EQUATIONS EXPONENTIELLES
\(1.\) Introduction aux équations exponentielles :
Une équation exponentielle est une équation qui contient une expression de la forme \(a^x\), où \(a\) est une constante et \(x\) est la variable.
Pour résoudre une équation exponentielle, l'objectif est d'isoler la variable à l'exposant.
\(2.\) Méthodes de résolution :
Méthode \(1\) :
Si les bases des termes exponentiels sont différentes mais positives, nous pouvons prendre le logarithme des deux côtés de l'équation pour isoler la variable.
Par exemple, pour résoudre l'équation \(2^x = 8\), nous pouvons prendre le logarithme base \(2\) des deux côtés pour obtenir \(x = log_2 8 = 3\).
Méthode 2 :
Equations de la forme \(a^{x(u)}=a^{v(x)}\) avec \(a\in\mathbb{R}_{+}^{*}\backslash \{1\} \)
\(a^{x(u)}=a^{v(x)}\iff u(x)=v(x) \)
Si les bases des termes exponentiels sont les mêmes mais les exposants sont différents, nous pouvons égaler les exposants pour résoudre l'équation. Par exemple, pour résoudre l'équation \(3^x = 9^2\), nous pouvons écrire \(3^x = (3^2)^2\), puisque \(9^2 = (3^2)^2\). Ensuite, nous égalons les exposants : \(x = 2\times 2 = 4\).
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
- \(3^{(x+2)(4-x)}=1 \)
- \(3^x=\sqrt[3]{9} \)
Résolution
\(1.\) \(3^{(x+2)(4-x)}=1 \)
\(3^{(x+2)(4-x)}=1\\ \iff 3^{(x+2)(4-x)}=3^0 \\ \iff (x+2)(4-x)=0 \\ x+2=0 \ ou\ 4-x=0 \\ x=-2 \ ou \ x=4 \\ S=\{-2;4\} \)
\(2.\) \(3^x=\sqrt[3]{9} \)
\(3^x=\sqrt[3]{9} \\ \iff 3^x=9^{\frac{1}{9}} \) car \(\sqrt[n]{a^p}=a^{\frac{p}{n}} \)
\(\iff 3^x=(3^2)^{\frac{1}{2}}\iff 3^x=3^{2\times \frac{1}{2}} \\ \iff 3^x=3^{\frac{2}{3}}\\ \iff x=\frac{2}{3} \\ S=\{\frac{2}{3}\} \)
Méthode \(3\) :
Equations de la forme \(a^{u(x)}=b \) avec vec \(b\in\mathbb{R}_{+}^{*}\)
\(a^{u(x)}=b \iff log_a a^{u(x)}=log_a b \\ \iff u(x)log_a a=log_a b \) acr \(log_a a=1 \\ \iff u(x)=log_a b \)
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
- \(5^{log_5 x}=125 \)
- \(5^x=3 \)
Résolution
\(1.\) \(5^{log_5 x}=125 \)
\(\iff log_{5} 5^{log_5 x}=log_{5} 125 \\ log_5 xlog_5 5=log_5 {125} \iff log_5 x=log_5 5^3 \\ x=5^3 \\ S=\{125\} \)
\(2.\) \(5^x=3 \\ \iff log_5 5^x=log_5 3 \\ \iff xlog_5 5=log_5 3 \\ \iff x=log_5 3 \) car \(log_5 5=1\)
\(S=\{log_5 3\}\)
Si les exposants sont des fractions, nous pouvons utiliser les propriétés des racines pour résoudre l'équation.
Par exemple, pour résoudre l'équation \((\frac{1}{4})^x = 2\), nous pouvons écrire \(2\) comme une
puissance de \(\frac{1}{4}\) en utilisant la propriété \((a^b)^c = a^{(b\times c)}\).
Ainsi, \((\frac{1}{4})^x = (\frac{1}{4})^{(2\times x)}\). En égalant les exposants, nous
obtenons \(x = 2\times x\), ce qui implique \(x = 0\).
Autres types d'équations
Nous parlerons ici des équations qui, aprés transformation, se ramènent à un des cas étudiés précédemment.
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
- \(6^x+\frac{1}{6^x-2=0} \)
- \(8^{2x-3.8^x=0} \)
Résolution
\(1.\)
En posant \(6^x=t\), notre équation de devient :
\(t+\frac{1}{t}-2=0\)
\(\iff \frac{t^2+1-2t}{t}=0 \)
\(\iff t^2-2t+1=0 \).
Nous avons alors une équation du second de degré à résoudre.
\(a=1\) \(b=-2\) \(c=1\)
\(\Delta =b^2-4ac\\ \Delta = (-2)^2-4\times 1\times 1 = 4-4 =0\\ \Delta = 0 \)
Puisque \(\Delta = 0\), alors
\(t_1=t_2=\frac{2}{2}=1 \\ t=1 \iff 6^x=1\iff 6^x=6^0 \iff x=0 \\ S=\{0\}\)
\(2.\) \(8^{2x-3.8^x=0} \)
En posant \(8^x=t\), notre équation devient :
\(t^2-3t=4\)
\(t^2-3t-4=0\)
\(\Delta = (-3)^2-4\times 1\times (-4) \\ \Delta =25 \)
\(t_1 = \frac{3+\sqrt{25}}{2}=4 \)
\(t_1 = \frac{3-\sqrt{25}}{2}= -1 \) à rejeter. Et pourquoi ???
Parce que le logarithme d'un nombre négatif n'existe pas.
Pour \(t = 4: 8^x=4 \\ 2^{3x=2^2}\\ 3x=2\\ x=\frac{2}{3}\\ S=\{\frac{2}{3}\} \)
QUELQUES EXERCICES RESOLUS
-
On rappelle que \(chx=\frac{e^x+e^{-x}}{2} \) et \(shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2} \). Trouver la (les) solution(s) de l'équation \(5chx-3shx=4\)
Résolution
\(5chx-3shx=4\)
Remplaçons \(chx\ et \ shx\) par leur valeur respective.
Nous aurons : \(5(\frac{e^x+e^{-x}}{2})-3(\frac{e^x-e^{-x}}{2})=4 \)
Par distributivité, nous obtenons :
\(\frac{5e^x+5e^{-x}}{2}-\frac{3e^x-3e^{-x}}{2}=4 \)
Réduisons les deux fractions au même dénominateur qui est \(2\)
\(\frac{5e^x+5e^{-x}-3e^x-3e^{-x}}{2}=4 \)
En regroupant les termes semblables et en appliquant la propriété des proportions qui dit que le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, nous obtenons :
\(2e^x+8e^{-x}=4\times 2 \\2e^x+8e^{-x}=8 \)
Nous pouvons simplifier les termes de l'équation obtenue par \(2\) ? Oui. Pourquoi pas ?
En simplifiant par \(2\), notre équation devient :
\(e^x+4e^{-x}=4 \)
On sait que \(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\). En utilisant cette propriété,nous obtenons :
\(e^x+4\frac{1}{e^x}=4 \\ e^x+\frac{4}{e^x}=4\\ \frac{e^{2x}+4}{e^x}=4\\ e^{2x}+4=4e^x \\ e^{2x}-4e^x+4=0 \)
Posons \(t=e^x\).
Ainsi, l'équation devient :
\(t^2-4t+4=0\)
Nous obtenons alors une équation du second degré que nous devons résoudre.
\(a=1, \ b=-4 \ et \ c=4\) \(\Delta = b^2-4ac \)
\(\Delta = (-4)^2-4\times 1\times 4 =16-16= 0 \)
Puisque \(Delta = 0\), l'équation admet une solution unique, vaut :
\(t=\frac{-(-4)}{2} = 2\)
Nous avions posé ci-hautque \(t=e^x\). Nous venons de trouver que ce \(t=2\).
\(t=2\iff e^x=2 \\ \iff ln e^x=ln 2\\ \iff x=ln 2 \) car \(ln e = 1\)
\(S=\{ln 2\}\) -
Résoudre l'équation \(5^x = 125\). Solution : On remarque que \(125 = 5^3\). Donc, \(5^x = 5^3\). En égalant les exposants, nous obtenons \(x = 3\).
-
Si le système \( \left\{ \begin{aligned} \frac{2^y}{3}=x\\ \frac{3y}{2}=x\\ \end{aligned} \right. \) a pour solution \(x,y\), trouver les quantités \(12x+y\ et \ 6xy\)
Résolution
\( \left\{ \begin{aligned} \frac{2^y}{3}=x\\ \frac{3y}{2}=x\\ \end{aligned} \right. \iff \) \( \left\{ \begin{aligned} 2^y=3x & (1)\\ 3^y=2x & (2)\\ \end{aligned} \right. \)
En divisant membre à membre \((1)\) par \((2)\), nous aurons :
\(\frac{2^y}{3^y}=\frac{3x}{2x}\)
\((\frac{2}{3})^y=\frac{3}{2} \) car \((\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n} \)
Continuons
Nous aurons ensuite :
\((\frac{2}{3})^y=(\frac{2}{3})^{-1} \) car \((\frac{a}{b})^{-n}=\frac{b^n}{a^n} \)
\((\frac{2}{3})^y=(\frac{2}{3})^{-1} \implies y=-1 \ (3) \)
Remplaçons la valeur trouvée dans \((1)\) pour trouver \(x\)
\((3)\) dans \((1)\)
\(2^{-1}=3x\\ 3x=\frac{1}{2} \\ x=\frac{1}{6}\)
\(x,y=(\frac{1}{6}, -1)\)
Répondons maintenant à la question qui nous a été posée.
\(12x+y=12\times\frac{1}{6}+(-1)=2-1=1\)
\(6xy=6\times\frac{1}{6}\times (-1)=-1 \) -
Résoudre l'équation \(10^{(2x + 1)} = 1000\). Solution : On peut réécrire \(1000\) comme une puissance de \(10 : 1000 = 10^3\). Donc, \(10^{(2x + 1)} = 10^3\). En égalant les exposants, nous obtenons \(2x + 1 = 3\). En résolvant cette équation linéaire, nous trouvons \(x = 1\).
AUTO-EVALUATION
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Résoudre dans \(\mathbb{R}\) le système \( \left\{ \begin{aligned} 2^x=3y & (1)\\ 3^x=2y & (2)\\ \end{aligned} \right. \)
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Résoudre dans \(\mathbb{R}\) le système \( \left\{ \begin{aligned} 2^y=3x & (1)\\ 3^y=2x & (2)\\ \end{aligned} \right. \) et trouver les quantités \(x-y\) et \(xy\).
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Résoudre dans \(\mathbb{R}\) le système \( \left\{ \begin{aligned} 2^X=3y & (1)\\ 3^x=2y & (2)\\ \end{aligned} \right. \) et trouver les quantités \(x-y\) et \(x+y\).