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Les équations contenant des combinaisons et factorielles sont des équations qui font intervenir des notions de calcul combinatoire et de factorielle. Ces équations peuvent être résolues en utilisant des propriétés de ces opérations, ainsi que des techniques de manipulation algébrique.

RAPPELS

• \(C_n^p=\frac{n!}{(n-p)!p!} \)
• \(n!=n(n-1)! \)
• \(n,p\geq 0 \) avec \(n\geq p\)
• \(0!=1\). Cliquer ici pour en savoir plus
• \(1!=1 \)

Exemples

• \(5!=5(5-1)!\\ = 5.4!\\ = 5.4.(4-1)!\\= 5.4.3!\\ = 5.4.3(2-1)!\\ = 5.4.3.2!\\ = 5.4.3.2.1! \\ = 5.4.3.2.1\\ 5!=120\)
• \(3!=3(3-1)!\\ = 3.2!\\ = 3.2(2-1)!\\ = 3.2.1!\\ =3.2.1 \\ 3!=6 \)
• \(C_2^5=\frac{5!}{(5-2)!2!}\\ =\frac{120}{3!\times 2}\\ =\frac{120}{6\times 2}\\ =\frac{120}{12}\\ C_2^5=10 \)

Exercice 1 :

En utilisant la formule du coefficient binomial, résolvez l'équation suivante : \(C_n^k = 10\), où \(n\) est un entier positif et \(k\) est un entier compris entre \(0\) et \(n\).

Solution :

La formule du coefficient binomial est donnée par \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}\). Dans ce cas, nous devons résoudre \(C_n^k = 10\).

Si \(k = 0\), alors \(C_n,^0 = \frac{n!}{0!(n - 0)!} = \frac{1}{1} = 1\). Cela ne satisfait pas l'équation.
Si \(k = 1\), alors \(C_n^1 = \frac{n!}{1!(n - 1)!} = n\). Cela ne donne pas \(10\) pour \(n\).
Si \(k = 2\), alors \(C_n^2 = \frac{n!}{2!(n - 2)!} = \frac{n!}{2!(n - 2)!}\).
Nous devons trouver une valeur de n pour laquelle cela équivaut à \(10\).

Nous pouvons essayer différentes valeurs de n pour trouver la solution. Par exemple, si \(n = 5\), alors \(C_5^2 = \frac{5!}{2!(5 - 2)!} = 10\), ce qui est la solution. Donc, dans ce cas, la solution est \(n = 5\) et \(k = 2\).

Exercice 2 :

Trouvez les valeurs de x qui satisfont l'équation suivante : \(x! + (x - 1)! = 120\).

Solution :

Nous devons résoudre l'équation \(x! + (x - 1)! = 120\).
Nous pouvons réarranger l'équation en factorisant le terme commun de \((x - 1)! : (x - 1)! (1 + x) = 120\).
Puisque le terme \((x - 1)!\) apparaît de chaque côté de l'équation, nous pouvons diviser les deux côtés par \((x - 1)!\) pour obtenir \(x + 1 = \frac{120}{(x - 1)!}\).

Maintenant, nous devons trouver quelle valeur de l'expression \((x - 1)!\) donnera \(\frac{120}{(x - 1)!}\).
Nous pouvons essayer différentes valeurs de \(x\) pour trouver la solution.

Par exemple, si \(x = 5\), alors \((x - 1)! = (5 - 1)! = 4! = 24\), ce qui ne donne pas \(120\).
Si \(x = 6, alors (x - 1)! = (6 - 1)! = 5! = 120\), ce qui donne \(120\) comme attendu.
Donc, dans ce cas, la valeur de \(x\) qui satisfait l'équation est \(x = 6\).

Exercice \(3\) :

Résolvez l'équation suivante : \(C_n^2 = 3C_n^3\), où n est un entier positif.

Solution :

La formule du coefficient binomial est donnée par \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n - k)!}\). Dans ce cas, nous devons résoudre \(C_n^2 = 3C_n^3\).

Nous pouvons substituer les expressions correspondantes dans l'équation : \(\frac{n!}{2!(n - 2)!} = \frac{3n!}{3!(n - 3)!}\).

Nous pouvons simplifier l'équation en multipliant chaque côté par \(3! (n - 2)!\) et en simplifiant les factorielles.
Cela donne \(\frac{n (n - 1)}{2} = \frac{n (n - 1) (n - 2)}{6}\).

En multipliant chaque côté par \(6\), nous obtenons \(3n (n - 1) = n (n - 1) (n - 2)\).

À ce stade, nous pouvons simplifier les deux côtés de l'équation en divisant par \((n - 1) : 3n = n (n - 2)\).

Nous pouvons annuler n de chaque côté : \(3 = n - 2\).
Finalement, nous obtenons \(n = 5\).
Donc, dans ce cas, la solution de l'équation est \(n = 5\).

Exercice \(4\)

Résoudre dans \(\mathbb{N}\) l'équation \(C_x^2=1\)

Résolution

On sait que \(C_n^p=\frac{n!}{(n-p)!p!} \)

Pour \(C_x^2=1\), nous avons : \(\frac{x!}{(x-2)!2!}\\ \iff \frac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!2}=1\\ \iff \frac{x(x-1)}{2}=1\\ \iff x(x-1)=2 \)
Par distributivité, nous obtenons :
\(x^2-x=2 \\ \iff x^2-x-2=0\)
\(a=1,b=-1\ et \ c=-2\)
\(\Delta=b^2-4ac \)
\(\Delta = (-1)^2-4\times 1\times (-2)\\ = 1+8\\ \Delta = 9 \)

\(x_1= \frac{1-\sqrt{9}}{2}=\frac{1-3}{2}= -1 \) valeur à rejeter. \(x_2= \frac{1+\sqrt{9}}{2}=\frac{1+3}{2}= 2 \)

Ohhh!!! Mais pourquoi rejeter \(-1\) ??? Bah, la réponse est sous vos yeux; dans l'ensemble \(\mathbb{N}\) il n'y a pas de nombres négatifs. Bon, c'était juste un petit rappel.
Finalement \(S=\{2\}\)

Exercice \(4\)

Résoudre dans \(\mathbb{N}\) l'équation \(C_x^2=3\)

Résolution

Réservé au lecteur

Indication

En travaillant, vous trouverez l'équation \(x^2-x-6=0 \\ \Delta = 25\)

\(S=\{3\}\)

Essayez de trouver cette solution en vous entraînant. La marche reste la même

Exercice \(5\)

Résoudre dans \(\mathbb{N}\) l'équation \(C_x^2=3!\)

Résolution

Réservé au lecteur

Indication

En travaillant, vous trouverez l'équation \(x^2-x-12=0 \\ \Delta = 49\)

\(S=\{4\}\)

Encore une fois, essayez de trouver cette solution en vous entraînant. La marche reste la même