)
\(\mathbb{R}_{0}^{-}=\{x\in\mathbb{R}/x< 0\} \)
-
- Tout intervalle d'extrémité \(a\) et \(b\) est un segment de \(\mathbb{R}\)
- \([a,a]=\{a\}\)
- \(]a,a[=\varnothing\)
- \([a,a[=\varnothing\ \ ]a,a]=\varnothing \)
- \(]-\infty,+\infty[=\mathbb{R} \)
- \(\mathbb{R}^{+}=[0,+\infty[ \) : c'est une droite fermée d'origine \(0\).
- \(\mathbb{R}_{+}^{*}\ ou \ \mathbb{R}_{0}^{+}=]0,+\infty[ \) : c'est une demi-droite ouverte d'origine \(0\).
- \(\mathbb{R}_{-}^{*}\ ou \ \mathbb{R}_{0}^{-}=]-\infty,0[ \) : c'est une demi-droite ouverte d'extrémité \(0\).
-
\(1. \ \frac{15}{12}=\frac{10}{x}=15x=120\\ x=\frac{120}{15}\\ x=8 \)
\(2. \ \frac{15}{12}=\frac{y}{6}=12y=90 \\ y=\frac{90}{12}=\frac{30} {4}=\frac{12}{2}=7,5\) -
On donne deux nombres \(4\) et \(9\). Trouver un troisème nombre \(x\) tel qu'en divisant \(x\) par \(4\), on obtient le même quotient qu'en divisant
\(9\) par \(x\). - Voici un tableau de proportionalité contenant le prix de pomme \( \begin{array}{|c|c|c|c|c|l|r|} \hline Poids \ x \ (En \ Kg) & 1 & 3 & 4 & 5 \\ \hline Prix \ y \ (en \ Franc) & 3,50 & 10,50 & 14 & 17,50 \\ \hline \end{array} \quad 3,50 \)
- La suite des nombres \((10,20,30)\) de prix en Franc Congolais est proportionnelle à la suite des nombres \((60,120,180)\) de prix en Kwacha.
- Le salaire d'un ouvrier payé aux pièces et le nombre des pièces
- Le prix d'une marchandise vendue au prix et le poids de la marchandise
- La distance parcourue par un mobile dont la vitesse est constante et la durée du trajet
- 4 kilos de viande coûtent \(50Fc\). Combien coûtent \(10\) kilos?
- Un travail est fait en \(56\) heures par \(4\) ouvriers. Combien faut-il d'ouvriers pour que le même travail soit fait en \(14\) heures?
- John a obtenu \(14/20\) en math, \(9/15\) en sciences, \(16/40\) en français et \(60/80\) en anglais.
- Trouver les \(18\%\ de\ 20\)
- Toute puissance exposant \(1\) égale à sa base
- Toute puissance exposant \(0\) égale \(1\) sauf \(0^0\), vous en connaissez le pourquoi.
-
\( a^{-p}=\frac{1}{a^p}\)
Toute puissance négative au numérateur devient positive au dénominateur et vice versa.
\( \frac{3^2.3^{-5}.3^6}{3^7.3^{-4}} =\frac{3^2.3^6.3^4}{3^7.3^5}=\frac{3^{12}}{3^{12}}\)
\(3^{12-12}=3^0=1\)
REMARQUE : Arrondissement
Règles
Exemple :
CALCUL DES ERREURS
Erreur absolue
Elle est la différence entre la valeur exacte et la valeur approchée.
\(Ea=|Ve-Va| \)
Exemple : En mesurant la longueur d'un bâtiment, on a trouvé \(15m\) alors que la mesure supposée exacte est de \(14m\). Quelle est l'erreur absolue commise?
\(Ea=|14m-15m|=|-1|=1m \)
Incertitude absolue \(Ia\)
On appelle incertitude absolu, la valeur maximale de l'erreur absolue commise sur une mesure.
Exemple : Voici des \(Ea\) commises par différents expérimentateurs en mesurant la largeur d'un bâtiment : \(0,01cm; 0,004cm; 0,006cm; 0,1cm \).
La plus grande de ces erreurs, \(0,1cm\), est appelée incertitude absolue.
Erreur relative
Elle est le rapport entre l'erreur absolue et la mesure exacte d'une grandeur.
\(Er=\frac{Ea}{Ve} \)
Incertitude relative
Elle est le rapport entre l'incertitude absolue et la valeur approchée.
\(Ir=\frac{Ia}{Va} \)
INTERVALLES DANS \(\mathbb{R}\)
Un intervalle est un ensemble des réels compris entre deux réels donnés.
Si \(a \ et \ b\) sont des réels tels que \(a\leq b\) :
Remarques
OPERATIONS SUR LES INTERVALLES
Intercession
\(A\cap B= \{x/x\in A \ et \ x\in B\} \)
Exemple : \(A=[2,5] \ \ B=]3,6[\)
\(A\cap B=]3,5]\)
Union
\(A\cup B= \{x/x\in A \ ou \ x\in B\} \)
Exemple :
Différence
\(A\ B= \{x/x\in A \ et \ x\not\in B\} \)
Exemple :
Différence symétrique
\(A\Delta B= (A\cup B)\backslash (A\cap B) \)
Exemple :
NOTATIONS ET VOCABULAIRES
RAPPORT DE DEUX REELS
Soit \(a\) un réel et \(b\) un réel non nul. Le rapport de \(a\ et \ b\) est le réel \(x\) tel que \(bx=a\). Il est noté \( \frac{a}{b}=x\ \ (x=\frac{a}{b})\iff (bx=a) \)
\(a\) est l'antécédent et \(b\) est le conséquent
Exemple : \(x=\frac{5}{3}\iff 3x=5\)
PROPORTION
Une proportion est l'égalité de deux rapports.
Exemple :
\(1. \frac{18}{15}=\frac{12} {10}\)
\(2. \frac{2}{4}=\frac{4}{6} \)
\(3. \frac{1}{5}=\frac{3}{15} \)
L'égalité \(1\) se lit \(18\) est à \(15\) comme \(12\) est à \(10\).
Ces quatre nombres sont les termes de la proportion. \(18\) et \(10\) s'appellent les extrêmes car ils sont respectivement énoncés le premier et le dernier; \(15\) et \(12\) s'appellent les moyens
Propriétés fondamentales des proportions
Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\iff ad=bc \)
Exemple :
\(1. \frac{2}{3}=\frac{4}{6} \) et \(2.6=3.4\\ 12=12\)
\(2. \frac{1}{5}=\frac{3}{15}\iff 1.15=3.5 \)
Ainsi :
\(1.\frac{3}{4}=\frac{x}{12}\iff 4x=36\\ \iff x=\frac{36}{4}=9 \)
\(2.\frac{2}{5}=\frac{30}{30}\iff 2x=150 \\ x=\frac{150}{2}=75 \)
Propriété réciproque
Si quatre nombres sont tels que le produit de deux d'entre eux est égal au produit de deux autres, ces quatre nombres peuvent former une proportion.
Conséquence
Pour savoir si quatre nombres peuvent être les termes d'une proportion, il suffit de s'assurer que le produit de deux d'entre eux est égal au produit de deux autres.
Exemple : \(4,7,2,14\)
Puisque \( 4\times 7=2\times 14 \), on a la proportion : \(\frac{2}{7}=\frac{4}{14}\).
L'écriture de la proportion qui résulte de l'égalité \(4\times 7=2\times 14\) peut se faire de plusieurs façons différentes.
En effet, on peut d'abord écrire les extrêmes pour voir ce que cela nous réserve. On a :
\(\frac{4}{moyen}=\frac{moyen}{7}\)
Puisque \(2\times 14=7\times 4\), on peut écrire indifféremment les moyens de l'une ou l'autre manière ci-dessous :
\( \frac{4}{2}=\frac{14}{7}\ ou \ \frac{4}{14}=\frac{2}{7} \)
Ce qui revient à dire qu'on peut permuter les moyens d'une proportion.
CALCUL D'UN TERME D'UNE PROPORTION
En divisant \(x\) par \(4\), on obtient \(\frac{x}{4}\)
En divisant \(9\) par \(x\), on obtient \(\frac{9}{x}\)
Ecrivons que ces deux quotients sont égaux : \(\frac{x}{4}=\frac{9}{x}\)
Ecrivons que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
\(x\times x=4\times 9 \)
\( x^2=36 \)
Calculons \(x\) en extrayant la racine carrée de chaque membre l'égalité : \(x=6\)
Vérifions : \(\frac{6}{4}=\frac{9}{6}=36=36\)
QUATRIEME PROPORTIONNELLE A TROIS NOMBRES
Etant donnés trois nombres \(a,b,c\), leur quatrième proportionnelle est le nombre \(x\) tel que les nombres \(a,b,c\ et \ x\) forment, pris dans cet ordre, une proportion.
\(\frac{a}{b}=\frac{c}{x} \\ ax=bc \\ x=\frac{bc}{a} \)
\(x\) est la quatrième proportionnelle.
MOYENNE PROPORTIONNELLE A DEUX NOMBRES
Etant donnés deux nombres \(a\ et \ b\), leur moyenne proportionnelle est le nombre \(x\) tel que les nombres \(a,x,x\ et \ b\)forment, pris dans cet ordre, une proportion.
\(\frac{a}{x}=\frac{x}{b}\)
Le nombre \(x\) est la moyenne proportionnelle.
N.B : La proportion continue est une proportion dans laquelle les termes moyens sont égaux.
GRANDEURS DIRECTEMENT PROPORTIONNELLES
Deux grandeurs sont directement proportionnelles lorsque, les valeurs de l'une devenant \(1,2,3,4,5\ldots\) fois plus grandes (ou plus petites), les valeurs
de l'autre deviennent \(2,3,4,5\ldots\) fois plus grandes (ou plus petites)
Exemple :
Le coefficient de proportionalité \((K)\) est obtenu en faisant la valeur suivante\(-\) la valeur précédente; ou bien en faisant \(\frac{3,50}{1}=\frac{10,50}{3}\ldots\)
Les deux grandeurs (prix et poids) sont proportionnelles
EXEMPLE DES GRANDEURS DIRECTEMENT PROPORTIONNELLES
Exemple : \(5\) litres d'exercice coûtent \(10000Fc\) combien, coûtent \(17\) litres?
\(
\begin{array}{c|c l r|}
Litre & Prix\\
\hline
5 & 10000\\
17 & x\\
\end{array}
\)
On établit la proposition :
\(\frac{5}{17}=\frac{10000}{x}\)
\(5x=17\times 10000 \)
\(5x=170000 \)
\(x=\frac{170000}{5} \)
\(x=34000\)
GRANDEURS INVERSEMENT PROPORTIONNELLES
Deux grandeurs sont inversement proportionnelles lorsque les valeurs de l'une devenant \(2,3,4,5,\ldots\) fois plus grandes (ou plus petites), les valeurs de l'autre deviennent \(2,3,4,5,\ldots\) fois plus petites (ou plus grandes).
NOTIONS
Un mobile doit parcourir un espace de \(720Km\). S'il roule à \(60Km/h\), il mettra \(12\) heures ; s'il roule à \(90Km/h\), il mettra \(8\) heures.
Nous remarquons que lorsque la vitesse devient \(2,3,4,\ldots\) fois plus grande, le temps devient \(2,3,4,\ldots\) fois plus petit.
La vitesse et le temps sont donc deux grandeurs inversement proportionnelles.
Exemple : Un mobile met \(12\) heures pour parcourir un espace à la vitesse de \(60Km/h\). Quel temps fait-il pour parcourir le même espace à la vitesse de \(100Km/h\)?
On établit la proportion :
\(
\begin{array}{c|c l r}
Vitesse & Temps \\
\hline
60 & 12\\
100 & x\\
\end{array}\)
\( \frac{60}{100}=\frac{x}{12}\)
\(100x=720\)
\( x=\frac{720}{100}=7,2 \)
Il faut donc \(7h20'\)
REGLE DE TROIS SIMPLE
La règle de trois simple est une application des grandeurs proportionnelles.
Exemple :
Avec la règle de trois simple
\(4 kilos=50Fc\iff 1kilo=\frac{50}{4}=12,5\)
\(10 kilos=10\times 12,5=125Fc\)
\(
\begin{array}{c|c l r}
Heures & Ouvriers \\
\hline
56 & 4\\
14 & x\\
\end{array}\)
\(\frac{56}{14}=\frac{x}{4}\)
\(14x=224\)
\(x=\frac{224}{14}=16\)
POURCENTAGE
Le pourcentage est un rapport dont le conséquent est \(100\).
Exemple :
Pour savoir dans quelle branche John a obtenu la meilleure côte, ramenons chacun de ces résultats/\(100\)
\(1. \) POURCENTAGE EN MATH :
\( 14\times 100 \div 20=70\%\)
\(2. \) POURCENTAGE EN SCIENCES :
\( 9\times 100 \div 15=60\%\)
\(3. \) POURCENTAGE EN FRANÇAIS :
\( 16\times 100 \div 40=40\%\)
\(3. \) POURCENTAGE EN ANGLAIS :
\( 60\times 100 \div 80=75\%\)
Donc John a obtenu la meilleure côté en anglais.
Calculons maintenant les pourcentages de John pour tous les cours.
\(\frac{14}{20}+\frac{9}{15}+\frac{16}{40}+\frac{60}{80}\)
Nous aurons : \(\frac{99\times 100}{155}=63,8\%\)
\(\frac{x}{120}=\frac{18}{100}\)
\(100x=216\\ x=\frac{216}{10}=21,6\%\)
\(\blacklozenge\) Pour augmenter un nombre de \(x\%\), on multiplie par \(1+\frac{x}{100}\)
Un article coûte \(200Fc\). Son prix augmente de \(3\%\). Quel est son nouveau prix ?
\(200Fc(1+\frac{x}{100})\)
\( 200(1+\frac{3}{100}) \)
\( 200(\frac{100+3}{100}\\=200(1.03) \\ =206Fc\)
\(\blacklozenge\) Pour diminuer un nombre de \(x\%\), on multiplie par \(1-\frac{x}{100}\)
Exemple : Un article coûte \(150Fc\). Son prix diminue de \(5\%\). Quel est son nouveau prix ?
\(150(1-\frac{5}{100})\\= 150(\frac{95}{100})=150\times 0,95=142,5Fc\)
RAPPEL
Ex : \(a^1=a, \ 7^1=7\)
Ex : \(a^0=1,\ 7^0=1, \ -5^0=1\)