rudless.

Je vous propose une petite démonstration mais qui est fausse. Je vous laisserai quelques secondes pour trouver l'erreur.

Sans plus tarder, on y va

En fait, nous allons montrer que \(1=2\) partant de quelques astuces. Mais comment y arriver ? C'est simple et surtout pas magique.

Considérons deux nombres \(a,b\in\mathbb{R}\ : a=b\)

Puisque les deux nombres sont égaux, en multipliant les deux membres par un même nombre non nul, l'égalité est conservée ? Bah, oui.
\(a=b\implies a\times b=b\times b\). Ceci nous conduit à :
\(ab=b^2\). Ici, les deux membres sont aussi égaux selon notre hypothèse.
Ainsi, en soustrayant un nombre aux deux membres, l'égalité reste aussi la même. Je choisis de soustraire \(a^2\) aux deux membres.
Nous aurons : \(ab-a^2=b^2-a^2\). La multiplication étant commutative, nous pouvons écrire notre problème de la manière suivante :
\(ba-a^2=b^2-a^2\).
En mettant \(a\) en évidence, nous obtenons :
\(a(b-a)=b^2-a^2\). En développant le second membre, nous obtenons :
\(b^2-a^2=(b-a)(b+a) \) car il s'agit du produit de la somme de deux nombres par leur différence.
En remplaçant cette valeur dans \(a(b-a)=b^2-a^2\), nous obtenons : \(a(b-a)=(b-a)(b+a)\)
Ceci nous donne : \(\frac{a(b-a)}{(b-a)}=b+a \)
\(\implies a=b+a\)
Voilà, nous y sommes presque.

Selon notre hypothèse de départ, nous avons supposé que \(a=b\) et en développant, nous avons : \(a=b+a\).
Ainsi, nous pouvons remplacer \(b\) par \(a\) car l'hypothèse nous dit que les deux nombres sont égaux.
Nous obtenons alors : \(a=a+a \\ \implies a=2a\)
\(a=2a\ \implies 1=\frac{2a}{a}\ \\ \implies 1=2\).

Euh ! Mais c'est vraiment bête non ? Vous ne trouvez pas ?

Bon, je vous laisse quelques secondes tel que dit ci-haut pour trouver l'erreur.

Voici le problème : déjà dès le départ nous avons supposé que \(a=b\) ceci implique que \(a-b=0\) de même \(b-a=0\).
Or en procédant, nous avons effectué la division par zéro sans le savoir. Où là ? justement dans la partie \(\frac{a(b-a)}{(b-a)}=b+a \). c'est comme si nous avions : \(\frac{a(0)}{0}=b+a \)
\(\frac{0}{0}=b+a \). Quelle abomination ????